高玉波， 張偉, 李達(dá)誠(chéng)， 宜晨虹, 湯鐵鋼

(1.中北大學(xué) 理學(xué)院, 山西 太原 030051; 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150080; 3.中國(guó)工程物理研究院 流體物理研究所, 四川 綿陽(yáng) 621900)

0 引言

陶瓷屬于典型的彈脆性材料，部分陶瓷在沖擊加載條件下會(huì)表現(xiàn)出一定的應(yīng)變率效應(yīng)和塑性特征，使得材料本構(gòu)關(guān)系變得復(fù)雜。這種復(fù)雜的本構(gòu)關(guān)系根源在于陶瓷的破壞模式，即材料內(nèi)部存在的微裂紋、微孔洞等。這些微觀缺陷隨加載壓力的增加將出現(xiàn)成核、擴(kuò)展、匯集等微觀現(xiàn)象，最終導(dǎo)致材料崩潰。由此可見(jiàn)，陶瓷的破壞模式并不是一種瞬間的坍塌，而是微觀缺陷引起的裂紋擴(kuò)展而導(dǎo)致完全破碎的一個(gè)過(guò)程，也就是說(shuō)陶瓷材料的破壞伴隨著損傷累積。

目前，關(guān)于陶瓷本構(gòu)關(guān)系的理論模型可由對(duì)損傷的定義來(lái)劃分，主要有細(xì)觀損傷模型和連續(xù)損傷模型兩個(gè)方向，其中，最具代表性的細(xì)觀損傷模型是Rajendran-Grove模型[1]。該模型基于細(xì)觀力學(xué)理論，將材料內(nèi)部的微裂紋加入到彈性常數(shù)的損傷累積計(jì)算過(guò)程，其中，微裂紋的損傷通過(guò)無(wú)量綱的裂紋密度和斷裂力學(xué)中裂紋的生長(zhǎng)和擴(kuò)展定律表征。Addessio等[2]、Deshpande等[3]、Clayton等[4-5]均從陶瓷材料的微裂紋、晶格結(jié)構(gòu)等方面入手建立了相應(yīng)的材料強(qiáng)度隨裂紋擴(kuò)展的損傷演化模型。細(xì)觀損傷模型比較接近材料真實(shí)的損傷累積過(guò)程，但模型的建立具有局限性，主要適用于材料的大應(yīng)力應(yīng)變加載條件，且模型復(fù)雜、參量較多。連續(xù)損傷模型不考慮陶瓷材料微觀缺陷的發(fā)展過(guò)程，采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)對(duì)材料的強(qiáng)度、損傷和狀態(tài)方程以一種連續(xù)函數(shù)形式進(jìn)行表征，如早期的Drucker-Prager模型[2]。Johnson等參考了Drucker-Prager模型中含損傷的屈服面演化理論，建立了材料強(qiáng)度隨損傷累積的Johnson-Holmquist(JH)本構(gòu)模型，如JH-I[6]、JH-II[7]和JHB[8]本構(gòu)模型。JH本構(gòu)模型主要包含壓力相關(guān)的材料強(qiáng)度、損傷和斷裂，材料膨脹和斷裂后的強(qiáng)度，以及材料應(yīng)變率效應(yīng)。由于JH本構(gòu)模型物理意義明確、應(yīng)用簡(jiǎn)便，并易于有限元分析的實(shí)現(xiàn)，一經(jīng)推出后便受到了相關(guān)工程領(lǐng)域廣泛地使用。

但是，在沖擊加載條件下，材料損傷累積發(fā)生于完整陶瓷臨界至完全破碎的過(guò)程，且伴隨體積膨脹效應(yīng)，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)方式尚無(wú)法直接獲得損傷參數(shù)值。目前，常規(guī)方法則主要以經(jīng)驗(yàn)為主，即將仿真結(jié)果與平板撞擊實(shí)驗(yàn)結(jié)果比對(duì)以粗略建立損傷模型[9-12]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參考了生物神經(jīng)系統(tǒng)對(duì)信息的處理方式，通過(guò)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言來(lái)建立數(shù)據(jù)處理模型。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含大量的人工神經(jīng)元，神經(jīng)元之間由權(quán)值相互連接，根據(jù)外界信息的輸入可改變權(quán)值的大小，并對(duì)輸入信息進(jìn)行建模，最終解決實(shí)際問(wèn)題。其中，反向傳播(BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則可解決線性不可分問(wèn)題，是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的核心部分，被廣泛地用于逼近、回歸、分類(lèi)識(shí)別等領(lǐng)域[13]。因此，本文提出了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模完成對(duì)JH-II本構(gòu)模型中損傷參數(shù)的反演方法。

1 JH-II本構(gòu)模型

JH-II本構(gòu)模型發(fā)展了Drucker的含損傷屈服面演化理論，建立了陶瓷強(qiáng)度隨損傷積累而連續(xù)減小的對(duì)應(yīng)關(guān)系。JH-II本構(gòu)模型中認(rèn)為，當(dāng)材料的損傷累積發(fā)生時(shí)(對(duì)應(yīng)損傷因子D>0)，材料的強(qiáng)度隨著塑性應(yīng)變的增加而逐漸出現(xiàn)劣化現(xiàn)象，如圖1所示。圖1中對(duì)靜水壓力p和等效應(yīng)力σ做了無(wú)量綱化處理，分別為p*=p/pHEL，σ*=σ/σHEL，其中，pHEL和σHEL分別為Hugoniot彈性極限(HEL)狀態(tài)下的靜水壓力和等效應(yīng)力[10]，μ為材料的比容。

圖1 JH-II本構(gòu)模型Fig.1 Description of JH-II ceramic model

由圖1所示，陶瓷材料的無(wú)量綱等效應(yīng)力可描述為

(1)

在材料完整的情況下(未損傷，D=0)，無(wú)量綱等效應(yīng)力為

(2)

在完全損傷情況下，無(wú)量綱等效應(yīng)力為

(3)

在大應(yīng)力應(yīng)變條件下，JH-II本構(gòu)模型中的材料損傷定義為損傷累積的形式：

(4)

圖2 一定壓力條件下陶瓷材料的強(qiáng)度、損傷和斷裂示意圖Fig.2 Strength, damage, and fracture of ceramic material at a constant pressure and strain rate

材料所能承受的最大的塑性應(yīng)變可表示為

(5)

2 損傷參數(shù)反演

陶瓷JH-II本構(gòu)模型中損傷參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演精度主要受兩方面因素影響：BP網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)和數(shù)值仿真建模。隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)需兼顧仿真工況數(shù)量、計(jì)算機(jī)性能和反演精度，可通過(guò)多次試算確定。數(shù)值仿真模型對(duì)反演結(jié)果的影響因素主要包括材料參數(shù)和模型網(wǎng)格，本文所取陶瓷材料參數(shù)由前期工作的實(shí)驗(yàn)和理論分析中獲得并驗(yàn)證；而彈丸和陶瓷材料網(wǎng)格劃分需要考慮彈靶接觸引起的網(wǎng)格侵蝕，并適當(dāng)選擇網(wǎng)格大小。最終，反演精度可由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的均方誤差進(jìn)行表征。

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層可以是多層的，并強(qiáng)調(diào)誤差反向傳播，如圖3所示，圖中ni為輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)，no為輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)。隨著權(quán)值的不斷訓(xùn)練，輸出誤差和目標(biāo)輸出誤差的差值將逐漸減小，直到不再下降。其中，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)一般采用光滑可微的Sigmoid 函數(shù)，其自變量范圍包含整個(gè)實(shí)數(shù)域。權(quán)值修改的方式為最速下降法的改進(jìn)算法，例如動(dòng)量BP 法、學(xué)習(xí)率可變的BP 算法、擬牛頓法、Levenberg-Marquard(LM)算法等。

圖3 含兩層隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig.3 BP neural network with two hidden layers

本文采用MATLAB工具箱中改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊對(duì)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，主要由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成。輸入層包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別為侵徹深度和彈丸撞擊速度；輸出層的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為待反演的損傷參數(shù)D1和D2. 隱含層和輸出層的傳遞函數(shù)分別采用Sigmoid 函數(shù)和線性Purelin 函數(shù)。隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能有較大的影響，數(shù)量過(guò)少將導(dǎo)致計(jì)算不精確，相反則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。一般認(rèn)為，隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)nh與輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)ni和輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)no有關(guān)：

(6)

式中：a∈[0,10]；ni=1；no=2. 經(jīng)過(guò)多次試算，nh取為3.

LM算法能夠解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易于收斂于局部極小的缺點(diǎn)，其網(wǎng)絡(luò)權(quán)值修正方式為

ω(n+1)=ω(n)-[JTJ+αJ]-1JTe，

(7)

式中：J為含誤差性能函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值1階導(dǎo)數(shù)的雅克比矩陣；α為比例系數(shù)，當(dāng)α=0時(shí)，LM算法退化為牛頓法，當(dāng)α取值無(wú)限大，(7)式相當(dāng)于步長(zhǎng)很小的梯度下降法；網(wǎng)絡(luò)的誤差e定義為

ej(n)=dj(n)-Yj(n)，

(8)

dj(n)和Yj(n)分別為網(wǎng)絡(luò)的期望輸出和實(shí)際輸出，j為輸出層單元數(shù)。

經(jīng)過(guò)n次迭代后，網(wǎng)絡(luò)的誤差信號(hào)為

(9)

圖4給出了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程圖。首先，確定陶瓷類(lèi)材料損傷參數(shù)D1和D2的取值范圍，完成樣本的設(shè)計(jì)；其次，采用AUTODYN有限元仿真軟件完成不同取樣點(diǎn)的數(shù)值仿真，并提取仿真中彈丸的侵徹深度；將仿真侵徹深度和彈丸撞擊速度數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，損傷參數(shù)D1和D2作為網(wǎng)絡(luò)的輸出，對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練；最后，將實(shí)驗(yàn)中獲得的侵徹深度和彈丸撞擊速度數(shù)據(jù)輸入訓(xùn)練成型的網(wǎng)絡(luò)模型，反演獲得損傷參數(shù)。運(yùn)算順序角度上，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)損傷參數(shù)的反演等同于數(shù)值仿真的逆運(yùn)算，即將損傷、侵徹深度、撞擊速度等參數(shù)的運(yùn)算順序反轉(zhuǎn)，其本質(zhì)是一種對(duì)參數(shù)和仿真結(jié)論之間的歸納算法。

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)程序流程圖Fig.4 Flow chart of BP neural network program

參考陶瓷類(lèi)材料JH-II本構(gòu)模型的損傷參數(shù)值[9-12]，假設(shè)TiB2-B4C 復(fù)合材料的D1取值范圍在0.001～0.011之間，D2在0.5～2.1 之間[14]。在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過(guò)程中，只考慮參數(shù)取值范圍內(nèi)樣本點(diǎn)的均勻散布，D1和D2分別每隔0.002、0.2 取一個(gè)值。

2.2 侵徹深度實(shí)驗(yàn)

侵徹深度實(shí)驗(yàn)在哈爾濱工業(yè)大學(xué)高速撞擊研究中心二級(jí)輕氣炮裝置上進(jìn)行，彈丸采用φ8 mm鎢合金球，密度為17.6 g/cm3，質(zhì)量為4.82 g，撞擊速度分別為1 717 m/s、1 877 m/s、2 025 m/s和2 220 m/s. 靶板為常用的陶瓷/金屬?gòu)?fù)合裝甲，其中，陶瓷面板為T(mén)iB2-B4C復(fù)合材料，尺寸為φ100 mm×10 mm，并增加鋁合金側(cè)向約束；金屬背板為φ120 mm×50 mm的2A12鋁合金，靶件示意圖如圖5所示。

圖5 球彈丸撞擊陶瓷/金屬?gòu)?fù)合裝甲示意圖Fig.5 Schematic diagram of spherical projectile impacting on ceramic/metal composite armor

2.3 數(shù)值仿真

實(shí)際工況可簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題處理，采用AUTODYN仿真軟件對(duì)鎢合金球彈丸侵徹陶瓷/金屬?gòu)?fù)合裝甲進(jìn)行二維和三維數(shù)值模擬建模。其中，二維仿真模型數(shù)據(jù)主要用于損傷參數(shù)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演；三維模型主要用于驗(yàn)證陶瓷面板的完整損傷形態(tài)。二維模型中，彈丸和陶瓷面板均采用光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法(SPH)描述。鋁合金背板和陶瓷側(cè)向約束為L(zhǎng)agrange網(wǎng)格，并采用侵蝕法解決彈靶撞擊過(guò)程中發(fā)生的網(wǎng)格畸變。模型中SPH粒子影響域半徑和背板中心區(qū)域Lagrange網(wǎng)格均為0.2 mm，如圖6(a)所示。三維模型中，所有材料均采用Lagrange網(wǎng)格，彈著點(diǎn)附近網(wǎng)格尺寸為0.4 mm，如圖6(b)所示。

表1給出了TiB2-B4C復(fù)合材料的JH-II本構(gòu)模型參數(shù)，λ為泊松比，ρ0為常溫常壓條件下材料的密度，E0為常溫常壓條件下材料的彈性模量，μHEL為Hugoniot彈性極限狀態(tài)下的材料比容，K1為體積模量，K2、K3為材料常數(shù)，G為剪切模量，β為沖擊波作用下材料內(nèi)彈性能與靜水壓勢(shì)能之間的能量轉(zhuǎn)化率。其中，損傷參數(shù)根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本要求進(jìn)行設(shè)計(jì)。鎢合金和2A12鋁合金均屬于延性金屬材料，仿真材料模型均采用Shock狀態(tài)方程和Johnson-Cook本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行描述[15-16]。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model

表1 TiB2-B4C復(fù)合材料的JH-II本構(gòu)參數(shù)

2.4 模型訓(xùn)練和參數(shù)計(jì)算

圖7 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、驗(yàn)證和測(cè)試的均方誤差Fig.7 MSEs of BP neural network in training, validation and test process

根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣本對(duì)損傷參數(shù)D1和D2的設(shè)計(jì)，仿真工況數(shù)量為216. 將仿真中80%、10%、10%的工況分別對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練、驗(yàn)證和測(cè)試，獲得了3種狀態(tài)下網(wǎng)絡(luò)的均方誤差約為0.08，如圖7所示。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過(guò)程中，訓(xùn)練、驗(yàn)證和測(cè)試網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)系數(shù)分別為0.928 9、0.927 8和0.938 6，總的相關(guān)系數(shù)為0.928 1. 將侵徹深度實(shí)驗(yàn)中彈丸初始撞擊速度v0和侵徹靶板深度P輸入到訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)模型，結(jié)果顯示反演獲得的D1和D2數(shù)據(jù)較為接近，如表2所示。將不同速度下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演獲得的D1和D2取平均值，最終值分別確定為0.004 1和1.279 1.

表2 損傷參數(shù)D1和D2的反演結(jié)果

3 本構(gòu)模型驗(yàn)證

陶瓷/金屬?gòu)?fù)合裝甲的侵徹深度和陶瓷面板的損傷是描述陶瓷復(fù)合裝甲抗侵徹性能的重要指標(biāo)。為了驗(yàn)證BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型獲得的TiB2-B4C復(fù)合材料損傷參數(shù)的有效性，將侵徹深度和實(shí)驗(yàn)回收的陶瓷面板損傷與數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如圖8和表3所示。由圖8可知，數(shù)值仿真數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，正負(fù)誤差在10%以?xún)?nèi)，說(shuō)明JH-II本構(gòu)模型的損傷參數(shù)能夠較好地反映TiB2-B4C復(fù)合材料受高速撞擊的力學(xué)響應(yīng)特征。

圖8 實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真侵徹深度對(duì)比Fig.8 Comparison of experimental and simulated penetrating depths

由表3可知，受到應(yīng)力波的作用，整個(gè)陶瓷面板由于裂紋擴(kuò)展和損傷演變發(fā)生了不同程度的破碎。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在彈著點(diǎn)附近的陶瓷呈顆?；蚍勰睿f(shuō)明陶瓷已處于完全損傷狀態(tài)；遠(yuǎn)離彈著點(diǎn)，陶瓷的損傷可由環(huán)向裂紋和徑向裂紋表征，且距離彈靶作用點(diǎn)越遠(yuǎn)，裂紋的密集程度越小，即陶瓷損傷程度越小。同時(shí)，由實(shí)驗(yàn)回收的陶瓷面板可知，在距離陶瓷板外圓15.2 mm處存在一個(gè)較為明顯的環(huán)向裂紋；在數(shù)值仿真結(jié)果中，這個(gè)環(huán)向裂紋位置約為15.0 mm. 對(duì)于實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真中的陶瓷面板徑向裂紋，由于裂紋較為密集，具體位置較難給出定量值，但兩者的陶瓷損傷形式接近。因此，數(shù)值仿真結(jié)果很好地再現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)過(guò)程中陶瓷面板的裂紋擴(kuò)展趨勢(shì)，充分驗(yàn)證了所建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模以及損傷參數(shù)反演的有效性。

4 結(jié)論

在沖擊加載條件下，陶瓷材料的損傷累積伴隨著體積膨脹效應(yīng)，使得JH-II本構(gòu)模型中損傷參數(shù)無(wú)法由實(shí)驗(yàn)方式直接獲得。本文提出一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模獲得損傷參數(shù)的反演方法。

1)參考陶瓷類(lèi)材料JH-II本構(gòu)模型損傷參數(shù)取值，確定了反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中均勻分布的樣本點(diǎn)。

2)采用侵徹實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真相結(jié)合的方式完成了網(wǎng)絡(luò)的建模以及損傷參數(shù)的反演。

3)對(duì)比實(shí)驗(yàn)回收的陶瓷面板破碎形貌和數(shù)值仿真數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了建立的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及損傷參數(shù)反演的有效性。

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