宋正華， 姜 東， 曹芝腑， 韓曉林， 費(fèi)慶國(guó)

(1. 東南大學(xué) 工程力學(xué)系， 南京 210096； 2. 南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院， 南京 210037)

在空間站建設(shè)、深空探測(cè)等航天任務(wù)中，大型桁架式可展結(jié)構(gòu)得到了廣泛的應(yīng)用，例如衛(wèi)星天線的支撐結(jié)構(gòu)、柔性太陽(yáng)能帆板的展開(kāi)支撐臂等結(jié)構(gòu)[1-2]?？烧菇Y(jié)構(gòu)各部件之間通過(guò)鉸鏈來(lái)連接，例如，美國(guó)NASA用于航天飛機(jī)對(duì)地進(jìn)行高分辨率觀測(cè)的ADAM支撐臂全部展開(kāi)長(zhǎng)60 m，由87個(gè)桁架單元構(gòu)成，含有696個(gè)鉸鏈[3]。鉸鏈中存在間隙，在外載荷作用下會(huì)發(fā)生摩擦和碰撞等非線性現(xiàn)象，對(duì)結(jié)構(gòu)的工作精度和抗干擾能力產(chǎn)生不利影響。因此，鉸鏈對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響不可忽視，需要對(duì)鉸鏈的力學(xué)特性展開(kāi)研究，為設(shè)計(jì)提供可靠的評(píng)價(jià)和參考。國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞含鉸結(jié)構(gòu)開(kāi)展了相關(guān)的研究：Ferney等[4-5]基于力狀態(tài)映射方法進(jìn)行鉸鏈的實(shí)驗(yàn)研究，Tomihiko等[6-7]通過(guò)實(shí)驗(yàn)建立了鉸鏈的非線性剛度和阻尼模型；Webster等[8-9]基于描述函數(shù)法、殘余力法和諧波展開(kāi)法等進(jìn)行非線性力描述，利用有限單元法進(jìn)行了無(wú)約束含鉸鏈結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析；黃鐵球等[10]對(duì)鉸鏈的物理模型進(jìn)行分析，得出了鉸間相互作用力的關(guān)系，并通過(guò)建立有限單元模型得到了桁架結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)模型；陳鹿民等[11]設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)力型桁架式可展結(jié)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)研究；尉立肖等[12]研究圓柱副間隙結(jié)構(gòu)的間隙接觸碰撞模式，對(duì)曲柄結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真；閻紹澤等[13]研究碰撞及摩擦力對(duì)可展結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響。然而，對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)的反問(wèn)題的研究還較少，由于動(dòng)力學(xué)反問(wèn)題的研究是建立準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)有限元模型和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)，所以對(duì)非線性結(jié)構(gòu)的反問(wèn)題的研究也相當(dāng)重要。

目前，有限元模型修正方法基本都是建立在線性結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)之上[14]，但是實(shí)際工程當(dāng)中，振動(dòng)結(jié)構(gòu)都是非線性的，線性只是在一定條件下的近似。當(dāng)非線性比較明顯時(shí)，一般的線性模型修正方法不再適用，所以對(duì)非線性結(jié)構(gòu)模型修正方法的研究也相當(dāng)重要。費(fèi)慶國(guó)等[15]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性結(jié)構(gòu)的修正方法，并將此方法應(yīng)用到了非線性梁結(jié)構(gòu)的有限元模型修正；Tang等[16]提出了主要針對(duì)可積非線性系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別的時(shí)域方法和相平面法。Peng[17]提出利用一次近似頻率響應(yīng)方程來(lái)識(shí)別弱非線性的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)的新方法。Yasuda[18]提出一種識(shí)別非線性多自由度系統(tǒng)的頻域方法。馬睿等[19]提出了一種柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法，并將此方法運(yùn)用于在地面模態(tài)試驗(yàn)中由于重力而產(chǎn)生幾何非線性的太陽(yáng)翼結(jié)構(gòu)。

本文將描述函數(shù)法運(yùn)用到含非線性鉸鏈的桁架結(jié)構(gòu)的建模當(dāng)中，采用諧波平衡法分析了含鉸結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)態(tài)特性，實(shí)現(xiàn)了空間含鉸結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)建模及計(jì)算。在動(dòng)響應(yīng)分析基礎(chǔ)上，運(yùn)用模式搜索法對(duì)可展結(jié)構(gòu)鉸鏈的非線性剛度進(jìn)行了模型修正的研究。

1 模型修正理論基礎(chǔ)

根據(jù)修正過(guò)程中使用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不同，現(xiàn)有的模型修正方法可以大致分為基于模態(tài)參數(shù)的模型修正方法和基于頻響函數(shù)的模型修正方法兩大類，近年來(lái)也出現(xiàn)了基于時(shí)域相應(yīng)的修正方法。但是對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，已經(jīng)不存在線性系統(tǒng)中的模態(tài)概念，所以常見(jiàn)的是基于頻響函數(shù)的修正方法?；陬l響函數(shù)的修正計(jì)算的頻率范圍寬，采用適當(dāng)數(shù)目頻率點(diǎn)上的頻響函數(shù)，便可求解問(wèn)題，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)參數(shù)修正領(lǐng)域有發(fā)展前景的方法之一。

首先，定義結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的試驗(yàn)測(cè)試值與諧波平衡法計(jì)算值的差值為殘差項(xiàng)Δ(P)

Δ(P)=HE(ω)-HA(ω,P)

(1)

式中：參數(shù)P代表需要識(shí)別的n個(gè)非線性參數(shù)向量，即P=[p1，p2，…，pn]；HE、HA分別代表響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值和計(jì)算值，根據(jù)最小二乘原則，若要計(jì)算所得的頻響函數(shù)能夠最佳擬合試驗(yàn)結(jié)果

(2)

目標(biāo)函數(shù)應(yīng)最小，這便是基于頻響函數(shù)的參數(shù)識(shí)別方法的基本思路。試驗(yàn)中，一般得不到幅頻曲線的解析表達(dá)式，而是離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，假設(shè)試驗(yàn)選取的頻率點(diǎn)為ω1，ω2，…，ωn，代入式(2)可得：

(3)

則將修正問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。若能在參數(shù)P的合理取值范圍[P1，P2]內(nèi)找到一個(gè)值Pa，使得目標(biāo)函數(shù)R(P)取極小值，則Pa為待修正參數(shù)的精確值。對(duì)于含鉸鏈的非線性系統(tǒng)，頻響函數(shù)通過(guò)數(shù)值方法求解獲得，故目標(biāo)函數(shù)R(P)也是數(shù)值函數(shù)。對(duì)于桁架結(jié)構(gòu)的模型參數(shù)修正，先進(jìn)行非線性響應(yīng)計(jì)算得到頻響函數(shù)，然后與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一起構(gòu)造殘差函數(shù)，運(yùn)用模式搜索法搜索殘差函數(shù)值最小時(shí)的參數(shù)值，即為修正后的模型參數(shù)。

2 非線性模型修正流程

對(duì)無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)說(shuō)，可以有多種直接搜索方法，模式搜索法是一種直接搜索優(yōu)化方法，其基本原理就是尋找一系列的點(diǎn)x0，x1，x2…，這些點(diǎn)都越來(lái)越靠近最優(yōu)值點(diǎn)，當(dāng)搜索進(jìn)行到終止條件時(shí)則將最后一個(gè)點(diǎn)作為本次搜索的解，一般不需要求解目標(biāo)函數(shù)中的任何導(dǎo)數(shù)信息，僅對(duì)目標(biāo)函數(shù)極值進(jìn)行模式移動(dòng)和探測(cè)移動(dòng)搜索。在MATLAB中已經(jīng)有相關(guān)工具箱，調(diào)用pattern-search函數(shù)可以使用模式搜索法解決相關(guān)最優(yōu)化問(wèn)題。利用模式搜索法的非線性結(jié)構(gòu)模型修正方法流程圖見(jiàn)圖1，圖中FRF指頻響函數(shù)。

圖1 基于模式搜索法的修正流程

3 描述函數(shù)法與鉸鏈非線性特性

非線性系統(tǒng)的計(jì)算理論方法研究中，對(duì)于多自由度問(wèn)題還有待進(jìn)一步發(fā)展，目前比較常見(jiàn)的方法有：諧波平衡法、等效線性化法、直接積分法、相平面法、攝動(dòng)法等等，這些方法有各自的特點(diǎn)和使用范圍，對(duì)于具體問(wèn)題需要選擇合適的方法才能獲得理想的效果。含有鉸鏈的桁架結(jié)構(gòu)屬于局部非線性系統(tǒng)，鉸鏈的非線性特性有固定的模型，采用諧波平衡法研究局部非線性系統(tǒng)在周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可以對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)和鉸鏈的非線性恢復(fù)力進(jìn)行諧波分解，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一組非線性代數(shù)方程組，采用數(shù)值方法求解，即可得到系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

對(duì)于弱非線性系統(tǒng)，可以利用諧波平衡法[20]分析受迫振動(dòng)。設(shè)非線性系統(tǒng)受到頻率為ω的任意周期力F(t)的激勵(lì)，動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

(5)

其中

(6)

代入動(dòng)力學(xué)方程(4)，化為

(7)

(8)

將式(8)代入式(7)，利用三角函數(shù)公式將方程左邊化作各階諧波的線性組合，令左右兩邊各階諧波的系數(shù)相等，可推導(dǎo)出各階諧波的振幅an(n=1,2,…)與頻率ω之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，諧波頻率愈高，振幅愈小。因此，實(shí)際計(jì)算時(shí)，可近似地取有限項(xiàng)代替無(wú)窮級(jí)數(shù)。對(duì)于非線性系統(tǒng)也可以做出與線性系統(tǒng)類似的頻譜圖，用于分析系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)狀況。

鉸鏈的非線性特性一般有間隙非線性、變剛度非線性、滯回非線性、立方非線性等幾種。本文考慮鉸鏈為立方非線性，鉸鏈恢復(fù)力具有奇函數(shù)特性，且有硬彈簧特性，力位移關(guān)系如圖2所示，非線性特性由一個(gè)參數(shù)來(lái)描述：接觸剛度系數(shù)kj。

含鉸結(jié)構(gòu)和含單鉸懸臂梁的簡(jiǎn)化模型分別如圖3和圖4所示，Kj為鉸鏈接觸剛度系數(shù)。

含鉸結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

(9)

圖2 立方非線性力位移關(guān)系：FNL=Kj·x3

圖3 含鉸結(jié)構(gòu)模型

圖4 含單鉸懸臂梁

式中:M為質(zhì)量矩陣;X為節(jié)點(diǎn)位移向量;C為阻尼矩陣;C=αM+βK;K為剛度陣;FN為鉸鏈引入的非線性廣義力向量;FE為外部激振廣義力向量。

(10)

式中:an和bn為廣義位移qn諧波展開(kāi)中的正余弦系數(shù)。

鉸鏈引入的非線性力可以用廣義位移和速度表示為

(11)

式中：

(12)

4 算例研究

4.1 含鉸懸臂梁

4.1.1 頻響函數(shù)計(jì)算

以圖4所示的一維含鉸懸臂梁為研究對(duì)象，運(yùn)用1.2中的基本理論對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模與分析計(jì)算，梁的基本參數(shù)見(jiàn)表1。

考慮正弦激勵(lì)作用在自由端，設(shè)激振力幅值和剛度初始分別為F=0.5EI/L2，Kj=0.1EI/Le，圖4中結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)變化情況如圖5和圖6所示。由圖可知，隨著激勵(lì)幅值和鉸鏈接觸剛度系數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)的固有頻率增大。

圖5 激勵(lì)幅值變化對(duì)頻響函數(shù)的影響

圖6 鉸鏈接觸剛度系數(shù)變化對(duì)頻響函數(shù)的影響

4.1.2 非線性剛度修正

設(shè)激振力幅值仍為F=0.5EI/L2，以鉸鏈接觸剛度系數(shù)Kj=0.1EI/Le作為實(shí)驗(yàn)值，假設(shè)模型中剛度Kj存在15%的初始誤差，為0.115EI/Le。以圖4中自由度6的非線性頻響為特征量構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，利用模式搜索法對(duì)含鉸懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正，修正后值為0.1EI/Le，與實(shí)驗(yàn)值相吻合。圖7為試驗(yàn)頻響、初始模型頻響和修正后模型頻響比較結(jié)果，可見(jiàn)修正后的鉸鏈接觸剛度系數(shù)沒(méi)有誤差。

圖7 15%初始參數(shù)誤差修正后頻響函數(shù)比較

4.2 平面桁架

4.2.1 頻響函數(shù)計(jì)算

單跨平面桁架結(jié)構(gòu)示意圖和動(dòng)力學(xué)模型，如圖8和9所示。

圖8 單跨平面桁架結(jié)構(gòu)示意圖

圖9 單跨平面桁架動(dòng)力學(xué)模型

表1 梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)表

圖10 激勵(lì)幅值變化對(duì)頻響函數(shù)影響

圖11 鉸鏈接觸剛度系數(shù)變化對(duì)頻響函數(shù)影響

4.2.2 非線性剛度修正

設(shè)激振力幅值仍為F=Fc，以鉸鏈接觸剛度系數(shù)Kj=0.1EI/Le作為實(shí)驗(yàn)值，假設(shè)模型中剛度Kj存在50%的較大初始誤差，為0.15EI/Le。利用模式搜索法對(duì)含鉸平面桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正，修正后值為0.1EI/Le，與實(shí)驗(yàn)值相吻合。圖12為試驗(yàn)頻響、初始模型頻響和修正后模型頻響比較，可見(jiàn)修正后的鉸鏈接觸剛度系數(shù)沒(méi)有誤差。

然而在真實(shí)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，將不可避免地存在各種噪聲的干擾，為了模擬真實(shí)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境并且為了檢驗(yàn)本文提出方法的抗噪能力，對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻響函數(shù)添加不同的隨機(jī)白噪聲,令H(ω)=H(ω)(1+snr·μ)，SNR(Signal Noise Ratio)為信噪比，μ為-1～1的隨機(jī)數(shù)[21]。利用模式搜索法進(jìn)行修正，修正后值與誤差如表2所示，說(shuō)明該修正方法的具有一定的抗噪能力。

表2 不同噪聲時(shí)修正誤差對(duì)比

圖12 50%初始參數(shù)誤差修正后頻響函數(shù)比較

一般地，桁架中的鉸鏈接觸剛度系數(shù)不完全相同，假設(shè)模型中的上面和下面兩個(gè)鉸鏈的剛度兩兩相同，分別為Kj1，Kj2，以考察該修正方法對(duì)多參數(shù)修正的精度。設(shè)激振力幅值仍為F=Fc，以鉸鏈接觸剛度系數(shù)Kj1=0.1EI/Le，Kj2=0.2EI/Le作為實(shí)驗(yàn)值，假設(shè)模型中剛度Kj1和Kj2分別存在存在+50%和-50%的較大初始誤差，為0.15EI/Le和0.1EI/Le。利用模式搜索法進(jìn)行模型修正，修正后值為0.1019EI/Le和0.1993EI/Le，誤差為1.9%和0.7%，可見(jiàn)該方法對(duì)多參數(shù)修正的精度較高，圖13為試驗(yàn)頻響、初始模型頻響和修正后模型頻響函數(shù)的比較。

圖13 多參數(shù)±50%初始誤差修正后頻響函數(shù)比較

5 結(jié) 論

本文提出了利用非線性頻響函數(shù)對(duì)含鉸非線性桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型參數(shù)修正的方法。

(1) 利用諧波平衡法對(duì)含鉸結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)建模與響應(yīng)計(jì)算，包括一維含鉸梁和二維含鉸平面桁架，假設(shè)鉸鏈的非線性特性為立方非線性模型，得到了結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)隨著激勵(lì)幅值和鉸鏈接觸剛度系數(shù)的變化規(guī)律，即固有頻率分別隨著激勵(lì)幅值和鉸鏈接觸剛度系數(shù)的增大而增大。

(2) 采用模式搜索法對(duì)鉸鏈的剛度進(jìn)行修正，頻響曲線比較結(jié)果顯示，在步長(zhǎng)和收斂準(zhǔn)則合理的情況下，修正后結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差最可達(dá)到0。鉸梁結(jié)構(gòu)中剛度初始假設(shè)誤差較小為15%，桁架結(jié)構(gòu)中剛度初始假設(shè)誤差較大為50%，說(shuō)明該方法是對(duì)非線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正的有效方法，同時(shí)具有較高的精確性。

(3) 針對(duì)實(shí)際測(cè)試環(huán)境和結(jié)構(gòu)，分別考慮試驗(yàn)信號(hào)加入不同的噪聲和不同鉸鏈接觸剛度系數(shù)參數(shù)。該方法對(duì)引入2%噪聲后的修正誤差僅為2.2%，說(shuō)明具有一定的抗噪聲干擾能力；將鉸鏈接觸剛度系數(shù)參數(shù)調(diào)整為兩個(gè)時(shí)，該方法的修正誤差較小，表明方法同樣適用于多參數(shù)模型修正。

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