李 天, 黃 幸

(中國十九冶集團有限公司勘察設計分公司, 四川成都 611700)

[定稿日期]2017-09-15

1 受壓柱線性屈曲理論簡介

穿層柱在建筑設計中有著十分廣泛的應用。在某些下部需要大空間的建筑中，存在跨越2～3層的柱，柱在層間無梁或樓板約束，對于這類柱就應進行屈曲分析以了解柱的失穩(wěn)狀況。在《超限高層建筑工程抗震設防專項審查技術要點(2015版)》附件表二中局部穿層柱、斜柱屬于第七條局部不規(guī)則的情況。進行柱的線性屈曲分析有兩個目的：

(1) 分析柱的失穩(wěn)是否先于整體結構，若柱先失穩(wěn)則說明柱不安全，需對柱進行加強。此項分析可通過屈曲因子來判斷，柱屈曲對應模態(tài)的屈曲因子應大于整體結構的值。

(2) 通過屈曲因子來計算柱實際的計算長度，從而為該柱的設計提供有效的數據。

結構屈曲是指在外力作用下結構的平衡狀態(tài)開始破壞，稍有擾動變形迅速增大，最后使結構發(fā)生失穩(wěn)破壞。由于屈曲導致的破壞程度遠大于其他破壞，所以必須予以重視。

結構的穩(wěn)定計算通常有：大撓度理論和小撓度理論兩種計算方法。在一般的建筑結構設計中通常采用小撓度理論，其優(yōu)點是可以用比較簡單的方式得出基本正確的結論，以求出失穩(wěn)的臨界荷載。若希望得到更精確的結論，則需要采用較為復雜的大撓度理論。

結構的失穩(wěn)有分支點失穩(wěn)和極值點失穩(wěn)兩種基本形式。

1.1 分支點失穩(wěn)(第一類失穩(wěn))

圖1為簡支壓桿的理想體系：桿件是理想的直線(沒有初始曲率)，荷載P是理想的中心受壓荷載(沒有偏心)，當荷載P小于歐拉臨界值Pcr=π2EI/l2壓桿只是單純受壓，不發(fā)生彎曲變形(Δ=0)，壓桿處于直線形式的平衡狀態(tài)(稱為原始平衡狀態(tài))。

圖2中當P>Pcr時，原始平衡形式不再是唯一的平衡形式，壓桿既可處于直線形式的平衡狀態(tài)OBC,也可處于彎曲的平衡狀態(tài)OBD(大撓度理論)或OBD’(小撓度理論),即此時存在兩種不同形式的平衡狀態(tài),并且這時原始平衡狀態(tài)(C點)是不穩(wěn)定的。如果壓桿受到干擾而彎曲，則當圖中干擾消失后，壓桿并不能回到C點對應的原始平衡狀態(tài)，該壓桿繼續(xù)彎曲直到圖中D點對應的彎曲形式的平衡狀態(tài)為止。因此當P>Pcr時，在原始平衡路徑OBC上點C所對應的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。兩條平衡路徑OBC和OBD的交點B稱為分支點。當P>Pcr時在B點出現平衡的二重性，原始平衡路徑OAB由穩(wěn)定平衡變?yōu)椴环€(wěn)定平衡，出現穩(wěn)定性的轉變，具有這種特性的失穩(wěn)稱為分支點失穩(wěn)。分支點對應的荷載為臨界荷載。

圖1 直線平衡狀態(tài)

圖2 彎曲平衡狀態(tài)

在圖3中即OAB表示，稱為原始平衡路徑。如果壓桿受到輕微干擾而發(fā)生彎曲，偏離原始平衡狀態(tài)，則當干擾消失后，壓桿仍又回到原始平衡狀態(tài)。因此當P

圖3 荷載-位移曲線(P-Δ曲線)

1.2 極值點失穩(wěn)(第二類失穩(wěn))

圖4中為具有初曲率的壓桿和承受偏心荷載的壓桿，稱之為為壓桿的非完善體系。非完善體系從一開始加載就處于彎曲平衡狀態(tài)。小撓度的P-Δ曲線如圖5中OA所示，在初始階段撓度增加較慢，以后逐漸變快，當P接近中心壓桿的歐拉臨界值Pcr時，撓度趨于無限大。如果按照大撓度理論其P-Δ曲線為曲線OBC。B點位極值點，荷載到達極大值。在極值點以前的曲線OB其平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，極值點之后的曲線BC，當撓度增大時，其相應的荷載值反而下降，平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。在極值點處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉變?yōu)椴环€(wěn)定平衡，這種失穩(wěn)形式稱為極值點失穩(wěn)。極值點相應的荷載為臨界荷載。

圖4 偏心受壓桿

圖5 荷載-位移曲線(P-Δ曲線)

實際工程中的穩(wěn)定性問題多屬于第二類，但是由于第一類穩(wěn)定的力學模型比較簡單，在數學上是求解特征值的問題，而且它的臨界荷載可近似代表相應的第二類穩(wěn)定問題的上限，所以第一類穩(wěn)定問題在理論分析中占有重要的地位。結構的第一類穩(wěn)定，在數學上歸結為廣義特征值問題。屈曲特征方程為：[K-λG(r)]Ψ=0。其中：K為剛度矩陣；G(r)為荷載向量r作用下的幾何(P-Δ)剛度；λ為特征值對角矩陣；Ψ為對應的特征向量矩陣特征值λ稱為屈曲因子。在給定荷載模式下，它必須乘以r中的荷載才能引起屈曲，即屈曲荷載為屈曲因子與給定荷載的乘積。比如在計算1.0恒+1.0活作用下的屈曲分析時會有一個屈曲因子，該屈曲因子×(1.0恒+1.0活)=屈曲臨界力，根據這個臨界力利用公式Pcr=π2EI/l2求得計算長度之后，在模型里修改穿層柱的計算長度，從而得出正確的結果。

2 工程實例

一普通框架結構為5 m×5 m跨，柱距均為5 m，層高為3.5 m，右下角的角柱穿越2層即該柱的層高為10.5 m。柱子大小均為500 mm×500 mm，主梁為250 mm×400 mm,次梁為200 mm×400 mm，板厚為100 mm，樓面恒載為2.5 kN/m2，活載為3 kN/m2。為便于觀察右下角柱子的屈曲情況，將該柱截面改為300 mm×300 mm。

在YJK里面建立模型如圖6所示，在計算參數-計算控制信息-二階效應中勾選屈曲分析，屈曲模態(tài)數的參數根據模型大小至少為6個，如果在計算結果中未找到要計算的柱子的屈曲模態(tài)則需要增加模態(tài)數量，直至找到該柱的屈曲模態(tài)；屈曲分析荷載組合的選取與最終計算結果無關，因為通過不同的荷載組合計算得出的屈曲因子也會不同，但最終計算出的臨界荷載是相同的。計算過程參數設置見圖7，計算結果見圖8、圖9。

圖6 計算模型

圖7 設置參數

圖8 YJK計算第一模態(tài)云圖

該模態(tài)為第一模態(tài)，可明顯觀察到右下角的柱屈曲。而在實際工程中不允許局部柱子的屈曲先于整體屈曲。屈曲

圖9 YJK計算屈曲因子

分析結果見圖9。臨界荷載為1.0恒+0.5活=155 kN， 155×44.241=6875 kN，根據Pcr=π2EI/l2，計算出實際的計算長度系數為0.513。而《混凝土結構設計規(guī)范》第6.2.20條規(guī)定了框架現澆樓蓋底層柱的計算長度系數為1.0，說明規(guī)范的系數還是非常偏于安全的，而在某些情況下我們可以通過修改長度系數取得較為經濟的設計結果。

采用SAP2000驗算該模型，計算結果同YJK計算結果基本一致，特別是前2階右下角柱的屈曲因子幾乎一致。SAP2000計算結果見表1。

表1 SAP2000計算屈曲因子

3 結束語

本文簡單介紹了受壓混凝土柱的線性屈曲分析的理論及軟件操作，希望對初學設計者有一定的幫助。