陳 銘，武若楠，胡佩達(dá)，吳秋平

(清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084)

0 引言

重力場是一種反映地球特性的重要物理場，它一方面能揭示地球內(nèi)部的結(jié)構(gòu)與成分，另一方面也影響著地球上的物理現(xiàn)象；因而重力場的測量有重要意義。重力場測量有地面測量法、衛(wèi)星重力測量法、海洋重力測量法與航空重力測量法等方法：地面測量精度高，但是需要測量人員逐點(diǎn)測量，成本高且效率低；衛(wèi)星重力測量能對全球重力場進(jìn)行測量，效率很高，但分辨率低；海洋重力測量實(shí)驗(yàn)精度、分辨率都符合要求，但由于其僅能測量海洋的重力場，仍具有局限性；航空重力測量方法具有分辨率高、測量高效并且適應(yīng)絕大多數(shù)地形的優(yōu)點(diǎn)，成為重力測量領(lǐng)域中一種有效的方法[1]。

航空重力測量的原理是利用重力儀測量重力加速度以及運(yùn)動加速度在內(nèi)的所有加速度，再減去運(yùn)動加速度，得到重力加速度值。全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)差分載波相位技術(shù)發(fā)展成熟后，運(yùn)動加速度測量主要使用該方法。在中高分辨率的條件下，差分GPS(differential GPS，DGPS)載波相位技術(shù)測量的運(yùn)動加速度精度能達(dá)到毫伽級，是目前航空重力實(shí)驗(yàn)中運(yùn)載體加速度測量的最佳選擇。

在DGPS加速度測量方法出現(xiàn)前，重力儀的運(yùn)動加速度補(bǔ)償主要依賴多普勒雷達(dá)或者激光高度儀。隨后氣壓高度計(jì)、雷達(dá)高度計(jì)等技術(shù)也相繼被應(yīng)用于加速度測量。這些加速度測量方法的精度均低于10 mGal，無法滿足高精度海空重力儀的要求。20世紀(jì)90年代以來，GPS載波相位差分技術(shù)逐漸發(fā)展成熟，DGPS因?yàn)槠湓谖恢?、速度、加速度測量中的高精度與穩(wěn)定性，被普遍運(yùn)用于海空重力測量領(lǐng)域。

載波相位差分技術(shù)測量加速度技術(shù)主要可分為2類：一類為位置微分法，通過載波相位差分求出位置，再對位置2次微分求出載體運(yùn)動加速度[2-4]；另一類為載波相位直接法，對載波相位差分后直接進(jìn)行2次微分，進(jìn)而求出載體運(yùn)動加速度[5-7]。位置微分法要求位置有極高的位置精度與連續(xù)性。利用載波相位DGPS求解位置時，需要計(jì)算整周模糊度。在長基線情況下，整周模糊度的計(jì)算并不簡單，如果加速度測量中整周模糊度有變化，那么2次微分后將對加速度測量值產(chǎn)生很大誤差。在長時間的加速度測量中，GPS衛(wèi)星的星座會產(chǎn)生變化，這也會使加速度測量產(chǎn)生誤差。定位解算大多數(shù)使用的是現(xiàn)有的商業(yè)軟件，如Waypoint GrafNav，導(dǎo)航定位的細(xì)節(jié)保密，無法深入研究。載波相位法不需要解算位置，直接使用載波相位值的微分求解加速度，避免了求解精確的位置。同時還能對衛(wèi)星進(jìn)行加權(quán)最小二乘，解決星座變化的問題[1]。故本文使用載波相位直接法計(jì)算加速度。

精確評估DGPS載波相位測量加速度方法的精度，目前仍是難點(diǎn)，其中的關(guān)鍵問題在于缺乏參考加速度?，F(xiàn)在主要的評估方法有靜態(tài)實(shí)驗(yàn)與航空重力實(shí)驗(yàn)法[8]：靜態(tài)實(shí)驗(yàn)測量靜止時GPS天線的加速度、加速度輸出量即為加速度測量誤差，由于實(shí)際加速度測量環(huán)境為動態(tài)，該評估方法欠缺說服力；而航空重力實(shí)驗(yàn)比較的是不同天線獨(dú)立測量得到的加速度值，利用不同測量值之間的差異衡量加速度測量精度，缺乏加速度真值。

本文設(shè)計(jì)了動態(tài)轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證DGPS的加速度測量精度，通過將GPS天線固定在轉(zhuǎn)臺上并隨之轉(zhuǎn)動，在天線相位中心處會產(chǎn)生大小穩(wěn)定的向心加速度；比較GPS載波相位測得的加速度的模與基準(zhǔn)向心加速度的模，就能評估加速度測量方法的精度。

1 基于DGPS的加速度測量技術(shù)

接收機(jī)接收到的GPS載波的相位與接收機(jī)到衛(wèi)星的視線距離有關(guān)。利用載波相位的2次微分能夠計(jì)算得出接收機(jī)到衛(wèi)星的視線加速度。與定位算法類似，只要可觀測衛(wèi)星數(shù)量足夠就能計(jì)算出接收機(jī)和衛(wèi)星的相對加速度。衛(wèi)星的加速度可以通過廣播星歷或事后精密星歷求出。

1.1 速度計(jì)算

圖1所示為地球、衛(wèi)星以及接收機(jī)之間的位置關(guān)系。圖中SV表示空產(chǎn)晨飛行器(space vehicle)，即衛(wèi)星。

載波相位直接法計(jì)算加速度的基本方程為

(1)

對式(1)微分，得

(2)

(3)

(4)

載波相位與視線距離關(guān)系為

(5)

對式(5)進(jìn)行微分，如果沒有發(fā)生周跳，將多路徑誤差與相對論效應(yīng)誤差都合并到噪聲項(xiàng)，可得

式中帶微分符號的為相關(guān)量的一階微分項(xiàng)。為了消除接收機(jī)與衛(wèi)星的誤差，引入?yún)⒖蓟緆與衛(wèi)星q，可得雙差觀測量

(7)

(8)

對于衛(wèi)星q，由式(4)和式(8)相減得

(9)

聯(lián)立式(8)與式(9)，當(dāng)可觀測衛(wèi)星大于4顆時，就能計(jì)算出接收機(jī)的速度。

1.2 加速度計(jì)算

對式(2)再次微分，得

(10)

又有

(11)

所以有

(12)

對于衛(wèi)星q，也能得出類似或(2)的等式，將衛(wèi)星φ、q得出的2等式相減得：

(13)

對式(8)微分得：

(14)

聯(lián)立式(13)與式(14)，可以計(jì)算得出接收機(jī)的加速度。

當(dāng)可見衛(wèi)星大于4顆時，需要采用最小二乘法計(jì)算加速度。實(shí)際應(yīng)用中，衛(wèi)星的信號質(zhì)量不盡相同，衛(wèi)星的仰角、方位角等會影響信號質(zhì)量，造成載波相位誤差。如果簡單將各個衛(wèi)星的信號無差別使用，那么不能獲得高精度加速度測量結(jié)果。使用加權(quán)最小二乘法能解決這一問題，在使用加權(quán)最小二乘法計(jì)算加速度時，如果使用的加權(quán)矩陣為各個衛(wèi)星載波相位誤差的協(xié)方差矩陣的逆矩陣，那么就能得到方差最小的結(jié)果[1-2]。

當(dāng)衛(wèi)星信號發(fā)生周跳時，載波相位2次微分后就會產(chǎn)生跳變，引起很大的加速度測量誤差；因此在對衛(wèi)星信號進(jìn)行處理前，需要檢測連續(xù)的信號中是否存在周跳[9]。

在航空重力測量領(lǐng)域，由于接收機(jī)噪聲及其他噪聲的影響，未經(jīng)處理的加速度值誤差量級為百毫伽級，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足應(yīng)用需求。這些噪聲主要集中在高頻段，而重力信號則集中于低頻段；所以在測得初始加速度后，還要進(jìn)行低通濾波，獲取高精度的加速度。濾波器的設(shè)計(jì)對加速度的計(jì)算精度影響顯著。濾波器的通帶波動率影響真實(shí)加速度信號的提取，而高頻衰減率則影響噪聲的抑制效果。使用Remez算法計(jì)算的切比雪夫一致逼近交錯點(diǎn)組，與理想濾波器之間的偏差最小，能夠滿足通帶波動率與高頻衰減率的要求；因此本文使用Remez算法進(jìn)行有限沖擊響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)低通濾波器設(shè)計(jì)[10-11]。給定低通濾波器的截止頻率、高頻衰減率與通帶波動率后，能通過Remez算法計(jì)算得出濾波器系數(shù)。

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證DGPS載波相位測量加速度算法的精度，本文設(shè)計(jì)了轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中將GPS天線固定在轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺提供旋轉(zhuǎn)角速度，GPS天線會產(chǎn)生向心加速度；如果轉(zhuǎn)臺的角速度精度高，那么此向心加速度可以作為加速度基準(zhǔn)。利用加速度測量算法對這一加速度進(jìn)行測量并與加速度基準(zhǔn)進(jìn)行對比，就能驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性。

2.1 實(shí)驗(yàn)方案

動態(tài)實(shí)驗(yàn)利用旋轉(zhuǎn)臺完成。將GPS天線放置于轉(zhuǎn)臺上，步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動時會產(chǎn)生向心加速度，使用GPS對這一加速度進(jìn)行測量并同基準(zhǔn)加速度對比，就能驗(yàn)證GPS測加速度算法的準(zhǔn)確性。參考加速度通過轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度以及GPS天線離轉(zhuǎn)臺中心的距離可以算出。

如圖2所示，實(shí)驗(yàn)開始時，將GPS移動天線固定于旋轉(zhuǎn)臂上，將旋轉(zhuǎn)臂固定于轉(zhuǎn)臺上。同時在旁放置GPS基站天線，基站天線在實(shí)驗(yàn)過程中始終保持靜止。啟動轉(zhuǎn)臺，待轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動平穩(wěn)后開始記錄GPS移動天線與基站天線的載波相位數(shù)據(jù)。轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)周期可以設(shè)置為160～240 s，當(dāng)旋轉(zhuǎn)半徑為0.5 m時，GPS移動天線相位中心處的向心加速度為30～70 mGal。轉(zhuǎn)臺平穩(wěn)轉(zhuǎn)動1 000 s后，可以獲得足夠的載波相位數(shù)據(jù)，從而計(jì)算出GPS移動天線的加速度。

利用載波相位測量得到的加速度值是矢量值，坐標(biāo)系為地心地固(earth-centered earth-fixed，ECEF)坐標(biāo)系?；鶞?zhǔn)加速度為轉(zhuǎn)臺的向心加速度值，通過角速度的平方乘以旋轉(zhuǎn)半徑獲得，為標(biāo)量值。因此衡量加速度測量的精確度，通過對比測量加速度的模與基準(zhǔn)加速度評估。

2.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)設(shè)備為2套GPS天線與接收機(jī)、高精度旋轉(zhuǎn)臺與控制器、旋轉(zhuǎn)臂、射頻電滑環(huán)。高精度旋轉(zhuǎn)臺與控制器提供動態(tài)實(shí)驗(yàn)所需旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，旋轉(zhuǎn)角速度的精度直接影響基準(zhǔn)加速度的精度。旋轉(zhuǎn)臂將GPS移動天線固定在轉(zhuǎn)臺上，增加天線的旋轉(zhuǎn)半徑，以獲得更高的向心加速度。由于移動天線一直旋轉(zhuǎn)，連接移動天線的射頻線需要通過射頻電滑環(huán)連接至接收機(jī)。

實(shí)驗(yàn)使用的轉(zhuǎn)臺為北京卓立漢光公司Rauk200型號轉(zhuǎn)臺，控制器為該公司MC600。轉(zhuǎn)臺臺面直徑200 mm，中心最大載荷50 kg。轉(zhuǎn)臺通過步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動，配備圓光柵測量旋轉(zhuǎn)角度實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制。轉(zhuǎn)臺具體參數(shù)如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)臺參數(shù)

實(shí)驗(yàn)使用的GPS接收天線為Novatel公司GPS-703-GGG天線，接收機(jī)為Novatel公司的flexpak 6接收機(jī)。GPS天線與接收機(jī)的參數(shù)如表2所示。

表2 GPS天線與接收機(jī)參數(shù)

在動態(tài)實(shí)過程中，GPS天線持續(xù)旋轉(zhuǎn)，GPS衛(wèi)星的方位角因此不斷改變。GPS-703-GGG天線相位中心穩(wěn)定，不會因?yàn)樾D(zhuǎn)導(dǎo)致飄移，保證了動態(tài)實(shí)驗(yàn)的精度。

2.3 精度分析

動態(tài)實(shí)驗(yàn)的精確度由基準(zhǔn)加速度與實(shí)際加速度的差值決定。動態(tài)實(shí)驗(yàn)的基準(zhǔn)加速度值通過設(shè)定的角速度值與旋轉(zhuǎn)半徑計(jì)算。主要誤差因素有轉(zhuǎn)臺設(shè)定運(yùn)動角速度與實(shí)際運(yùn)動角速度的誤差，旋轉(zhuǎn)臂、轉(zhuǎn)臺與GPS天線的加工誤差帶來的旋轉(zhuǎn)半徑誤差。

基準(zhǔn)加速度

(15)

式中：wd為設(shè)定的轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)角速度；r為GPS天線相位中心旋轉(zhuǎn)半徑。

在實(shí)際的動態(tài)試驗(yàn)中，實(shí)際角速度與設(shè)定的角速度會有誤差，造成基準(zhǔn)加速度與實(shí)際加速度的誤差，即

(16)

式中：w為實(shí)際旋轉(zhuǎn)角速度；ar為實(shí)際旋轉(zhuǎn)加速度。

忽略2階小量，則加速度誤差為

Δa=2wd·Δw·r。

(17)

轉(zhuǎn)臺的角速度精度Δw為0.005(°)/s，實(shí)驗(yàn)中轉(zhuǎn)臺的角速度為2.250～1.500(°)/s，旋轉(zhuǎn)半徑為0.5 m，這部分造成的加速度誤差為0.2～0.3 mGal。

由于天線、轉(zhuǎn)臺、旋轉(zhuǎn)臂等加工定位的誤差，實(shí)際GPS天線旋轉(zhuǎn)半徑與理論旋轉(zhuǎn)半徑之間存在誤差。根據(jù)各部件的尺寸公差情況，這一誤差大概為3 mm?；鶞?zhǔn)加速度

ad=w2·rd。

(18)

式中rd為理論旋轉(zhuǎn)半徑。

考慮旋轉(zhuǎn)半徑誤差，實(shí)際加速度

ar=w2·rr=w2·(rd+Δr)。

(19)

式中：rr為實(shí)際半徑；Δr為半徑誤差；w為角速度。則加速度誤差

Δa=w2·Δr。

(20)

實(shí)驗(yàn)中轉(zhuǎn)臺角速度為2.250～1.500(°)/s，旋轉(zhuǎn)半徑造成的誤差為0.2～0.4 mGal。

綜上，轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)基準(zhǔn)加速度與實(shí)際加速度的累計(jì)誤差大致為0.5 mGal；而GPS測加速度算法精確度要求為1 mGal：該實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛟u估加速度測量的精度。

2.4 結(jié)果分析

在2 d時間進(jìn)行了4組實(shí)驗(yàn)：第1天2組實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)周期分別為160與200 s，實(shí)驗(yàn)時長50 min；第2天2組實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)周期為200與240 s，實(shí)驗(yàn)時長40 min。

動態(tài)試驗(yàn)中，轉(zhuǎn)臺水平放置于水平面上，GPS天線因此也在水平面轉(zhuǎn)動。GPS天線向心加速度指向旋轉(zhuǎn)中心，且在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動；因此GPS天線的加速度在東與北方向的分量按照正弦曲線變化，且2個方向分量存在90°相位差。在垂直方向，由于GPS天線沒有嚴(yán)格調(diào)水平，所以仍然存在加速度分量。轉(zhuǎn)臺周期160 s時東北地3方向加速度分量經(jīng)過低通濾波后如圖3所示，濾波器高頻衰減率為-100 dB，通帶波動率為0.01 dB；可以看出，加速度測量值在東北地3方向分量符合預(yù)期。

轉(zhuǎn)臺周期為160、200、240 s時，基準(zhǔn)加速度分別為77.11、49.35、34.27 mGal。表3～表6為4組GPS加速度測量算法實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，其中均值數(shù)據(jù)為測量得到的加速度的模的均值，標(biāo)準(zhǔn)差為加速度的模的標(biāo)準(zhǔn)差。

表3 轉(zhuǎn)臺周期160 s時加速度(真值為77.11 mGal)

表4 轉(zhuǎn)臺周期200 s時加速度(真值為49.35 mGal)

表5 轉(zhuǎn)臺周期200 s時加速度(真值為49.35 mGal)

表6 轉(zhuǎn)臺周期240 s時加速度(真值為34.27 mGal)

在45 s的濾波周期條件下，加速度測量標(biāo)準(zhǔn)差小于1.5 mGal，平均值偏差小于0.3 mGal；60 s的濾波周期條件下，加速度測量標(biāo)準(zhǔn)差小于1 mGal，平均值偏差小于0.1 mGal；75 s濾波周期下，加速度測量標(biāo)準(zhǔn)差小于0.6 mGal，平均值偏差小于0.1 mGal；90 s濾波周期下，加速度測量標(biāo)準(zhǔn)差小于0.5 mGal，平均值偏差小于0.1 mGal；120 s濾波周期下，加速度測量標(biāo)準(zhǔn)差小于0.25 mGal，平均值偏差小于0.1 mGal；150 s濾波周期下，加速度測量標(biāo)準(zhǔn)差小于0.1 mGal，平均值偏差小于0.1 mGal。GPS載波相位測量加速度方法得到的加速度均值與參考加速度之間的誤差小于0.3 mGal，測量得到的加速度模偏大，可能是實(shí)際旋轉(zhuǎn)半徑大于理論旋轉(zhuǎn)半徑。加速度測量值的標(biāo)準(zhǔn)差隨著濾波周期的增大而減小，濾波周期大于60 s時，標(biāo)準(zhǔn)差低于1 mGal。4組實(shí)驗(yàn)的加速度測量精度十分接近，說明對于頻率范圍在0.004～0.006 Hz的加速度信號，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)有效測量。

3 結(jié)束語

本文實(shí)現(xiàn)了基于DGPS載波相位計(jì)算運(yùn)動載體加速度的方法，并設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)對該方法的精度進(jìn)行評估。利用轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)時所產(chǎn)生的向心加速度作為參考基準(zhǔn)，評估測量得到的加速度的模的精度。4組轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，濾波周期大于60 s時，加速度的模的標(biāo)準(zhǔn)差小于1 mGal，并且標(biāo)準(zhǔn)差隨著濾波周期的增大而降低。DGPS載波相位測量加速度的方法能夠滿足1 mGal的航空重力測量要求。調(diào)整GPS天線使其保持水平，以測出東北天3方向的加速度測量精度是下一步需要解決的問題。

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