江敏娟

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的思想和數(shù)學(xué)思維，運(yùn)用一定的教學(xué)和學(xué)習(xí)策略，讓學(xué)生首先掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、概念和定理，然后再結(jié)合抽象邏輯思維和具體圖形進(jìn)行分析，從而相對(duì)透徹地理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，以達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的。中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法是數(shù)形結(jié)合思想，這就要求學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，讓數(shù)與形的信息相互滲透，由此可以開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，使數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化。淺析了中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想，希望能指導(dǎo)教學(xué)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念

中學(xué)數(shù)學(xué)大綱指出：“通過(guò)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn)的教育?！睂W(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)、理解、掌握和熟練運(yùn)用是一個(gè)有序的進(jìn)程。這跟一個(gè)數(shù)學(xué)題型和一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)是不同的，不是通過(guò)幾節(jié)課的學(xué)習(xí)就可以掌握和運(yùn)用的。因此要讓學(xué)生熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想，就必須在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)當(dāng)中都有所突出，例如，從最初的對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，到數(shù)學(xué)課堂中的講解，再到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的運(yùn)用和練習(xí)，都滲透著這一思想。只有這樣，學(xué)生才能在潛移默化中熟悉并靈活使用數(shù)形結(jié)合思想。

一、什么是數(shù)形結(jié)合思想

偉大的數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化成一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法?！庇纱丝梢?jiàn)，圖象對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有著很大的幫助作用。整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中始終貫穿著數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)軸與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、反比例及一次、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。只有認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)思想，才能認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，只有在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)上花大功夫，才能讓其學(xué)會(huì)活用知識(shí)，達(dá)到知識(shí)正遷移的效果。數(shù)學(xué)知識(shí)反過(guò)來(lái)是數(shù)學(xué)思想的載體，知識(shí)要通過(guò)思想去理解、去建構(gòu)，缺乏思想，知識(shí)就是空洞的，便失去了意義。然而，在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，在傳統(tǒng)的教學(xué)思想框架下，很多教師并不重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和傳授，還是注重對(duì)知識(shí)的教授，從而忽略了講解知識(shí)的過(guò)程在對(duì)其相應(yīng)數(shù)學(xué)思想的滲透，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法做到對(duì)知識(shí)的舉一反三。由此，數(shù)學(xué)思想的滲透，可以使學(xué)生帶著輕松愉悅的心情學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新精神。由于數(shù)形結(jié)合問(wèn)題可供選擇的范圍較大，對(duì)知識(shí)的覆蓋面廣，綜合性和邏輯性較強(qiáng)，因此必須培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索的能力和創(chuàng)新精神。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的反映形式就是數(shù)學(xué)概念，即一種數(shù)學(xué)思維模式。在教授數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師要突出數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)目標(biāo)，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)概念理解透徹。通常教材上給出的概念是比較抽象的，不利于學(xué)生進(jìn)行理解，例如，在講解圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，外切、相離、相交、內(nèi)含和內(nèi)切等五種關(guān)系，就是“形”，而教材上給出的以d、r1、r2之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系，就是“數(shù)”。對(duì)比之下，教材上的講解就相當(dāng)抽象，不利于學(xué)生理解，也不利于激發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此，在上課前，教師可以讓學(xué)生制作數(shù)學(xué)知識(shí)的模型，上課時(shí)，以實(shí)物作參照來(lái)講解知識(shí)，這樣學(xué)生就能借助“形”的直觀性來(lái)研究“數(shù)”的特征。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要部分，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)都覺(jué)得難度較大，在高考中所占比重也較大。在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，教師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行教學(xué)，能有效地幫助學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)定理的相關(guān)內(nèi)容，清晰地分析函數(shù)的基本條件，從而讓學(xué)生明白解題的關(guān)鍵，增強(qiáng)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。二次函數(shù)的抽象性很強(qiáng)，為此很多學(xué)生覺(jué)得疑惑不解，做題比較困難。采用圖象的方式題目就變得直觀易懂多了，二次函數(shù)圖象能將抽象的函數(shù)關(guān)系用比較直觀的圖象表達(dá)出來(lái)，有助于學(xué)生正確寫(xiě)出函數(shù)中各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)的解析式。中學(xué)生不太能完全理解數(shù)形結(jié)合的思想，所以應(yīng)用起來(lái)也不夠熟練，大多數(shù)情況下，學(xué)生選擇用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題，都是因?yàn)樗麄儫o(wú)法理解題目中的函數(shù)內(nèi)容，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，用代數(shù)法來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題是他們的習(xí)慣。因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)時(shí)，要突出數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用函數(shù)直觀圖象幫助學(xué)生深入理解函數(shù)概念，強(qiáng)化學(xué)生轉(zhuǎn)換函數(shù)表達(dá)方式的能力。

（三）數(shù)形結(jié)合思想對(duì)學(xué)生積極性的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念、公式等知識(shí)都明顯地被寫(xiě)在教材中，學(xué)生可以看得見(jiàn)，是為有形的，但是數(shù)學(xué)思想作為一種隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的東西，是無(wú)形的，并且零散地分散在教材內(nèi)容當(dāng)中。所以，教師作為教學(xué)活動(dòng)的主要執(zhí)行者，必須要更新教學(xué)理念，要從思想上認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要性，將掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和滲透數(shù)學(xué)思想方法都作為教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計(jì)中突出數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)教師要認(rèn)真鉆研教材，努力挖掘教材中可以進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透方式，在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中展開(kāi)實(shí)施。如此一來(lái)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，受到教師潛移默化的影響，有助于學(xué)生明白數(shù)形結(jié)合思想的重要性，并提高自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想

（一）例題講解中，突出數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)有兩個(gè)要點(diǎn)，即明線——數(shù)學(xué)知識(shí)以及暗線——數(shù)學(xué)思想方法。自新課改以來(lái)，數(shù)學(xué)教材中加入了很多探究活動(dòng)和討論及思考的內(nèi)容，探究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新型學(xué)習(xí)成了時(shí)下教學(xué)的熱點(diǎn)話題，新教材更加注重學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”。由此可以說(shuō)明，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，因此，在講解例題時(shí)，教師應(yīng)該先讓學(xué)生自己尋找解決方法，學(xué)生答題時(shí)，教師應(yīng)該查看其解答情況。對(duì)于一頭霧水、無(wú)從下手的學(xué)生，教師應(yīng)該進(jìn)行逐步引導(dǎo)，先讓其畫(huà)出圖象，再引導(dǎo)其根據(jù)圖象得出題目答案。同時(shí)教師應(yīng)該指出是數(shù)形結(jié)合的思想，讓題目難度降低，并要求學(xué)生掌握這種思想并熟練應(yīng)用。比如說(shuō)方程和函數(shù)：x2+3x+2=0的解是二次函數(shù)y=x2+3x+2，y=0時(shí)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)。在解這個(gè)題目時(shí)，首先學(xué)生會(huì)用代數(shù)法得出方程的解，然后就需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，畫(huà)出函數(shù)圖像，就能看出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，從而寫(xiě)出交點(diǎn)坐標(biāo)。由此可得，數(shù)形結(jié)合思想不僅可以降低題目難度，還能提高解題的準(zhǔn)確性。

（二）反復(fù)訓(xùn)練，不斷總結(jié)

學(xué)生數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的形成，必須經(jīng)過(guò)循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練，如此一來(lái)，學(xué)生才能真正地理解和掌握數(shù)形結(jié)合思想。在教學(xué)活動(dòng)中，教師對(duì)數(shù)學(xué)思想的提煉和概括是十分重要的，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉知識(shí)要點(diǎn)和概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，同時(shí)要在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間做總結(jié)，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)思想的重要作用，這樣才能切實(shí)落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法的滲透。例如，在章節(jié)學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生集體復(fù)習(xí)本章節(jié)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，在復(fù)習(xí)的過(guò)程中師生共同把其中的數(shù)形結(jié)合思想方法概括出來(lái)，這樣學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都能得到提升。比如在復(fù)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，在師生共同復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中，教師要讓學(xué)生明確地認(rèn)識(shí)到：函數(shù)解析式中每個(gè)參數(shù)的變化都會(huì)引起函數(shù)圖象的變化，同時(shí)圖象的位置也決定著每個(gè)參數(shù)的大小變化。通過(guò)這種復(fù)習(xí)方式，學(xué)生更加了解二次函數(shù)中隱含的數(shù)形結(jié)合思想，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也會(huì)變得更加靈活。

（三）重視數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的運(yùn)用

中學(xué)數(shù)學(xué)不僅僅是讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，鍛煉其數(shù)學(xué)思維。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和現(xiàn)代思維，這是素質(zhì)教育的根本要求。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法主要是數(shù)形結(jié)合，這有助于學(xué)生把數(shù)學(xué)抽象概念、理論和直觀的具體圖象相結(jié)合，達(dá)到具體思維和抽象思維的聯(lián)合。數(shù)形結(jié)合思想能夠引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行全面具體的分析，既開(kāi)拓了學(xué)生的視野，同時(shí)也讓他們學(xué)會(huì)從不同的層次和角度觀察和分析事物，進(jìn)而學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和思考問(wèn)題，從而培養(yǎng)其良好的思維模式。數(shù)形結(jié)合思想把抽象的數(shù)學(xué)概念、問(wèn)題和邏輯與較直觀的數(shù)學(xué)圖象結(jié)合起來(lái)，從而統(tǒng)一了靜態(tài)思維與動(dòng)態(tài)變化，使得學(xué)生能直觀地看到問(wèn)題所在，同時(shí)又可以動(dòng)態(tài)地觀察和分析深層次的問(wèn)題，使其學(xué)會(huì)用變化、發(fā)展的眼光看問(wèn)題。而且，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和具體概括能力也有很大幫助，這對(duì)學(xué)生推斷能力的發(fā)展也有巨大的促進(jìn)作用，有助于其更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決生產(chǎn)和生活中的實(shí)際問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)不再是課本上的知識(shí)，而是真正能指導(dǎo)實(shí)踐的知識(shí)體系。

四、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的原則及途徑

（一）等價(jià)原則

等價(jià)原則是指將具有代數(shù)性質(zhì)的“數(shù)”轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的具有幾何性質(zhì)的“形”，也就是說(shuō)要解決的問(wèn)題的形與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系具有一致性。方程或不等式問(wèn)題經(jīng)?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系的問(wèn)題，然后借助函數(shù)圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。

例如：方程x3=2sinx的跟實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)為

A.3個(gè) B.5個(gè) C.7個(gè) D.9個(gè)

錯(cuò)解：作函數(shù)y= 與y=-2sinx的草圖。由于兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)，所以只需要作x>0或x=0的部分，又因?yàn)閤>8時(shí)， >2≥2sinx。所以圖形只需取[0，3π]就行了。除原點(diǎn)外還有一個(gè)交點(diǎn)，再由奇偶性知有7個(gè)交點(diǎn)，故選C。

當(dāng)x= 時(shí)，（ ） = >2x>2sin 。由此可得，在（0，2π）內(nèi)還有一個(gè)交點(diǎn)，因此答案為D。

（二）坐標(biāo)法

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是建立坐標(biāo)系，從而使初等數(shù)學(xué)進(jìn)入數(shù)形結(jié)合階段。坐標(biāo)系主要應(yīng)用在兩個(gè)方面，一是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)得出代數(shù)結(jié)論從而得到幾何結(jié)論；二是將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題，通過(guò)獲得幾何結(jié)論得到代數(shù)結(jié)論。

例如：若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y-x≥1，則z=y+2x的最大值等于多少？

分析：首先根據(jù)題目條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=2x+y，然后利用z的集合意義求最值，則只需要求出直線z=2x+y經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，從而得出z的最大值即可。

解：先根據(jù)題目條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=2x+y，最大值是y軸上的截距的最大值，當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)B（1，2）時(shí)，z最大，最大值是4.

總之，由于幾何具有直觀性，所以數(shù)形結(jié)合思想是從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋找解決代數(shù)問(wèn)題的方法。用形象直觀的圖像來(lái)幫助教學(xué)活動(dòng)順利進(jìn)行，把抽象問(wèn)題變得直觀一些，使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，從而解決問(wèn)題，這就是數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想有其深刻的科學(xué)內(nèi)涵，因此要求教育工作者將其作為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種必不可少的工具，在日常的教學(xué)活動(dòng)中合理地滲透數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸和坐標(biāo)系，同時(shí)結(jié)合教材內(nèi)容來(lái)引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。本文關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想做了簡(jiǎn)要探討，首先就數(shù)形結(jié)合思想的含義作一闡述，進(jìn)而對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作一展示，接著提出如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，最后得出培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的原則和途徑。通過(guò)本文寫(xiě)作，以期對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展有一定的推動(dòng)作用。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 溫雪蓮