包麗平

摘 要：微分方程是數(shù)學(xué)的一個非常重要的分支，很多物理和化學(xué)的基本定律都由微分方程提供，而在生物學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中微分方程可以模擬復(fù)雜系統(tǒng)的行為。微分方程數(shù)學(xué)模型來自人們的實際生活，在現(xiàn)實生活中微分方程數(shù)學(xué)模型能解決非常多的實際問題，幾乎在人類社會的每一個角落都展示了其無窮的威力，尤其是在物理、化學(xué)、工程技術(shù)、軍事、經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)與生物等領(lǐng)域都有著非常重要的作用。本文主要提出這些領(lǐng)域中的一些問題，進行微分方程建模，然后通過解這些微分方程來解決這些實際問題。

關(guān)鍵詞：微分方程 數(shù)學(xué)模型 實際生活 應(yīng)用

中圖分類號：G71 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）08（b）-0177-02

客觀世界的一切事物的運動和變化在數(shù)學(xué)上的反映，便有變數(shù)（或變量）概念。事物的運動和變化又是相互依賴、相互制約的，反映在數(shù)學(xué)上，就是變量之間的關(guān)系，從而又形成了函數(shù)的概念。由于大量的實際問題中，稍微復(fù)雜一些的運動過程往往不能直接寫出他們的函數(shù)，卻容易建立變量及其導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式，即微分方程。通過求解這種方程，同樣可以找到指定未知變量直接的函數(shù)關(guān)系。因此，微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際，并應(yīng)用于實際的重要途徑和橋梁，是各個學(xué)科進行科學(xué)研究的強有力的工具。因而，研究微分方程具有很重要的應(yīng)用價值和實際意義。

1 微分方程數(shù)學(xué)模型應(yīng)用

1.1 微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)作為物理學(xué)的重要工具與語言，對物理學(xué)的教學(xué)和研究起著十分重要的作用。物理現(xiàn)象的概括、物理概念的提出、實驗數(shù)據(jù)的歸納整理、邏輯推理分析的進行等過程都離不開數(shù)學(xué)。微分方程作為數(shù)學(xué)的重要分支，在對物理學(xué)中的力學(xué)、熱學(xué)、量子力學(xué)、電磁學(xué)等諸多規(guī)律的探究過程中都有著不可替代的作用。

給出邊界條件我們可以求出電勢分布情況。Poisson-Boltzmann方程被廣泛運用于各種電解質(zhì)溶液體系性質(zhì)的計算和分子模擬中，特別是生物體系中各種大分子在溶液中電荷分布和溶液自由能的計算。

1.2 微分方程在軍事中的應(yīng)用

在世界第一次大戰(zhàn)期間，F(xiàn).W.Lanchester就建立了多個估計戰(zhàn)爭結(jié)局的微分方程數(shù)學(xué)模型，這些模型研究了確定性的影響因素、雙方參戰(zhàn)人數(shù)的多少和每個士兵平均戰(zhàn)斗力的強弱。所以在過去的戰(zhàn)爭方式單一時期，微分方程數(shù)學(xué)模型能很好地預(yù)測戰(zhàn)爭的局勢。

如果交戰(zhàn)雙方在t時刻的兵員數(shù)量分別為x=（x）t，y=（y）t，雙方的傷亡率均與雙方兵員數(shù)量成正比，在不考慮士氣的情況下，研究交戰(zhàn)規(guī)律。

設(shè)交戰(zhàn)的A方t時刻的兵員數(shù)量為x，B方兵員數(shù)為y，則t時刻各方的傷亡率分別為：，其中比例系數(shù)，分別為A，B各方的戰(zhàn)斗威力。表現(xiàn)為裝備及技術(shù)水平越高，系數(shù)，b越大，因而給對方的殺傷越大。把t時刻各方的傷亡率化成積分形式，然后積分可得ax2-by2=c。

1.3 微分方程在經(jīng)濟中的應(yīng)用

微分方程在經(jīng)濟學(xué)理論中還可以分析商品的市場價格與需求量之間的關(guān)系，還可預(yù)測商品的銷售量、再生資源的產(chǎn)量、分析國民收入、投資、儲蓄等經(jīng)濟問題.

1.4 微分方程在生物醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用

微分方程已逐漸滲透到醫(yī)學(xué)研究的各個領(lǐng)域，微分方程描述了事物的動態(tài)過程，可以揭示疾病的發(fā)生規(guī)律，如傳染病、醫(yī)學(xué)圖像處理、乳腺癌DCE-MRI分析等都應(yīng)用到微分方程。

假設(shè)傳染病傳播期間其地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，為常數(shù)n。開始時染病人數(shù)為x0，在時刻t的健康人數(shù)為y（t），染病人數(shù)為x（t），由于總?cè)藬?shù)為常數(shù)，有x（t）+y（t）=n。設(shè)單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當時的健康人數(shù)成正比，比例常數(shù)為k，稱k為傳染系數(shù)，我們可以得到下面的方程。這個模型稱為SI模型，即易感染者和已感染者模型。

SIR模型曾被Kermack等用于檢測本世紀初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫，其理論曲線與實際數(shù)據(jù)相當吻合。

2 結(jié)語

本文主要介紹了經(jīng)常用到微分方程的4個領(lǐng)域中例子。在物理方面，與生產(chǎn)活動與人們自身感覺到的像光、熱、聲、力學(xué)以及電磁場理論都離不開微分方程。在戰(zhàn)爭方面，現(xiàn)在戰(zhàn)爭過程中彼此之間手段越來越多，不確定性因素越來越多，故我們可以利用微分方程以及概率論的結(jié)合，運用隨機微分方程來分析戰(zhàn)爭的情況。傳統(tǒng)單一的戰(zhàn)爭和現(xiàn)在手段多樣化的戰(zhàn)爭都可以用微分方程來預(yù)測其結(jié)局.在經(jīng)濟學(xué)方面，如預(yù)期的市場模型、Black-Scholes期權(quán)定價模型等都是微分方程數(shù)學(xué)模型。在生物醫(yī)學(xué)方面，除了本文舉例的傳染病模型外還有細菌的繁殖模型、藥物動力學(xué)模型以及流行病數(shù)學(xué)模型都是微分方程模型。微分方程這個具有生命力的數(shù)學(xué)分支，分布在我們生活的各個角落。

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