張弘　鐘立

[摘要]數(shù)的認(rèn)識(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)意義重大，是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、估算能力等重要途徑。為更好地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)與數(shù)的意義，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐采取的對(duì)策是利用多種數(shù)學(xué)模型“點(diǎn)睛”數(shù)的認(rèn)識(shí)，從而變抽象為直觀，變靜止為動(dòng)態(tài)，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)的意義。

[關(guān)鍵詞]數(shù)的認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)模型 點(diǎn)睛

在小學(xué)階段，數(shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容。數(shù)的認(rèn)識(shí)一般除包括數(shù)數(shù)、數(shù)的讀寫(xiě)、數(shù)的順序、數(shù)的大小、數(shù)的組成，還包括數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程、數(shù)在不同情境中的多種含義等，這對(duì)以具體形象思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解數(shù)的意義有一定的困難。

數(shù)尺、數(shù)軸、百格圖、百數(shù)表是數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中常用的教具或?qū)W具，可以稱(chēng)為數(shù)學(xué)內(nèi)部模型。從教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，這些數(shù)學(xué)模型能變抽象為直觀，變靜止為動(dòng)態(tài)，揭示了數(shù)的形成與發(fā)展等，成為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)過(guò)程中強(qiáng)有力的“助手”。用好這些數(shù)學(xué)模型，學(xué)生才能更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

1.利用數(shù)尺或數(shù)線來(lái)“點(diǎn)睛”數(shù)的順序

數(shù)，都是從1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開(kāi)始的。入學(xué)前的兒童雖然能輕松地一個(gè)接一個(gè)數(shù)到一百，但這對(duì)一串?dāng)?shù)中包含的順序關(guān)系、序數(shù)與基數(shù)意義等可能認(rèn)識(shí)不是很到位。我們需要在數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)數(shù)的順序，這就可以利用數(shù)尺或數(shù)線。因?yàn)閿?shù)尺或數(shù)線上的數(shù)排列是有規(guī)律和方向的，能讓學(xué)生對(duì)數(shù)序形成較淺顯的感性認(rèn)識(shí)。

比如，教學(xué)《10的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，“十”是學(xué)生數(shù)的認(rèn)識(shí)中第一個(gè)關(guān)鍵“節(jié)點(diǎn)”。因?yàn)閺囊晃粩?shù)到兩位數(shù)、從計(jì)數(shù)單位“一”到“十”等有認(rèn)識(shí)的第一次飛躍。本課中，我們可以借助學(xué)生一個(gè)一個(gè)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，充分利用數(shù)尺或數(shù)線來(lái)認(rèn)識(shí)10。人教版一年級(jí)上冊(cè)《10的認(rèn)識(shí)》是利用數(shù)尺來(lái)說(shuō)明10的數(shù)出及認(rèn)識(shí)10的。

而我們通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，更希望呈現(xiàn)下面的圖（圖1）：出現(xiàn)一個(gè)珠子出來(lái)一個(gè)一，再出現(xiàn)一個(gè)珠子出來(lái)一個(gè)二……直至出現(xiàn)十個(gè)珠子出來(lái)一個(gè)十。上面雖然呈現(xiàn)的只是帶有數(shù)字的直線（簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)線），但由于一個(gè)珠子與一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)著出現(xiàn)，相比數(shù)尺更直觀、更形象，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)與數(shù)的順序，初步感知數(shù)的排列是有規(guī)律和方向的，讓學(xué)生對(duì)數(shù)序形成較好的感性認(rèn)識(shí)。

2.利用計(jì)數(shù)器來(lái)“點(diǎn)睛”十進(jìn)制與數(shù)位

十進(jìn)制、位值制是理解計(jì)數(shù)法的重點(diǎn)，但又由于比較抽象，也是教學(xué)難點(diǎn)。如上例中，“十”是學(xué)生第一個(gè)接觸的最能明顯體現(xiàn)出“數(shù)位”這一概念的數(shù)。雖然學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位“一”有著豐富的認(rèn)識(shí)，但對(duì)“滿十進(jìn)一”“十”也是一個(gè)計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)就不到位了、不清晰了，有些學(xué)生根本沒(méi)有意識(shí)到“十”也是一個(gè)計(jì)數(shù)單位。這就需要計(jì)數(shù)器來(lái)幫忙。

計(jì)數(shù)器，在幫助學(xué)生建構(gòu)十進(jìn)制、位值制概念及相同計(jì)數(shù)單位數(shù)直接加減等核心概念的學(xué)習(xí)中有著獨(dú)特的價(jià)值。相對(duì)于小棒，計(jì)數(shù)器在數(shù)形結(jié)合直觀展示諸如“數(shù)位”“計(jì)數(shù)單位”等抽象知識(shí)，動(dòng)態(tài)展示“滿十進(jìn)一”等方面優(yōu)勢(shì)明顯，能更好地促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展及上述概念的建構(gòu)。因此，我們要充分利用計(jì)數(shù)器向?qū)W生直觀展示10、20、100、1000等是如何變化來(lái)的，以及怎么寫(xiě)的，知道并掌握同一個(gè)數(shù)字符號(hào)在不同的數(shù)位上表示不同的數(shù)值等，進(jìn)而理解“數(shù)位”及“計(jì)數(shù)單位”，并感受十進(jìn)制、位值制的簡(jiǎn)潔、智慧與優(yōu)越。（圖2）

3.利用數(shù)軸來(lái)“點(diǎn)睛”數(shù)的順序與估算

我們知道，規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線就叫數(shù)軸。數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系，成為“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，使抽象的數(shù)變得有“形”可依。正因?yàn)閿?shù)軸能形象地表示數(shù)，所以數(shù)軸是認(rèn)數(shù)的直觀工具。

借助數(shù)軸比較數(shù)的大小，既生動(dòng)直觀，也便于學(xué)生總結(jié)比較大小的方法。在數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大，因此從左到右形成由小到大的數(shù)列。借助數(shù)軸上自然“綁定”的數(shù)序，在找到數(shù)的相應(yīng)位置之時(shí)，就能比較出數(shù)的大小，這樣不僅能夠準(zhǔn)確地判斷數(shù)的大小關(guān)系，而且還能夠直觀地感受“大多少”“小多少”，培養(yǎng)學(xué)生估計(jì)能力，同時(shí)也是數(shù)感建立的重要過(guò)程。

圖3中數(shù)軸以其直觀的形式，在比較大小中自然地找到了數(shù)的位置，并根據(jù)一個(gè)單位長(zhǎng)度代表的數(shù)值估計(jì)1000在哪里；或者如圖4所示，數(shù)軸可以根據(jù)需要改變一個(gè)單位長(zhǎng)度代表的數(shù)量，有根據(jù)地猜測(cè)更大的數(shù)大概在數(shù)軸的哪個(gè)位置上，充分感受數(shù)與形的結(jié)合帶給我們認(rèn)數(shù)視覺(jué)上的沖擊。

所以數(shù)軸是我們應(yīng)認(rèn)真把握、充分利用的教學(xué)資源之一。

4.利用同心圓“點(diǎn)睛”數(shù)的組成

數(shù)的組成，是數(shù)的認(rèn)識(shí)中一個(gè)比較重要的部分。數(shù)組成的實(shí)質(zhì)是指數(shù)群和子群之間存在著的包含、互補(bǔ)和互換的關(guān)系。掌握了數(shù)的組成，是數(shù)群概念得以發(fā)展，進(jìn)一步理解數(shù)之間關(guān)系的標(biāo)志，也為學(xué)習(xí)加減運(yùn)算打下了基礎(chǔ)。掌握數(shù)的組成比理解數(shù)的實(shí)際意義、序數(shù)、相鄰數(shù)都要困難。

數(shù)的組成，從理解的角度或過(guò)程來(lái)看，首先要知道某個(gè)數(shù)有幾級(jí)數(shù)位、各個(gè)計(jì)數(shù)單位及多少個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位。在實(shí)踐中，可以采用計(jì)數(shù)器，但更可以采用下面的同心圓來(lái)顯示不同計(jì)數(shù)單位的累積而組成的多位數(shù)。同心圓，直觀顯示相同計(jì)數(shù)單位的疊加過(guò)程，與不同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)組成一個(gè)多位數(shù)的過(guò)程，既包含數(shù)數(shù)，又包括數(shù)的組成，尤其突出了數(shù)的組成，即某個(gè)數(shù)由多少個(gè)千、多少個(gè)百、多少個(gè)十、多少個(gè)一組成。

圖5中的兩個(gè)圖顯示的是520、204，可以問(wèn)學(xué)生是怎么數(shù)出來(lái)的？分別是怎么組成的？?jī)蓚€(gè)數(shù)中都有2或0，表示的意義一樣嗎？等等。

5.利用百格圖“點(diǎn)睛”小數(shù)的產(chǎn)生

現(xiàn)行人教版教材在描述小數(shù)的產(chǎn)生時(shí)，是這樣介紹的：在進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果（圖6），這時(shí)也常用小數(shù)來(lái)表示，即古人在測(cè)量物體時(shí)得不到整數(shù)的結(jié)果，就發(fā)明了小數(shù)來(lái)補(bǔ)充整數(shù)。

據(jù)上所述，我們可以借助百格圖來(lái)揭示小數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程。（圖7）

利用百格圖的意圖是在數(shù)的整體結(jié)構(gòu)中認(rèn)識(shí)小數(shù)。從1出發(fā)，向左十進(jìn)制計(jì)數(shù)依次是1、10、100等，然后依據(jù)小數(shù)的產(chǎn)生，將1依次等分得到0.1、0.01、0.001……從圖形中理解數(shù)的變化，引導(dǎo)學(xué)生從中尋找不同與相同，在變化中看到不變，幫助學(xué)生理解小數(shù)與整數(shù)的關(guān)系，在遷移中理解。

6.利用數(shù)軸“點(diǎn)睛”真假分?jǐn)?shù)的異同

分類(lèi)是認(rèn)識(shí)事物中十分重要的方法。通過(guò)比較真假分?jǐn)?shù)，學(xué)生可以在掌握異同的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。在分類(lèi)比較中，我們要注意：分?jǐn)?shù)單位是認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的重要點(diǎn)；其次，真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)都是分?jǐn)?shù)整體中的一部分，將它們放在整體中進(jìn)行比較更易突顯相同與不同。所以教學(xué)中可以緊扣用分?jǐn)?shù)表示數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)比較概括，顯得“水到渠成”。

我們通過(guò)兩個(gè)層次的練習(xí)來(lái)比較異同：

（1）在下面的數(shù)軸上標(biāo)出分?jǐn)?shù)。（圖8）通過(guò)標(biāo)出分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)是一個(gè)“大家庭”。這里有二個(gè)目的：一是在數(shù)軸上找分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，親身經(jīng)歷把數(shù)軸從一個(gè)單位延伸到兩個(gè)單位、三個(gè)單位等；二是隨著數(shù)軸的延長(zhǎng)，豐富分?jǐn)?shù)的范圍，為分?jǐn)?shù)的分類(lèi)做好鋪墊。

（2）從段到點(diǎn)（圖9），將上述分?jǐn)?shù)放到數(shù)軸上，學(xué)生通過(guò)觀察可以直觀地看到這一組分?jǐn)?shù)的異同：分母相同，分子不同。于是學(xué)生想到了比較分子和分母的關(guān)系，并按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)。通過(guò)進(jìn)一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)以4/4為界，分子比分母小的分?jǐn)?shù)集中在0～1之間的這一段上，而分子比分母大的分?jǐn)?shù)則分布在從1開(kāi)始向右的部分。通過(guò)討論得出分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，從而認(rèn)識(shí)到真分?jǐn)?shù)小于1，假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

綜上所述，可以看到這些數(shù)學(xué)模型能幫助學(xué)生通過(guò)感知、操作等體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)、創(chuàng)造數(shù)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)數(shù)。endprint