邱小夢(mèng)，周世健，王奉偉，歐陽(yáng)亮酉

(1. 東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013； 3. 南昌航空大學(xué)，江西 南昌 330063； 4. 同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092)

目前常用的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理或分析方法主要有：回歸分析、時(shí)間序列分析、傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)等[1-5]，但是這些方法都有局限性?；貧w分析和時(shí)間序列分析適用于觀測(cè)序列長(zhǎng)、信息量大的數(shù)據(jù)[6]，但在實(shí)際工程中時(shí)常獲得小樣本數(shù)據(jù)，信息量小。傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型一般要求累加生成的序列具有灰指數(shù)規(guī)律并且是非負(fù)的[7]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在著大樣本、收斂速度慢和局部?jī)?yōu)化的缺點(diǎn)[8]。支持向量機(jī)存在如何選取合適的懲罰項(xiàng)、輸出結(jié)果不具有概率意義等問題[9]。

高斯過程(Gaussian process，GP)對(duì)處理高維數(shù)、小樣本、非線性等復(fù)雜問題具有很好的適應(yīng)性，且泛化能力強(qiáng)[10]。蘇國(guó)韻[11]和羅亦泳[12]分別將高斯過程應(yīng)用于基坑位移時(shí)間序列分析和GPS高程轉(zhuǎn)換，取得了較好的效果，從而驗(yàn)證了該方法的可靠性。目前通常采用共軛梯度法搜索超參數(shù)，存在對(duì)初始值依賴性強(qiáng)、容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，該算法的適用性具有局限性[13-14]。人工魚群算法(artificial fish swarm algorithm，AFSA)具有對(duì)初始值與參數(shù)選擇不敏感的優(yōu)點(diǎn)。筆者應(yīng)用該算法對(duì)超參數(shù)進(jìn)行智能尋優(yōu)，建立AFSA-GP預(yù)測(cè)模型。利用該模型對(duì)等間距隧道位移和非等間距基坑沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，以殘差絕對(duì)值和與平均相對(duì)誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，選擇神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural network，NN)、平方指數(shù)(squared exponential，SE)和有理二次型(rational quadratic，RQ)3種核函數(shù)分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，均具有較高的預(yù)測(cè)精度，其中以NN為核函數(shù)的模型預(yù)測(cè)效果最好。

1 模型建立

1.1 高斯過程原理

高斯過程是近期發(fā)展起來(lái)的一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，其對(duì)處理高維數(shù)、小樣本、非線性等復(fù)雜問題具有很好的適應(yīng)性?；貧w模型[10,15]可以表示為

y=f(x)+ε

(1)

(2)

(3)

高斯過程中常用的核函數(shù)有NN、SE和RQ 3種核函數(shù)，其NN核函數(shù)一般形式為

(4)

SE核函數(shù)一般形式為

(5)

RQ核函數(shù)一般形式為

(6)

式(4)、式(5)和式(6)中，Q=diagl-2為超參數(shù)矩陣；l為樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)間的相關(guān)性；γ為核函數(shù)的形狀參數(shù)。

利用傳統(tǒng)共軛梯度法對(duì)偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行最小化，從而獲得最優(yōu)超參數(shù)。負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)L(θ)和超參數(shù)θ的偏導(dǎo)數(shù)如下所示

(7)

(8)

1.2 AFSA-GP模型

針對(duì)共軛梯度法搜索超參數(shù)存在對(duì)初始值依賴性強(qiáng)、容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，利用AFSA算法[16]代替?zhèn)鹘y(tǒng)共軛梯度法智能搜索最優(yōu)超參數(shù)，建立AFSA-GP預(yù)測(cè)模型。主要步驟如下：

(1) 初始化AFSA算法中的參數(shù)，主要包括人工魚數(shù)目、最大迭代次數(shù)、最大試探次數(shù)、視野范圍、擁擠度因子和移動(dòng)步長(zhǎng)。然后隨機(jī)產(chǎn)生初始人工魚群。

(2) 利用高斯過程對(duì)樣本進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試，根據(jù)食物濃度函數(shù)計(jì)算出當(dāng)前每條人工魚的食物濃度。

(3) 各人工魚分別執(zhí)行聚群行為和追尾行為，選擇最有利的行為執(zhí)行，缺省行為時(shí)執(zhí)行覓食行為。

(4) 各人工魚每試探一次，將自身食物濃度與最優(yōu)食物濃度進(jìn)行比較，若自身食物濃度比最優(yōu)食物濃度更好，則用自身食物濃度代替最優(yōu)食物濃度。

(5) 判斷是否達(dá)到設(shè)定的最大迭代次數(shù)。如果已經(jīng)達(dá)到最大迭代次數(shù)，則輸出最優(yōu)超參數(shù)。若未達(dá)到最大迭代次數(shù)，則迭代次數(shù)gen=gen+1，轉(zhuǎn)到步驟(3)。

(6) 根據(jù)獲取的最優(yōu)超參數(shù)建立高斯過程模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2 實(shí)例分析

工程實(shí)例應(yīng)用中采用了滾動(dòng)預(yù)測(cè)方法[17]對(duì)變形體未來(lái)的形變量進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。AFSA-GP預(yù)測(cè)模型中采用了NN、SE和RQ 3種核函數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算，其目標(biāo)函數(shù)(即食物濃度函數(shù))設(shè)置為

(9)

式中，g(xi)第i個(gè)測(cè)試樣本的預(yù)測(cè)值；yi為第i個(gè)測(cè)試樣本的實(shí)測(cè)值；m為測(cè)試樣本個(gè)數(shù)。

2.1 隧道變形監(jiān)測(cè)的應(yīng)用

依據(jù)文獻(xiàn)[18]走馬崗特長(zhǎng)隧道采用分離式設(shè)計(jì)，建筑范圍為14.75 m×5.0 m，最大埋深約為183 m。觀測(cè)點(diǎn)YK21+715位于隧道出口右線上，選取其2012年6月連續(xù)18期周邊位移數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)見表1。

表1 監(jiān)測(cè)點(diǎn)的各期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

AFSA-GP預(yù)測(cè)模型中的參數(shù)初始化為：人工魚數(shù)目為150，最大迭代次數(shù)為200，視野范圍為5，移動(dòng)步長(zhǎng)為0.3。運(yùn)用滾動(dòng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，k取13，P取10，t取1(即學(xué)習(xí)樣本為10、測(cè)試樣本數(shù)為3、預(yù)測(cè)期數(shù)為1)。GP核函數(shù)分別采用NN、SE和RQ核函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)為式(9)，求其最小值。利用AFSA-GP預(yù)測(cè)模型對(duì)隧道變形進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化的曲線如圖1所示，預(yù)測(cè)結(jié)果見表2，預(yù)測(cè)殘差見表3，預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)誤差見表4。

圖1 目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化的曲線

mm

表3 不同核函數(shù)的預(yù)測(cè)殘差 mm

表4 不同核函數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)誤差 (%)

從表2、表3和表4可以看出，AFSA-GP預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度比GP預(yù)測(cè)模型有了很大的提高。AFSA-GP中殘差絕對(duì)值和都小于1 mm，最大值為0.71 mm，而GP中最大值為2.20 mm。GP中最小相對(duì)誤差為3.21%，AFSA-GP中僅為0.15%。NN、SE和RQ 3種核函數(shù)平均相對(duì)誤差分別提高了3.26%、4.49%和3.35%，其中SE核函數(shù)提高最大。兩種預(yù)測(cè)模型中NN核函數(shù)的預(yù)測(cè)精度高于SE、RQ核函數(shù)，表明NN核函數(shù)具有很好的預(yù)測(cè)能力?；?種核函數(shù)預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差大于3%的，GP總計(jì)15個(gè)，而AFSA-GP只有2個(gè)。

從圖1中目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化的曲線可以看出，AFSA-GP具有很好的預(yù)測(cè)精度，其中目標(biāo)函數(shù)值的減小就是AFSA算法對(duì)GP超參數(shù)智能尋優(yōu)的過程。目標(biāo)函數(shù)值在迭代20—40次時(shí)基本處于穩(wěn)定，迭代200次能夠獲得較為滿意的工程應(yīng)用要求。表3中的預(yù)測(cè)殘差也表明AFSA優(yōu)化GP超參數(shù)的有效性。

2.2 基坑變形監(jiān)測(cè)的應(yīng)用

依據(jù)文獻(xiàn)[19]選取某基坑北側(cè)邊坡上監(jiān)測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其非等間距實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)見表5。

表5 監(jiān)測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)值

AFSA-GP預(yù)測(cè)模型中的參數(shù)初始化為：人工魚數(shù)目為150，最大迭代次數(shù)為200，視野范圍為2.5，移動(dòng)步長(zhǎng)為0.3。運(yùn)用滾動(dòng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，k取11，P取8，t取1(即學(xué)習(xí)樣本為11、測(cè)試樣本為3、預(yù)測(cè)期數(shù)為1)。GP核函數(shù)分別采用NN、SE和RQ核函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)為式(9)，求其最小值。利用AFSA-GP預(yù)測(cè)模型對(duì)基坑變形進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化的曲線如圖2所示，預(yù)測(cè)結(jié)果見表6，預(yù)測(cè)殘差見表7，預(yù)測(cè)相對(duì)誤差見表8。

從表6、表7和表8可以看出，AFSA-GP預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度比GP預(yù)測(cè)模型有了很大的提高。GP預(yù)測(cè)模型中殘差絕對(duì)值和最大值為4.90 mm，而AFSA-GP預(yù)測(cè)模型僅為1.96 mm。NN、SE和RQ 3種核函數(shù)平均相對(duì)誤差都有所提高，其中SE核函數(shù)提高最大，為3.38%。GP中最大相對(duì)誤差為7.33%，AFSA-GP中僅為3.25%。兩種預(yù)測(cè)模型中NN核函數(shù)的預(yù)測(cè)精度高于SE、RQ核函數(shù)，表明NN核函數(shù)具有很好的預(yù)測(cè)能力?；?種核函數(shù)的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差大于3%的，GP總計(jì)4個(gè)，而AFSA-GP只有1個(gè)。

圖2 目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化的曲線

mm

表7 不同核函數(shù)的預(yù)測(cè)殘差 mm

表8 不同核函數(shù)的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差 (%)

從圖2中目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化的曲線可以看出，AFSA-GP具有很好的預(yù)測(cè)精度，其中目標(biāo)函數(shù)值的減小就是AFSA算法對(duì)GP超參數(shù)智能尋優(yōu)的過程。目標(biāo)函數(shù)值在迭代20—40次時(shí)基本處于穩(wěn)定，迭代200次能夠獲得較為滿意的工程應(yīng)用要求。表7中的預(yù)測(cè)殘差也表明AFSA優(yōu)化GP超參數(shù)的有效性。

3 結(jié) 論

(1) 人工魚群算法具有對(duì)初值和參數(shù)選擇不敏感的特點(diǎn)，利用人工魚群算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)共軛梯度法搜索最優(yōu)超參數(shù)彌補(bǔ)了傳統(tǒng)共軛梯度法的不足之處。兩個(gè)工程實(shí)例殘差絕對(duì)值和最大分別減小了1.49和2.94 mm，驗(yàn)證了該方法的有效性。

(2) 不同的核函數(shù)影響著機(jī)器的學(xué)習(xí)能力，對(duì)兩種預(yù)測(cè)模型中3種核函數(shù)的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行比較，NN核函數(shù)預(yù)測(cè)精度最高，表明該核函數(shù)具有較好的外推預(yù)測(cè)能力。

(3) 將AFSA-GP模型應(yīng)用于等間距隧道和非等間距基坑變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，其中NN核函數(shù)預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差分別為0.69%和1.06%，表明該方法對(duì)等間距與非等間距變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理均具有很好的適應(yīng)性。

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