緱變彩, 張 天, 王 帆

(1. 武漢科技大學(xué) 城市學(xué)院， 湖北 武漢 430083； 2. 武漢工程大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院， 湖北 武漢 430073)

土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)具有較強(qiáng)不確定性，需要采取可靠性分析手段估計(jì)隧道、邊坡等巖土結(jié)構(gòu)的失效概率，從而為設(shè)計(jì)及施工提供決策依據(jù)。常用的可靠性分析方法包括FORM、SORM和蒙特卡羅模擬等[1]。

然而在實(shí)踐中采用上述方法進(jìn)行可靠性分析時(shí)常常會(huì)遇到兩個(gè)難點(diǎn)。第一個(gè)難點(diǎn)在于隱性極限狀態(tài)方程的顯性化表達(dá)，通常采用響應(yīng)面法進(jìn)行極限狀態(tài)曲面的刻畫(huà)，如采用二次多項(xiàng)式[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、Kriging模型[4]等。然而傳統(tǒng)的響應(yīng)面法是一種侵入式算法，需要與原有數(shù)值模型進(jìn)行聯(lián)合迭代運(yùn)算。為提高計(jì)算效率，目前常采用隨機(jī)響應(yīng)面法構(gòu)建響應(yīng)面方程。相比傳統(tǒng)響應(yīng)面法，隨機(jī)響應(yīng)面[5]屬于非侵入式算法，其采用Hermite多項(xiàng)式在隨機(jī)空間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行擬合，因此基于隨機(jī)響應(yīng)面法構(gòu)建的替代模型可直接用于相關(guān)可靠性分析。

第二個(gè)難點(diǎn)在于概率信息的獲取?？煽啃苑治鲂枰离S機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)。而實(shí)上，受限于試驗(yàn)條件等難以準(zhǔn)確獲取該聯(lián)合概率分布函數(shù)。相比之下，工程實(shí)踐中較易獲取的是隨機(jī)變量的邊緣分布及隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)。當(dāng)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)為其邊緣分布函數(shù)的簡(jiǎn)單乘積；但當(dāng)隨機(jī)變量之間存在相關(guān)關(guān)系時(shí)，基于邊緣分布及相關(guān)系數(shù)不能唯一確定相應(yīng)的聯(lián)合概率分布函數(shù)[6]，因此該概率信息也被稱之為不完備概率信息[7]?；诓煌陚涓怕市畔⒌目煽啃苑治龀２捎肗ataf變換獲取標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間與原隨機(jī)空間的映射關(guān)系，如Li等[8]采用Nataf變換獲取隨機(jī)響應(yīng)面配點(diǎn)在原隨機(jī)空間內(nèi)的位置以構(gòu)建替代模型。但目前已證明Nataf變換實(shí)際上隱含假設(shè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)為高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)[9]。換言之，其結(jié)果僅僅只是眾多可能結(jié)果中的一種，因此有必要研究當(dāng)隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)為非高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)的巖土結(jié)構(gòu)可靠性。

本文提出了不完備概率信息下可靠性分析的隨機(jī)響應(yīng)面法，采用Copula理論建立隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)，基于Rosenblatt變換實(shí)現(xiàn)非高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)下隨機(jī)響應(yīng)面在原隨機(jī)空間的配點(diǎn)選擇，最后通過(guò)兩個(gè)案例研究了不同相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)可靠性的影響。

1 基于配點(diǎn)的隨機(jī)響應(yīng)面法

1.1 隨機(jī)響應(yīng)面法基本原理

隨機(jī)響應(yīng)面法一般采用Hermite多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。設(shè)Y是輸出隨機(jī)變量，X=[x1,x2, …,xn]是n維輸入隨機(jī)變量，U=[U1,U2, …,Un]是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量，且X=T(U)表示U到X的等概率變換，則極限狀態(tài)Y=G(X)可表示為：

Y=G(X)=G(T(U))=H(U)

(1)

其中Y=H(U)為Hermite多項(xiàng)式：

(2)

式中：ai1i2…in為待定系數(shù)，Γp(·)為p階Hermite多項(xiàng)式：

Γp(Ui1,Ui2,...,Uip)

(3)

理論上，隨機(jī)響應(yīng)面的擬合精度隨著階數(shù)p的增加而增加；然而高階Hermite多項(xiàng)式將會(huì)導(dǎo)致展開(kāi)項(xiàng)的快速增長(zhǎng)。因此，通常需要對(duì)式(2)進(jìn)行截?cái)?。?列舉了從2階到4階的Hermite多項(xiàng)式的展開(kāi)形式。

表1 2～4階Hermite多項(xiàng)式的展開(kāi)形式

Li等[8]總結(jié)了建立隨機(jī)響應(yīng)面模型的四個(gè)主要步驟：(1)通過(guò)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量表示輸入隨機(jī)變量；(2)使用Hermite多項(xiàng)式表示輸出隨機(jī)變量；(3)確定Hermite多項(xiàng)式的系數(shù)；(4)用蒙特卡羅模擬等方法估算失效概率。其中建立隨機(jī)響應(yīng)面模型的關(guān)鍵在于第三步即確定Hermite多項(xiàng)式的系數(shù)，其求解方法包括Galerkin法和配點(diǎn)法。相較于Galerkin法，配點(diǎn)法操作簡(jiǎn)便，其有效性不受原響應(yīng)面的非線性和復(fù)雜性影響，且配點(diǎn)相互獨(dú)立，可同時(shí)計(jì)算每個(gè)配點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)值。因此，本文采用配點(diǎn)法建立隨機(jī)響應(yīng)面模型。

1.2 配點(diǎn)的選擇

構(gòu)建隨機(jī)響應(yīng)面的關(guān)鍵在于求解待定系數(shù)ai1i2…in，可通過(guò)配點(diǎn)法確定，其基本原理是，對(duì)于p階Hermite多項(xiàng)式，采用p+1階Hermite多項(xiàng)式的根來(lái)確定標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間內(nèi)的輸入隨機(jī)變量，然后，通過(guò)等概率變換將這些配點(diǎn)從標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間轉(zhuǎn)換到原隨機(jī)空間中，再采用傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析方法確定這些配點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)值，最后通過(guò)下式求解待定系數(shù)：

a=(HTH)-1HTF

(4)

式中：H和F分別為基于配點(diǎn)給出的Hermite多項(xiàng)式矩陣和配點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)值所構(gòu)成的向量。

p階Hermite多項(xiàng)式的根的數(shù)量也為p個(gè)，而p階Hermite多項(xiàng)式的可選配點(diǎn)是p+1階Hermite多項(xiàng)式根的組合，因此對(duì)于n維問(wèn)題，p階隨機(jī)響應(yīng)面的可選配點(diǎn)數(shù)量應(yīng)為(p+1)n。Mollon等[10]注意到對(duì)于奇數(shù)階隨機(jī)響應(yīng)面，原點(diǎn)不在可選配點(diǎn)之中，但考慮到原點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間中占據(jù)高概率密度區(qū)域，因此需要將原點(diǎn)也作為可選配點(diǎn)之一，于是可選配點(diǎn)的數(shù)量Ncp為：

(5)

如果選取所有的候選配點(diǎn)來(lái)確定Hermite多項(xiàng)式系數(shù)，那么當(dāng)n和p較大時(shí)就必須進(jìn)行大量的結(jié)構(gòu)分析來(lái)確定配點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)。實(shí)際上，確定系數(shù)所需的最小配點(diǎn)數(shù)目是：

(6)

一般地，Na遠(yuǎn)小于Ncp。因此，合理選擇配點(diǎn)可以大大減少結(jié)構(gòu)分析的工作量。對(duì)于低維問(wèn)題，可以通過(guò)確保H為滿秩矩陣的方法來(lái)選取配點(diǎn)[8]。

在確定Hermite多項(xiàng)式系數(shù)的過(guò)程中需要將配點(diǎn)從標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間映射到原隨機(jī)空間中，以便確定配點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)。對(duì)于輸入隨機(jī)變量相互獨(dú)立的情況，可直接通過(guò)解析的方式進(jìn)行表達(dá)[5]；對(duì)于輸入隨機(jī)變量之間存在相關(guān)關(guān)系且相關(guān)結(jié)構(gòu)為高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)的情況，Li等[8]則給出了基于Nataf變換的映射方法；而對(duì)于不完備概率信息下非高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)的相關(guān)隨機(jī)變量的配點(diǎn)映射將在下一節(jié)進(jìn)行討論。

2 不完備概率信息下非高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的配點(diǎn)映射

不完備概率信息條件下的配點(diǎn)映射其難點(diǎn)在于聯(lián)合概率分布模型的構(gòu)建。根據(jù)Sklar理論，一個(gè)二維聯(lián)合概率分布可以表示為該分布的邊緣分布和一個(gè)Copula函數(shù)：

F(x1,x2)=C(u1,u2,θ)

(7)

式中：u1=F(x1)和u2=F(x2)分別為隨機(jī)變量x1和x2的邊緣分布函數(shù)；C為Copula函數(shù)；θ是Copula函數(shù)的參數(shù)。

相應(yīng)的聯(lián)合概率分布函數(shù)如下所示：

=c(u1,u2,θ)f1(x1)f2(x2)

(8)

式中：f1(x1)和f2(x2)分別為x1和x2的邊緣概率密度函數(shù)，c(u1,u2,θ)是Copula密度函數(shù)。

當(dāng)已知隨機(jī)變量間的Pearson相關(guān)系數(shù)ρ時(shí)，Copula參數(shù)θ可以用下式來(lái)確定：

(9)

可見(jiàn)，給定某一特定copula函數(shù)，則二維聯(lián)合概率分布函數(shù)可以基于其邊緣分布和相關(guān)系數(shù)構(gòu)造。特別的，當(dāng)Copula函數(shù)取Normal時(shí)，所對(duì)應(yīng)的二維聯(lián)合概率分布函數(shù)為Nataf分布，而Nataf變換實(shí)際上就是假設(shè)聯(lián)合概率分布為Nataf分布下的等概率變換。

由于Nataf變換僅適用于高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量，因此本文在建立聯(lián)合概率分布函數(shù)之后，采用Rosenblatt變換作為配點(diǎn)映射的方法。對(duì)于二維問(wèn)題，Rosenblatt變換為：

(10)

式中：Φ-1(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)Φ(·)的反函數(shù)；F(x2|x1)為邊緣條件分布，可由下式表示：

(11)

式中：h(u2,u1,θ)為條件Copula函數(shù)。表1列舉了一些常用Copula函數(shù)及相應(yīng)的條件Copula函數(shù)。因此，采用Rosenblatt變換的逆變換即可實(shí)現(xiàn)配點(diǎn)從標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間到原隨機(jī)空間的映射X=T(U)：

(12)

注：Φθ為相關(guān)系數(shù)為θ的二維標(biāo)準(zhǔn)高斯分布；Tθ,λ為相關(guān)系數(shù)為θ且自由度為λ的二維標(biāo)準(zhǔn)t分布；Tλ為自由度為λ的一維標(biāo)準(zhǔn)t分布

3 算例1

算例1研究如圖1所示的某一靜水壓力場(chǎng)下圓形隧道的開(kāi)挖可靠性。假設(shè)巖體是同質(zhì)、均勻和連續(xù)的，靜水壓力場(chǎng)為p0，若開(kāi)挖一半徑為R的隧道，則塑性區(qū)半徑Rpl為：

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：c和φ分別為粘聚力和內(nèi)摩擦角；pi為支護(hù)壓力。

假設(shè)p0=2.5 Mpa，pi=0.1 Mpa，c和φ為隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)分布如表3所示，并假設(shè)c和φ之間的相關(guān)系數(shù)ρ=-0.5。

表3 算例1 隨機(jī)變量的分布

圖1 隧道開(kāi)挖示意

假設(shè)允許的塑性區(qū)半徑為3倍洞徑，則功能函數(shù)為：

(17)

首先假設(shè)c和φ之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)為高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)即Normal Copula，分別建立2～4階隧道開(kāi)挖塑性區(qū)半徑的隨機(jī)響應(yīng)面，然后基于該隨機(jī)響應(yīng)面通過(guò)蒙特卡洛模擬(N=105)得出塑性區(qū)半徑的分布。圖2表示的是塑性區(qū)半徑的累積概率函數(shù)(圖中：y為允許的相對(duì)塑性區(qū)半徑)，為便于驗(yàn)證本方法，同時(shí)將基于Nataf變換并直接采用蒙特卡洛方法(N=105)得出的結(jié)果進(jìn)行比較。注意建立2～4階隨機(jī)響應(yīng)面時(shí)采用原解析模型進(jìn)行隧道塑性區(qū)半徑計(jì)算的次數(shù)分別為6，10，15次，其后蒙特卡洛模擬只是簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算，而直接采用蒙特卡洛模擬需要調(diào)用原模型105次。

圖2 隧道開(kāi)挖塑性區(qū)半徑的累計(jì)概率函數(shù)

表4比較了不同方法下基于式17的隧道開(kāi)挖失效概率。若以Nataf變換加直接采用蒙特卡洛方法得出的結(jié)果作為精確解，則3階隨機(jī)響應(yīng)面所對(duì)應(yīng)的結(jié)果已具備較高精度。

表4 高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)下可靠性分析結(jié)果對(duì)比

上述結(jié)果是假設(shè)c和φ之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)為高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)，然而實(shí)際上該假設(shè)并不一定成立，為檢驗(yàn)非高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)是否對(duì)隧道開(kāi)挖可靠性存在較大影響，本文分別研究了當(dāng)相關(guān)結(jié)構(gòu)用t Copula (λ=2)和Frank Copula表示時(shí)的隧道開(kāi)挖失效概率。

圖3對(duì)比了基于3階隨機(jī)響應(yīng)面的不同相關(guān)結(jié)構(gòu)下隧道塑性區(qū)半徑分布的累積概率函數(shù)曲線。可以發(fā)現(xiàn)，不同相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)可靠性分析結(jié)果有著顯著影響。表5比較了具體的失效概率以及相較于高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)非高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)失效概率的偏差?？梢钥闯霎?dāng)分別假設(shè)相關(guān)結(jié)構(gòu)需要用t Copula (λ=2)和Frank Copula來(lái)表示時(shí)，基于高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)假設(shè)得出的隧道失效概率會(huì)明顯高于或低于實(shí)際的失效概率，相對(duì)偏差分別為-10.61%和6.76%。因此，基于高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)假設(shè)有可能導(dǎo)致過(guò)于保守或過(guò)于冒進(jìn)的施工及設(shè)計(jì)方案。

圖3 隧道開(kāi)挖塑性區(qū)半徑的累計(jì)概率函數(shù)

Copula(相關(guān)結(jié)構(gòu))Normal(高斯)tCopula(λ=2)Frank失效概率p(G<0)0.02810.02540.0300偏差/%—-9.616.76

4 算例2

算例2研究如圖4所示的某1∶1邊坡，邊坡高度10 m。土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)即有效粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ均為隨機(jī)變量，且服從表6給出的分布，相關(guān)系數(shù)ρ=-0.458，土體重度假設(shè)為常數(shù)。

圖4 邊坡穩(wěn)定性示意

參數(shù)分布類型形狀參數(shù)比例參數(shù)c/kPaWeibull1.8658.24φ/(°)Gamma16.981.19

邊坡穩(wěn)定性分析是典型的隱性極限狀態(tài)函數(shù)問(wèn)題，其穩(wěn)定性通常用安全系數(shù)FS表示，含義為潛在滑動(dòng)面上的土體抗剪強(qiáng)度與滑動(dòng)荷載的比值。邊坡穩(wěn)定性分析中極限狀態(tài)函數(shù)為隱性，其原因在于最小安全系數(shù)對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面未知，需要通過(guò)一定的搜索算法進(jìn)行識(shí)別，而且土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)變化時(shí)，該潛在滑動(dòng)面的位置也可能發(fā)生變化。

這里采用Bishop法計(jì)算邊坡安全系數(shù)，滑動(dòng)面形狀假設(shè)為圓弧形，通過(guò)網(wǎng)格搜索確定給定土體抗剪強(qiáng)度下邊坡安全系數(shù)的最小值及其對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)面。為驗(yàn)證所提出方法的有效性，基于Rosenblatt變換通過(guò)蒙特卡洛(N=104)產(chǎn)生不同相關(guān)結(jié)構(gòu)下服從已知邊緣分布和相關(guān)系數(shù)的土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)樣本，然后直接采用邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型算出樣本所對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)的分布，之后采用隨機(jī)響應(yīng)面法計(jì)算邊坡的失效概率并與蒙特卡洛方法進(jìn)行對(duì)比。

表7給出了該邊坡可靠性分析的對(duì)比結(jié)果，基于隨機(jī)響應(yīng)面法得出的失效概率與蒙特卡洛所得出的結(jié)果基本一致。但是隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)原解析模型調(diào)用的次數(shù)遠(yuǎn)低于直接采用蒙特卡洛法調(diào)用原模型的次數(shù)。在本例中，基于5階隨機(jī)響應(yīng)面對(duì)原模型的調(diào)用次數(shù)僅為21次，之后邊坡安全系數(shù)的計(jì)算只需通過(guò)Hermite多項(xiàng)式進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算即可，總耗時(shí)約15 s左右，而采用樣本數(shù)為10000的蒙特卡洛模擬則需要1小時(shí)以上。相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)于邊坡失效概率仍有較大影響。當(dāng)層狀土有效粘聚力相關(guān)結(jié)構(gòu)為Frank時(shí)，若仍基于Gauss相關(guān)結(jié)構(gòu)(Nataf變換)進(jìn)行分析會(huì)明顯低估邊坡失效概率，從而造成過(guò)于經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)。

表7 邊坡可靠性分析結(jié)果對(duì)比

5 討 論

為研究相關(guān)結(jié)構(gòu)如何影響可靠性分析結(jié)果，以案例1為例，圖5a，5b分別顯示了不同相關(guān)結(jié)構(gòu)下3階隨機(jī)響應(yīng)面配點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間和原隨機(jī)空間的位置(圖中，U1，U2分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的c和φ)?？梢钥闯鲈跇?biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間中，候選配點(diǎn)和基于滿秩矩陣實(shí)際選取的配點(diǎn)是相同的，不依賴于隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)結(jié)構(gòu)；但是當(dāng)配點(diǎn)從標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間向原隨機(jī)空間進(jìn)行映射時(shí)，由于c和φ之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，因此在原隨機(jī)空間中配點(diǎn)位置相較于標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)，但不同相關(guān)結(jié)構(gòu)(Copula)對(duì)該旋轉(zhuǎn)有著一定影響，除原點(diǎn)外的所有配點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)時(shí)均有不同程度的偏移，而且配點(diǎn)距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，不同相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)于該配點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后位置的影響越大。因此，在假設(shè)不同相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)，同樣的配點(diǎn)最后對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)值會(huì)有所不同，進(jìn)而導(dǎo)致了隨機(jī)響應(yīng)面待定系數(shù)發(fā)生改變，從而得出不同的可靠性分析結(jié)果。

圖5 3階隨機(jī)響應(yīng)面配點(diǎn)的位置

由于相關(guān)結(jié)構(gòu)可能對(duì)可靠性結(jié)果產(chǎn)生明顯的影響，選擇合適的Copula函數(shù)來(lái)表征隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)顯得尤為重要。然而，在缺少實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的情況下難以準(zhǔn)確確定變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。因此，在給定隨機(jī)變量的邊緣分布和相關(guān)系數(shù)的條件下，需要補(bǔ)充有關(guān)相關(guān)結(jié)構(gòu)信息。例如，若已知變量之間存在非對(duì)稱的下尾相關(guān)性，則可以采用Clayton Copula計(jì)算失效概率，而不必受限于高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)假設(shè)的限制。

如果缺少相關(guān)結(jié)構(gòu)的信息，可以檢驗(yàn)不同非高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)相比高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的可靠性結(jié)果偏差。如果偏差較大，再補(bǔ)充數(shù)據(jù)用于準(zhǔn)確界定變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)或者直接選取較為保守的設(shè)計(jì)值。

6 結(jié) 論

本文研究了不完備概率信息下可靠性分析的隨機(jī)響應(yīng)面方法，基于Copula理論建立了聯(lián)合概率分布模型，通過(guò)Rosenblatt變換實(shí)現(xiàn)了配點(diǎn)從標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間到原隨機(jī)空間的映射，并以某圓形隧道開(kāi)挖和某層狀邊坡為例探討了不同相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)隨機(jī)響應(yīng)面構(gòu)建及可靠性結(jié)果的影響，得出以下結(jié)論：

(1)當(dāng)假設(shè)不完備概率信息條件下變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)為高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)，基于Nataf變換和基于Ronsenblatt變換得出的可靠性結(jié)論是一致的，說(shuō)明兩種等概率變換形式在假設(shè)Normal Copula時(shí)是等效的；

(2)隨機(jī)響應(yīng)面可以較為精確地將原有隱性功能函數(shù)顯性化，但不完備概率信息下隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)未知，而假設(shè)不同相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)于可靠性結(jié)果有著較為顯著的影響，常用的高斯相關(guān)結(jié)構(gòu)會(huì)明顯低估或高估系統(tǒng)的失效概率進(jìn)而導(dǎo)致過(guò)于保守或過(guò)于經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)和施工方案；

(3)不同相關(guān)結(jié)構(gòu)即Copula選擇對(duì)于可靠性分析結(jié)果的影響是通過(guò)改變配點(diǎn)在原隨機(jī)空間中的位置來(lái)實(shí)現(xiàn)的，除原點(diǎn)外的所有配點(diǎn)在映射后均有不同程度的偏移，而且配點(diǎn)距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，不同相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)于該配點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后位置的影響越大，從而導(dǎo)致相同的配點(diǎn)卻對(duì)應(yīng)不同的系統(tǒng)響應(yīng)值并影響可靠性分析結(jié)果。

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