劉文婧，陳肖潔

（內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010）

1 引言

滾動軸承故障診斷需要解決的關(guān)鍵問題是，如何從非平穩(wěn)的故障信號中提取出有效的、可以表征故障狀態(tài)的特征參數(shù)[1]。近年來，信號分析及其特征提取的方法有，短時傅里葉變換、Hilbert變換、Wigner-Ville分布和經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓╡mpiricalmodedecomposition，EMD）等。非平穩(wěn)信號的處理方法已廣泛應(yīng)用于機(jī)械故障診斷，并取得了不錯的效果[2-3]。EMD分解方法可以有效地提取振動數(shù)據(jù)序列趨勢，因此，我們可以利用EMD分解來獲取信號的本征模函數(shù)（intrinsic mode function，IMF）分量。

故障模式識別主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與支持向量機(jī)（support vector machine，SVM）兩種方法。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入過度學(xué)習(xí)和局部最小值等困境。SVM通過隱式定義的核函數(shù)將低維的輸入空間引入高維的特征空間，以高維空間中的可分來解決原本不可分的問題，具有求解高效，易處理非線性高維的問題，成功地應(yīng)用于故障診斷[4-5]，證明SVM在故障識別方面的優(yōu)越性。然而，就獲取最優(yōu)解的計算代價而言，最小二乘支持向量機(jī)（least squares support vector machine，LSSVM）[6]憑借解決一組線性方程組來求解超平面參數(shù)的優(yōu)勢，在計算高效性上，優(yōu)于SVM。但是，LSSVM面臨著如何選擇核函數(shù)的難題，同時，不同的單一核函數(shù)對SVM的分類精度影響較大。多核學(xué)習(xí)（multiple kernel learning，MKL）[7]的提出為核函數(shù)的選取提供了新的思路，拓寬了核函數(shù)選擇的道路，即我們可以同時選擇多個不同類型的基本核函數(shù)，也可以選擇同一類型不同核參數(shù)的核函數(shù)。多核學(xué)習(xí)模型的至關(guān)重要的問題是，基本核函數(shù)的權(quán)系數(shù)如何確定。半定規(guī)劃算法的多核學(xué)習(xí)LSSVM算法[8]和選擇性多核學(xué)習(xí)SVM算法[9]中的多核權(quán)系數(shù)的求解均需要反復(fù)循環(huán)訓(xùn)練分類器LSSVM或SVM，計算開銷較大。為了減小算法的計算開銷，考慮到文獻(xiàn)[10]提出的核極化核度量標(biāo)準(zhǔn)，借助于核極化的獨(dú)立于學(xué)習(xí)分類器的優(yōu)勢，我們提出由核極化來確定多個基本核函數(shù)的權(quán)系數(shù)。

因此，我們聯(lián)合考慮EMD提取振動信號趨勢的有效性、LSSVM學(xué)習(xí)器計算的高效性、多核學(xué)習(xí)模型選擇核函數(shù)的廣泛性和核極化確定多核權(quán)系數(shù)快捷性，提出EMD與多核LSSVM算法，并用實(shí)驗室的軸承信號檢測所提算法的有效性。

2 EMD與數(shù)據(jù)特征提取

2.1 EMD

經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸釫MD方法的特點(diǎn)是直觀性、先驗性和自適應(yīng)性。EMD分解信號的依據(jù)原則為樣本數(shù)據(jù)本身的時間尺度特征，預(yù)先不設(shè)定任何基函數(shù)。在理論上，EMD適用于任何類型的信號的分解。因此，常常借助EMD分解非線性、非平穩(wěn)信號，使復(fù)雜信號分解為有限個本征模函數(shù)IMF，獲得一系列表征原信號特征不同時間尺度的局部特征信號，即模態(tài)函數(shù)IMF，IMF的頻率由高到低。

2.2 數(shù)據(jù)的特征提取

我們對EMD分解的信號進(jìn)行數(shù)據(jù)特征向量提取，主要采用的信號特征有均方值指標(biāo)、峰峰值指標(biāo)、峭度指標(biāo)、偏度指標(biāo)，各類的指標(biāo)的具體形式如下：

峰峰值（peak-to-peak）是指最大的正值減去最大的負(fù)值之差。對故障信號來說，峰峰值要明顯增大。

對機(jī)械故障診斷系統(tǒng)而言，均方值Xrms描述信號的能量，穩(wěn)定性好，可以判別機(jī)械設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)是否正常；峭度指標(biāo)Cq對振動信號的沖擊特征較敏感，反映信號的沖擊特征；方差權(quán)衡振動信號的離散程度；偏度指示振動信號數(shù)據(jù)分布非對稱程度。

3 LSSVM

二分類時，在非線性的情形下，給定一組包含l個樣本的訓(xùn)練樣本集，通過所謂的核函數(shù)的隱式定義，使 n 維空間的數(shù)據(jù)映射到更高維的S空間，隨之，在高維S空間中，以線性分類的方式成功解決n空間的非線性分類問題。在綜合考慮函數(shù)復(fù)雜度和分類允許誤差的前提下，分類問題的數(shù)學(xué)語言可表述如下[6]：

式中：γ—正則化參數(shù)；ek—松弛變量，或分類允許誤差；b—偏置常量。通過構(gòu)建Lagrange方程求解式（2）：

關(guān)于式（3），由 Karush-Kuhn-Tucker（KKT）條件可得：

整理式（4），可得線性方程組，如下：

式中：Ωij=yiyjk（xi，xj）；Y=（y1，…，yl）T；I—與 Ω 同階的單位矩陣；I1=（1，…，l）T，與 Ω 同行的全 1 列矩陣；拉格朗日乘子α=（α1，…，αl）T。

求解式（5），得到b和α，對未來輸入樣本x，LSSVM的輸出決策函數(shù)為：

多分類時，多分類分類問題的求解方法主要有兩種，一次性多目標(biāo)優(yōu)化和多分類問題通過某種原則轉(zhuǎn)化為二分類問題。在實(shí)際應(yīng)用中，鑒于多目標(biāo)優(yōu)化，即一次性求解所有分類問題的多參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化算法，面臨著求解變量數(shù)目較大，求解過程復(fù)雜等難題，并不適用。因此，我們采用將多分類轉(zhuǎn)化為多個二分類LSSVM來實(shí)現(xiàn)多分類分類，為了保持樣本數(shù)據(jù)的平衡性，采用一對一方式來實(shí)現(xiàn)多個二分類。

4 多核LSSVM

多核最小二乘支持向量機(jī)（leastsquaressupportvectormachine with multiple kernels，MK_LSSVM）算法的核心思想是將M個不同類型的基本核函數(shù)k1，…，kM進(jìn)行線性或非線性的加權(quán)組合以獲取新的等價核，并將新的等價核用于訓(xùn)練模型的構(gòu)建。根據(jù)多核學(xué)習(xí)MKL[7]的原理，MK_LSSVM的決策輸出函數(shù)為：

式中：μi—第i個基本核函數(shù)的組合權(quán)系數(shù)；M—基本核函數(shù)的個數(shù)。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化，MK_LSSVM的原始優(yōu)化問題的可表述為：

構(gòu)建拉格朗日函數(shù)進(jìn)行式（8）求解：

分別對式（9）的各參數(shù) ωi，ek，b，ak求偏導(dǎo)，由 KKT 條件可得：

將式（11）整理為矩陣的形式可簡寫如下：

指出P的幾何意義為當(dāng)同類樣本點(diǎn)相互靠近，異類樣本點(diǎn)相互遠(yuǎn)離時，P值越大。換而言之，就是，當(dāng)某一核函數(shù)對樣本正確分類的貢獻(xiàn)率越大時，相對應(yīng)的P值就大。因此，在多核學(xué)習(xí)的框架中，我們可以利用相應(yīng)基本核函數(shù)的核極化值的大小來確定其組合權(quán)系數(shù)的大小，權(quán)系數(shù)確定的具體表達(dá)式為：

目前，廣泛使用的基本核函數(shù)有：高斯核、多項式核、線性核等。我們選用全局性核函數(shù)—多項式核和局部性核函數(shù)—高斯核，作為多核組合的基本核函數(shù)，高斯核和多項式核的表達(dá)式分別為：

為了減小不同核函數(shù)之間的差異性，我們對核函數(shù)進(jìn)行球形標(biāo)準(zhǔn)化處理，具體公式為：

5 EMD與MK_LSSVM算法

EMD信號分解原理和多核LSSVM學(xué)習(xí)算法，在滾動軸承的故障診斷中，聯(lián)合二者，提出了基于EMD與MK_LSSVM的軸承故障診斷算法，算法步驟如下：步驟1：采集各種機(jī)械信號（如，正常信號、內(nèi)圈故障信號、外圈故障信號和滾動體故障信號），并進(jìn)行EMD信號分解，對主要的IMF分量進(jìn)行數(shù)據(jù)特征提取，即獲取數(shù)據(jù)樣本集，并確定訓(xùn)練集和預(yù)測集；步驟2：選擇基本核函數(shù)，高斯核和多項式核，并設(shè)置相應(yīng)的核參數(shù)值σ和q；步驟3：基本核函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理，如式（16）所示。步驟4：計算每個核函數(shù)的核極化值Pi，并按式（14）確定核函數(shù)的組合權(quán)系數(shù)μi值；步驟5：MK_LSSVM分類器的學(xué)習(xí)訓(xùn)練，由式（13）確定 α 和b；步驟 6：MK_LSSVM的預(yù)測，根據(jù)式（7）預(yù)測新輸入的樣本x的類別。依據(jù)上述步驟，用具體實(shí)驗，以驗證所提算法是否有效。

6 實(shí)驗

6.1 軸承故障模擬實(shí)驗臺

軸承故障模擬實(shí)驗臺主要由電動機(jī)、電機(jī)控制器、轉(zhuǎn)速計、聯(lián)軸器、轉(zhuǎn)軸、軸承座、平衡轉(zhuǎn)子、透明防護(hù)罩、基座組成，如圖1所示。可模擬軸承狀態(tài)及故障有：正常、滾動體故障、內(nèi)圈故障、外圈故障。

圖1 軸承故障模擬實(shí)驗臺Fig.1 The Experimental Table of Bearing Fault

6.2 軸承振動信號采集

軸承振動信號的采集過程：首先，軸承故障試驗臺將振動信號傳輸?shù)捷S承座上的傳感器，然后，輸送到振動信號采集儀，進(jìn)行信號的模/數(shù)轉(zhuǎn)換，最后，傳送信號至電腦，顯示采集信號的波形。軸承振動信號傳輸通路，如圖2所示。信號采集流程圖，如圖3所示。

圖3 信號采集流程圖Fig.3 The Flow Chat of Signal Acquisition

為了成功地完成信號采集。（1）確定要采集信號的軸承狀態(tài)（正常，滾動體故障，內(nèi)圈故障或外圈故障）；（2）確定電動機(jī)的轉(zhuǎn)速（根據(jù)需要設(shè)定轉(zhuǎn)速，如：1200r，1800r等）；（3）設(shè)定采樣頻率（根據(jù)采樣定理）和采樣時間（根據(jù)需要）；（4）確定樣本組數(shù)（若需多組）。實(shí)驗中，設(shè)置采樣頻率為2560Hz和采樣時間為20s，電動機(jī)轉(zhuǎn)速為1410r，分別模擬了軸承正常、外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動體故障等4種狀態(tài)。我們從采集的各種狀態(tài)的數(shù)據(jù)中，各選取1200個數(shù)據(jù)點(diǎn)，則樣本數(shù)據(jù)總大小為4800x1。內(nèi)圈故障的原信號時域圖，如圖4所示。

圖4 內(nèi)圈故障的原信號時域圖Fig.4 The Original Signal Time Domain Diagram of Inner Fault

關(guān)于如何對采集到的軸承4種狀態(tài)的加速度實(shí)驗信號進(jìn)行分析和識別，步驟如下：首先，對采集的各類軸承信號進(jìn)行EMD分解，得到主要的IMF分量；然后，用均方值指標(biāo)、方差指標(biāo)、峰峰值指標(biāo)、峭度指標(biāo)、偏度指標(biāo)提取第一個IMF分量的數(shù)據(jù)特征作為樣本的輸入特征；再然后，按照第5部分的MK_LSSVM算法對樣本特征進(jìn)行訓(xùn)練學(xué)習(xí)和預(yù)測識別。

6.3 實(shí)驗參數(shù)設(shè)置

為了證實(shí)EMD與多核LSSVM的軸承故障診斷算法的有效性，對于各種狀況的信號數(shù)據(jù)，經(jīng)EMD分解和提取樣本特征向量后，我們得到的總樣本集大小為4800x5，設(shè)置訓(xùn)練集為總樣本數(shù)的50%，總樣本數(shù)的50%為測試集。選取高斯核和多項式核作為組合多核的基本核函數(shù)，其中核參數(shù)分別取σ=2、σ=3和q=2、q=3。MK_LSSVM算法的多核組合形式有：①高斯核（σ=2）、多項式核（q=3），即MK_LSSVM_g2+p3；②高斯核（σ=2）、多項式核（q=3）、多項式核（q=2），MK_LSSVM_g2+p3+p2；③高斯核（σ=2）、多項式核（q=3）、高斯核（σ=3），MK_LSSVM_g2+p3+g3。MK_LSSVM算法中正則化參數(shù)γ=10。作為對比，采用的算法方法有：經(jīng)典的5-折C-SVM（高斯核σ和C的參數(shù)范圍均為為［2-5，25］，步長為），和高斯核（σ=2）的LSSVM，正則化參數(shù)γ=10，即LSSVM_g；Total為了體現(xiàn)算法的客觀性，我們采用10次實(shí)驗的平均值作為評價指標(biāo)。各種算法的實(shí)驗結(jié)果，如表1所示。

表1 試驗結(jié)果Tab.1 The Results of Experiments

6.4 實(shí)驗結(jié)果分析

表1的軸承識別實(shí)驗結(jié)果表明，就分類準(zhǔn)確率而言，MK_LSSVM_g2+p3+p2算法得到了最優(yōu)的分類結(jié)果92.7857，次優(yōu)的分類準(zhǔn)確率91.7143由MK_LSSVM_g2+p3+g3取得。相比于5折C-SVM的90.9286，說明了所提的EMD與多核LSSVM算法在軸承故障診斷中的有效性。

7 結(jié)論

在軸承的故障識別中，對于各種狀態(tài)的采集信號：首先，利用EMD分解和數(shù)據(jù)特征提?。ㄈ缇街?、峰峰值、峭度、偏度、方差等指標(biāo)）來獲取信號的輸入特征，即樣本數(shù)據(jù)特征。然后，在多核學(xué)習(xí)的框架下，為了解決LSSVM選擇核函數(shù)盲目性的難題，引入了核極化，以便確定多核組合的權(quán)系數(shù)，提出了核極化的多核LSSVM算法模型。最后，用所提算法模型分類器對數(shù)據(jù)特征進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練，并識別預(yù)測集，實(shí)驗結(jié)果表明了EMD與多核LSSVM算法的有效性。

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