代宗山

摘要：高考對(duì)于圓的考查，可謂是變化多端，巧具匠心，其實(shí)萬(wàn)變不離其宗，無(wú)外乎考查了點(diǎn)與圓，直線與圓，圓與圓的基本位置關(guān)系.本文舉例剖析了圓的幾個(gè)常見題型：角的存在問題，點(diǎn)的存在問題，點(diǎn)的恒成立問題.

關(guān)鍵詞：相切；條件；位置關(guān)系；交點(diǎn)

題型一角的存在問題

解決策略：如果我們碰到的問題是在圓或直線上是否存在著點(diǎn)，使得與圓相關(guān)的一個(gè)角為多少度成立，那考慮方法與不等式的成立問題類似，即考慮這個(gè)角的最大值，而這個(gè)角的最大值往往就是直線與圓相切的時(shí)候.

例1設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O∶x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，求x0的取值范圍.

分析首先畫出圖像來(lái)，注意到角的兩條邊，一條是OM，一條是ON，如果把M看成定點(diǎn)，N看成動(dòng)點(diǎn)，其實(shí)是否存在，只需要考慮∠OMN的最大值，即直線與圓相切的時(shí)候.

解設(shè)MP與圓O切于點(diǎn)P，連接OP.

因?yàn)樵趫AO∶x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，所以∠OMP≥45°.

所以sin∠OMP≥sin45°=22.

即OPOM≥22，得OM≤2.

所以x2°+1≤2，解得-1≤x°≤1.

例2已知圓M：（x-1）2+（y-1）2=4，直線l∶x+y-6=0，A為直線l上一點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得∠BAC=60°，求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍.

分析與例一不同之處在于圓上存在兩點(diǎn)，其實(shí)還是考慮∠BAC的最大值，即直線與圓相切的時(shí)候.

解過A做直線AP與圓M切于P，連接MA，MP.

因?yàn)閳AM上存在兩點(diǎn)B，C，使得∠BAC=60°，

所以∠MAP≥30°.

所以sin∠MAP≥sin30°=12.

即MPMA≥12，得MA≤4.

設(shè)M（x，6-x），

所以 （x-1）2+（6-x-1）2≤16.

解得1≤x≤5.

練習(xí)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0，若直線y=k（x+1）上存在一點(diǎn)P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

題型二點(diǎn)的存在問題

常見問題一：直線上存在著點(diǎn)，滿足什么條件，這個(gè)條件往往是一個(gè)圓，所以最后歸結(jié)到直線與圓的位置關(guān)系.

常見問題二：圓上存在著點(diǎn)，滿足什么條件，這個(gè)條件往往是一個(gè)圓，所以最后歸結(jié)到圓與圓的位置關(guān)系.

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（1，0），B（4，0），若直線x-y+m=0上存在點(diǎn)P使得PA=12PB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析點(diǎn)P一方面在直線上，另一方面又滿足PA=12PB，滿足這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡又是什么呢？不難猜到，是一個(gè)圓.所以問題的本質(zhì)就是直線與圓有交點(diǎn).

解設(shè)P（x，y），因?yàn)镻A=12PB，

所以4（x-1）2+4y2=（x-4）2+y2.

化簡(jiǎn)得x2+y2=4.

因?yàn)橹本€x-y+m=0上存在點(diǎn)P使得PA=12PB，所以直線x-y+m=0與圓x2+y2=4有交點(diǎn).

所以m2≤2，得-22≤m≤22.

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l∶y=2x-4.設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

分析此題許多同學(xué)失敗的地方在于解方程組，掉進(jìn)了解方程組的漩渦.如果能把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，認(rèn)識(shí)到問題的本質(zhì)是兩個(gè)圓的位置關(guān)系，那就不是問題.

解設(shè)C（a，2a-4），

則圓方程為（x-a）2+（y-2a+4）2=1.

設(shè)M（x0，y0），

由題意（x0-a）2+（y0-2a+4）2=1.

因?yàn)镸A=2MO，

所以x20+（y0-3）2=4x20+4y20.

即x20+（y0+1）2=4.

因?yàn)槿魣AC上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，

所以圓（x-a）2+（y-2a+4）2=1與圓x2+（y+1）2=4有交點(diǎn).

即兩圓相交或相切.

所以（2-1）2≤d2≤（2+1）2，

即1≤（a-0）2+（2a-4-（-1））2≤9.

所以0≤a≤125.

題型三點(diǎn)的恒成立問題之一

問題常給一個(gè)圓，另外給出的條件一般比較開放，叫人摸不著頭腦，但經(jīng)過我們仔細(xì)分析后，最后往往歸結(jié)到圓與圓的位置關(guān)系.

例5已知線段AB的長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)C滿足CA·CB=λ（λ為常數(shù)），且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，12為半徑的圓內(nèi)，求負(fù)數(shù)λ的最大值.

分析關(guān)鍵弄清楚滿足CA·CB=λ（λ為常數(shù)）的動(dòng)點(diǎn)C它的軌跡是什么？

解如圖1，以線段AB所在直線為x軸， B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.

設(shè)C（x，y），因?yàn)镃A·CB=λ，又CA=（-2-x，-y），CB=（-x，-y）.

所以x（x+2）+y2=λ.

即（x+1）2+y2=1+λ.

記為圓M，顯然1+λ>0.

因?yàn)辄c(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，12為半徑的圓內(nèi)，所以圓M：（x+1）2+y2=1+λ與圓B：（x+1）2+y2=1+λ無(wú)交點(diǎn).

所以1≥12+1+λ.

解得λ≤-34，符合1+λ>0.

所以負(fù)數(shù)λ的最大值為-34.

題型四點(diǎn)的恒成立問題之二

問題一般比較隱蔽，容易與題型三相混，誤以為是圓與圓的位置關(guān)系，其實(shí)更隱蔽的是考慮和圓相關(guān)的最值問題，比如常見的最值問題：圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)的距離，圓上一點(diǎn)和圓外直線的距離等等.

例6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x-1）2+（y-1）2=9，直線l：y=kx+3與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，M為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析動(dòng)中有靜，在變化中善于抓住一點(diǎn)進(jìn)行突破，不妨取k=1考慮， 不難發(fā)現(xiàn)弦AB上和圓距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)離圓上的點(diǎn)的最小距離為 r-d，只要這個(gè)距離大于等于2，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點(diǎn).

解圓心C到直線AB的距離 d=k+21+k2.

因?yàn)橄褹B上和圓距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是弦AB的中點(diǎn)，

又弦AB的中點(diǎn)離圓上的點(diǎn)的最小距離為 r-d，

所以 以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點(diǎn)，只需要 r-d≥2.

即3- k+21+k2 ≥2，解得k≥-34.

以上給出了圓常見的四種題型，已及對(duì)應(yīng)的模型解法，其實(shí)我們?cè)趫A的變化運(yùn)動(dòng)中，去感受問題的成立和不成立，感受動(dòng)中有靜，感受極限思想的指引，感受復(fù)雜與簡(jiǎn)單的交替，是我們最大的收獲.

參考文獻(xiàn)：

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