杜巖錦，郭宗和，杜晴晴，徐 昭

（山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049）

1 引言

在傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程當(dāng)中，設(shè)計(jì)者們大多數(shù)都是進(jìn)行確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)，忽略了不確定性因素[1-2]的影響。然而不確定性因素確實(shí)存在于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、加工、裝配等過程中，如構(gòu)件的加工精度誤差、運(yùn)動(dòng)副間隙誤差、機(jī)構(gòu)裝配誤差以及外界環(huán)境所引起的熱脹冷縮、受力變形等。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)[3]過程中，由于不確定性因素在設(shè)計(jì)初期就已經(jīng)出現(xiàn)，他們會(huì)隨著設(shè)計(jì)變量、設(shè)計(jì)參數(shù)、約束條件等在多個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間傳播，使得不確定性因素在最終的設(shè)計(jì)結(jié)果中累積并且會(huì)造成優(yōu)化結(jié)果的可靠性下降。在文獻(xiàn)[4-5]的基礎(chǔ)上，將考慮隨機(jī)不確定性的多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化理論應(yīng)用于3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。在構(gòu)建該并聯(lián)機(jī)構(gòu)考慮不確定性的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化模型[6]的基礎(chǔ)上，采用基于文獻(xiàn)[7]的6Sigma質(zhì)量設(shè)計(jì)（DFSS）優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。為提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的可靠性提供一種新的思路與方法。

2 3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)M1M2M3、動(dòng)平臺(tái)a1a2a3以及連接兩個(gè)平臺(tái)的3條均勻分布且結(jié)構(gòu)相同的支鏈組成，每條支鏈均由一個(gè)移動(dòng)副P、轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、轉(zhuǎn)動(dòng)副R2和一個(gè)球副S組成，如圖1所示。

圖1 3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 3-PRRS Parallel Mechanism Schematic Diagram

其中，與移動(dòng)副相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線始終與靜平臺(tái)平行，與連桿li相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1軸線相互垂直。P副和轉(zhuǎn)動(dòng)副R1為驅(qū)動(dòng)副。點(diǎn)為移動(dòng)桿與靜平臺(tái)的交點(diǎn)，點(diǎn)為連桿li（i=1、2、3）與動(dòng)平臺(tái)連接的球副S的中心，動(dòng)平臺(tái)的直徑為d，靜平臺(tái)（虛線部分，即轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的中心點(diǎn)Gi在靜平臺(tái)上的投影，投影點(diǎn)為Mi）直徑為D。分別在動(dòng)、靜平臺(tái)的中心P、O點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 P-xyz、O-XYZ，z、Z 軸垂直于動(dòng)、靜平臺(tái)，x、X 軸分別指向a1、A1點(diǎn)，y、Y軸符合右手定則，u1u2u3分別為相對(duì)應(yīng)的支鏈上與轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線共線的向量。

3 性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

3.1 工作空間指標(biāo)

現(xiàn)階段的并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重點(diǎn)之一就是如何解決工作空間小的問題。通過文獻(xiàn)[3]對(duì)限制約束條件分析，利用極坐標(biāo)搜索法得到3-PRRS并聯(lián)構(gòu)工作空間體積公式：

在這里目標(biāo)函數(shù)選?。篤→max。

3.2 全域靈巧度指標(biāo)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧度的指標(biāo)可分為雅可比矩陣條件數(shù)指標(biāo)和可操作度指標(biāo)[8]。

3.2.1 雅可比矩陣條件數(shù)

由于雅可比矩陣與并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位形有關(guān)，是時(shí)刻變化的，因此，用全域條件數(shù)指標(biāo)ηJ來評(píng)價(jià)各向同性的好壞。具體公式如下：

式中：W—并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間。

3.2.2 可操作度指標(biāo)

3.2.3 全域靈巧度指標(biāo)

上述兩種指標(biāo)都會(huì)影響機(jī)構(gòu)的靈巧度，所以將兩種指標(biāo)進(jìn)行整合，建立綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)η。

式中：k1、k2—權(quán)重系數(shù)，根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)來進(jìn)行選取。在這里分別取為k1=0.6，k2=0.4。在這里目標(biāo)函數(shù)選取：η→min。

3.3 線加速度和角加速度性能指標(biāo)

加速度性能指標(biāo)與一階雅克比矩陣J和二階Hessian矩陣H有關(guān)。六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)既有移動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線加速度和角加速度的量綱是不同的，無法確定動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)加速度的向量范數(shù)。故設(shè)：

動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)加速度可以寫成：

由式（8）和式（9）得角加速度和線加速度的條件數(shù)分別為：

其中，a、b為相對(duì)偏差，在這都取2%。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)，角加速度和線加速度的條件數(shù)是局部性質(zhì)，故用角加速度全域條件數(shù)ηw和線加速度全域條件數(shù)ηv表示線加速度和角加速度性能指標(biāo)，顯然，ηw和ηv指標(biāo)越小，動(dòng)力學(xué)性能越好。角加速度和線加速度全域條件數(shù)指標(biāo)具體公式為：

4 多目標(biāo)確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化

4.1 多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化模型的建立

目標(biāo)函數(shù)：

4.2 基于Isight的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，基于Isight優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)與Optimization組件NSGA-II優(yōu)化算法相結(jié)合的組合優(yōu)化策略[9-10]。在Isight中建立的3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖，如圖3所示。具體操作為：在DOE組件中選擇最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)法，樣本點(diǎn)數(shù)是30，然后在Optimization組件中選擇NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法，設(shè)置種群大小是4，遺傳代數(shù)設(shè)置成20。集成的Matlab組件輸入設(shè)計(jì)變量（Input Mappings）：D、d、l，輸出變量（Output Mappings）：工作空間（v）、全域靈巧度指標(biāo)（lingqiaodu）、角加速度全域條件數(shù)及線加速度全域條件數(shù)（jiaojia及ianjia）。根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)寫入優(yōu)化程序（Commands）。

圖2 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.2 Optimization Design Process

4.3 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果分析

通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE）可以得出各個(gè)設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)的影響程度關(guān)系圖。圖3為所有設(shè)計(jì)變量分別對(duì)工作空間、全域靈巧度、角加速度和線加速度性能指標(biāo)的貢獻(xiàn)率圖。以圖3（a）為例進(jìn)行分析，靜動(dòng)平臺(tái)直徑D、d對(duì)工作空間貢獻(xiàn)率分別高達(dá)約30%（藍(lán)色表示正效應(yīng)）、27%（紅色表示負(fù)效應(yīng)），而連桿長(zhǎng)度的貢獻(xiàn)率僅達(dá)到約5%，貢獻(xiàn)率為并聯(lián)機(jī)構(gòu)各個(gè)構(gòu)件的加工精度提供了參考。通過Isight可以查看NSGA-II算法優(yōu)化過程中的History表格，可看到每次優(yōu)化的數(shù)據(jù)，如圖4所示。由History表格得到的可行性設(shè)計(jì)點(diǎn)歷史圖，目的是可以看到目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，如圖5所示。

圖3 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)率圖Fig.3 The Contribution ofDesign Parameters on Objective Functions

圖 4優(yōu)化過程的History表格Fig.4 History Form on Optimization

圖5 設(shè)計(jì)參數(shù)的可行設(shè)計(jì)點(diǎn)圖Fig.5 The Feasible Design Points of Design Parameters

在實(shí)際應(yīng)用中，最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況綜合考慮多目標(biāo)的優(yōu)劣程度進(jìn)行權(quán)衡選擇。例如，將3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于高精度加工設(shè)備中，首先必須保證全域角速度和線速度性能指標(biāo)越小越好，選擇第30（64和67是相同的選擇其一即可）、41、59、70、72組數(shù)據(jù)，其次要求全域靈巧度性能要好，選擇41、59和70組，然后考慮工作空間要求盡可能的大。通過權(quán)衡考量，最終選擇59組數(shù)據(jù)作為優(yōu)化結(jié)果，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)：d=110.81mm，D=192.74mm，l=140.33mm。

5 考慮不確定性的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

5.1 3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的不確定性因素

5.1.1 隨機(jī)設(shè)計(jì)變量

結(jié)構(gòu)尺寸的加工精度屬于隨機(jī)不確定性，符合正態(tài)分布，故可假設(shè)：1～N（140.33，0.01），D～N（192.74，0.01），d～N（110.81，0.01）。

5.1.2 隨機(jī)噪音

根據(jù)3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以將隨機(jī)噪音分為如下幾種：（1）裝配誤差：移動(dòng)副的中軸線與支撐桿中軸線應(yīng)該重合，但因裝配誤差的存在使得他們之間存在間隙，而間隙的大小是不確定的，并且是隨機(jī)的，符合正態(tài)分布，在公式中的表示為：移動(dòng)副軸線與靜平臺(tái) X 軸的夾角 φi～N（φi，0.01）。（2）動(dòng)平臺(tái)上球副的安裝位置誤差：在確定性條件下：三個(gè)球副是均布在動(dòng)平臺(tái)上的，但是，考慮到安裝的不確定性，三個(gè)球副的角度間距不一致，即影響了動(dòng)平臺(tái)上 a1、a2、a3三點(diǎn)的位置，公式表示也是：φi～N（φi，0.01）。（3）定位誤差：由于各項(xiàng)性能指標(biāo)都是以并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反解作為基礎(chǔ)，若動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)P的位姿定位存在微小的不確定性，就會(huì)傳播給目標(biāo)函數(shù)，故定位誤差符合：XP～N（XP，0.01）、YP～N（YP，0.01）、ZP～N（ZP，0.01）。（4）約束條件誤差：并聯(lián)機(jī)構(gòu)的移動(dòng)副移動(dòng)范圍是有一定限制的，但因系統(tǒng)本身是一個(gè)加工裝配機(jī)構(gòu)，使得上下限存在不確定性，Lmax～N（Lmax，0.01）、Lmin～N（Lmax，0.01）。

5.2 6 Sigma可靠性分析

如圖6所示，建立6sigma可靠性評(píng)價(jià)流程。具體操作為Matlab 組件中輸入設(shè)計(jì)變量（Input Mappings）：D、d、l、φ1、XP、YP、ZP、Lmax、Lmin，優(yōu)化程序（Commands）因噪音變量由確定值改為以變量的形式存在而有所改變，輸出變量（Output Mappings）不變，雙擊sixsigma1組件，在AnalysisType下拉菜單中選擇6Sigma分析類型為可靠性分析方法，即Reliability Technique，在Technique中選擇二階可靠性方法（SORM），在Random Variables屬性頁中，設(shè)置所有符合正態(tài)分布的隨機(jī)設(shè)計(jì)變量D、d、l以及隨機(jī)噪音變量 φ1、XP、YP、ZP、Lmax、Lmin，設(shè)置均值，設(shè)置變量的變異系數(shù)（Coeff of Variance）為0.01。6sigma可靠性分析報(bào)告，如表1所示。全域靈巧度指標(biāo)和工作空間sigma leve（可靠度水平）與可靠度相對(duì)較高。線加速度指標(biāo)的可靠度水平只達(dá)到3.4sigma。角加速度指標(biāo)可靠度水平只達(dá)到1.62sigma，可靠度為89.477%，可靠度較低，所以有必要進(jìn)行6sigma優(yōu)化。6Sigma優(yōu)化流程如圖7所示。具體操作：在Matlab組件中，輸入設(shè)計(jì)變量、優(yōu)化序、輸出變量，在Six Sigma組件中Run Mode下選擇six sigma optimization，在Analysis Type下拉菜單中選擇6 Sigma分析類型為，在Technique下拉菜單中選擇二階可靠性方法（SORM），然后仍然在Six Sigma組件中由General將切換到Optimization一欄，仍采用NSGA-II優(yōu)化算法，便于結(jié)果對(duì)比。在Constraints屬性頁中，定義隨機(jī)設(shè)計(jì)變量和上述噪音變量的Sigma Level的下限為6sigma水平，切換到Objective屬性頁，選擇Six Sigma Result節(jié)點(diǎn)下的Mean，勾選四個(gè)目標(biāo)函數(shù)。優(yōu)化結(jié)果，如表2所示。經(jīng)過6sigma優(yōu)化后，在優(yōu)化目標(biāo)均滿足6sigma可靠度的要求的前提下得到了可靠性優(yōu)化最優(yōu)解，兩種優(yōu)化方案的結(jié)果與可靠性進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了6sigma優(yōu)化的結(jié)果的可靠度高于確定性優(yōu)化方案的可靠度，如表3所示。

圖6 6sigma可靠性分析Fig.6 6Sigma Reliability Analysis

表1 6Sigma分析報(bào)告Tab.1 6Sigma Analysis Report

圖 7 6Sigma優(yōu)化流程Fig.7 6Sigma Optimize Process

表2 6Sigma優(yōu)化結(jié)果分析Tab.2 6Sigma Analysis Results

表3 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.3 Optimization Results Contrast

6 結(jié)論

（1）基于Isight多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化軟件，利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE）分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可以非常方便的得出各個(gè)設(shè)計(jì)變量與各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的影響程度關(guān)系圖即因子對(duì)響應(yīng)的影響程度，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)各個(gè)構(gòu)件的加工精度提供了依據(jù)。對(duì)DOE得出的近似模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，得到Pareto解集，決策者可以根據(jù)實(shí)際情況綜合考慮多目標(biāo)的優(yōu)劣程度進(jìn)行權(quán)衡選擇。（2）分析3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在設(shè)計(jì)制造中所涉及到的隨機(jī)不確定性，利用6sigma可靠性分析來驗(yàn)證聯(lián)機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的可靠性。對(duì)考慮隨機(jī)不確定性的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型進(jìn)行6sigma優(yōu)化，通過對(duì)比驗(yàn)證了考慮不確定性的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可使得優(yōu)化結(jié)果的可靠性更高。

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