宋柳柳, 王怡冰

(長(zhǎng)安大學(xué)建筑工程學(xué)院, 陜西西安 710064)

[定稿日期]2017-08-31

錨管是隧道的重要支護(hù)手段，在前幾年對(duì)黃土隧道支護(hù)體系的研究中，我國(guó)學(xué)者已從工程應(yīng)用效果研究、理論分析和數(shù)值模擬等方面充分證明，黃土隧道中系統(tǒng)錨管作用不大[1]，目前在隧道施工設(shè)計(jì)中已經(jīng)取消系統(tǒng)錨管[2]；而鎖腳錨管作用明顯，在保證黃土隧道安全施工和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性以及處治圍巖大變形等方面的應(yīng)用非常廣泛，但對(duì)于其真實(shí)的作用機(jī)理以及合理設(shè)計(jì)施工參數(shù)的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于其實(shí)際應(yīng)用[3]。

黃土隧道鎖腳錨管的作用不可輕視。黃土隧道開挖后自穩(wěn)能力差，容易產(chǎn)生較大變形，為防止變形可能引起的破壞，黃土隧道初期支護(hù)體系必須堅(jiān)固牢靠。初期支護(hù)體系的剛度與穩(wěn)定性是通過(guò)鋼拱架來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而在鋼拱架處打設(shè)鎖腳錨管，將拱架鎖定，可防止拱架及圍巖的變形與下沉[4]。目前對(duì)于鎖腳錨管的研究主要從工程應(yīng)用效果、理論分析以及數(shù)值模擬三個(gè)方面進(jìn)行，而對(duì)鎖腳錨管的解析計(jì)算涉及較少，學(xué)術(shù)界存在較多爭(zhēng)論。針對(duì)目前提出的幾種錨管力學(xué)計(jì)算方法，如半無(wú)限體受集中力作用的Mindlin解[5-6]、彈性地基梁法[7]、Winkler計(jì)算模型、Pasternak雙參數(shù)地基梁模型等，在綜合分析優(yōu)劣的基礎(chǔ)上，提出對(duì)Winkler模型進(jìn)行改進(jìn)的一種計(jì)算方法，為黃土隧道鎖腳錨桿的設(shè)計(jì)提供一定的理論參考。

1 計(jì)算假定

根據(jù)鎖腳錨管的受力機(jī)理及其與鋼拱架相互作用特點(diǎn)，計(jì)算假定如下：

(1)隧道的圍巖為均質(zhì)巖土體，且隧道為無(wú)偏壓的黃土隧道，圍巖級(jí)別為Ⅴ級(jí)。

(2)鎖腳錨管與鋼拱架在拱腳連接處焊接牢固，鎖腳錨管在鋼拱架兩側(cè)對(duì)稱布置。

(3)鎖腳錨管外端受到鋼拱架的作用力集中在最外端一點(diǎn)，作用點(diǎn)位于錨管截面形心，即錨管的外端荷載只考慮彎矩和拉、壓力，不考慮扭矩。

2 計(jì)算模型

2.1 鎖腳錨管外端受力分析

鎖腳錨管采用熱軋無(wú)縫鋼管，鋼拱架架設(shè)后在拱腳處以與水平方向成一定角度斜向下埋設(shè)。錨管外端與鋼拱架焊接，焊接點(diǎn)為剛節(jié)點(diǎn)，錨管承載著鋼拱架傳來(lái)的作用力，包括彎矩Mj、水平力μHj和豎向力Vj。以錨管外端加載點(diǎn)為中心建立直角坐標(biāo)系xoy(圖1)，設(shè)錨管外徑為D，內(nèi)徑為d，打設(shè)角度為β，將μHj和Vj沿錨管的x方向和y方向進(jìn)行分解，可求得錨管外端的受力情況。

圖1 鎖腳錨管端部受力

(1)

在N0、Q0和M0作用下，鎖腳錨管與圍巖的相互作用如圖2所示。

圖2 鎖腳錨管與圍巖相互作用模型

下面分別考慮鎖腳錨管在外端M0和Q0作用下的橫向作用，以及在N0作用下的軸向作用。

2.2 鎖腳錨管橫向作用分析

在外端M0和Q0作用下，鎖腳錨管在橫向產(chǎn)生撓度，由此受到圍巖的橫向反力作用(圖3)，此時(shí)鎖腳錨管可視為跨間無(wú)荷載的彈性地基梁。

圖3 鎖腳錨管橫向作用計(jì)算模型

根據(jù)溫克爾假定：地基表面上任一點(diǎn)的沉降與該點(diǎn)的單位面積上所受的法向壓力成正比，即鎖腳錨管任一點(diǎn)受到的橫向抗力與該點(diǎn)的撓度成正比。運(yùn)用彈性地基梁的撓曲微分方程式：

p(x)=KD·y(x)

(2)

式中：p(x)為錨管單位長(zhǎng)度上橫向彈性抗力(N/m)；K為圍巖彈性抗力系數(shù)。綜合考慮錨管外注的砂漿和砂漿外的圍巖強(qiáng)度進(jìn)行適當(dāng)選取(Pa/m)，因錨管長(zhǎng)度較短，在鎖腳錨管長(zhǎng)度范圍內(nèi)可將K取為常數(shù)；y(x)為錨管的橫向撓度(m)。

根據(jù)彈性地基梁理論[8]，鎖腳錨管撓曲線微分方程式如下：

(3)

式中：α為鎖腳錨管的變形系數(shù)，1/α稱為特征長(zhǎng)度(m)；Em、Im為鎖腳錨管體的等效彈性模量(Pa)和橫截面慣性矩(m4)。EmIm=EsIs+EgIg，稱為錨管體的等效抗彎剛度(N·m2)，其中Es、Is和Eg、Ig分別為鎖腳錨管和砂漿的彈性模量(Pa)和橫截面慣性矩(m4)。

式(3)為四階常系數(shù)齊次線性微分方程，其通解為：

y=eαx[A1cos(αx)+B1sin(αx)]+

e-αx[C1cos(αx)+D1sin(αx)]

(4)

根據(jù)彈性地基梁理論[8]，有限長(zhǎng)度的梁可簡(jiǎn)化為半無(wú)限長(zhǎng)度的梁來(lái)處理，故鎖腳錨管可按半無(wú)限長(zhǎng)梁計(jì)算。由無(wú)限遠(yuǎn)處的邊界條件確定常數(shù)A1和B1：由x→∞時(shí)，y(x)→0，可得A1=B1= 0。則式(4)可簡(jiǎn)化為：

y=e-αx[C1cos(αx)+D1sin(αx)]

(5)

若忽略剪力對(duì)梁撓度的影響，由材料力學(xué)知識(shí)得：

(6)

鎖腳錨管加載點(diǎn)處的邊界條件為：

(7)

解方程式(7)可得C1、D1：

(8)

將式(8)代入式(2)、式(5)和式(6)可得：

(9)

若規(guī)定：

(10)

則式(9)可以簡(jiǎn)化為：

(11)

根據(jù)式(11)可以計(jì)算得出在外端M0和Q0作用下，鎖腳錨管在任意截面處的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力以及橫向彈性抗力。

2.3 鎖腳錨管軸向作用分析

鎖腳錨管在外端N0的作用下，產(chǎn)生軸向應(yīng)變，同時(shí)受到管身周圍圍巖的摩阻力與錨管底端彈性抗力的作用。由式(1)知，軸力N0=μHjcosβ+Vjsinβ，所以軸力的大小與方向直接受其打設(shè)角度β的影響。隧道中鎖腳錨管的打設(shè)角度一般為銳角，所以N0一般為壓力。

鎖腳錨管在N0的作用下，可看作打設(shè)在土中端部受荷的單承樁，并可借鑒單承樁的荷載傳遞法[9]進(jìn)行受力分析。鎖腳錨管在端頭集中軸力N0的作用下產(chǎn)生軸向變形，錨管側(cè)周和底端圍巖為其提供約束，設(shè)側(cè)摩阻力τ和底端支持力N′，則受力如圖4所示。由于鎖腳錨管的管徑通常較小(一般為φ42或φ51)，且圍巖為黃土，底端支持力N′通常較小，所以在軸向荷載N0的整個(gè)作用過(guò)程中，錨管受到的側(cè)摩阻力τ為主要抗力。

圖4 鎖腳錨管軸向作用受力

假設(shè)在外端N0作用過(guò)程下，錨管與圍巖之間不發(fā)生相對(duì)滑移，則沿x方向兩者的位移協(xié)調(diào)。鎖腳錨管在外端N0作用下，其任意截面的位移S(x)(外端截面的位移用S0表示)滿足如下微分方程及邊界條件[10]：

(12)

式中：Em為錨管體的等效彈性模量(Pa)；Am為錨管體的橫截面面積(m2)；L為鎖腳錨管的長(zhǎng)度(m)；k1為圍巖沿錨管軸向單位長(zhǎng)度的等效剛度系數(shù)(Pa)；k2為錨管底端圍巖沿錨管軸向的等效剛度系數(shù)(N/m)，且k2的值與Am的值成正比。

若令：

(13)

則由式(12)可解得錨管任意截面的位移和軸力：

(14)

從而有在錨管頂端(x=0)處：

(15)

進(jìn)而可得鎖腳錨管外端軸向位移和軸向荷載的關(guān)系：

(16)

由式(13)、式(14)和式(16)得：

(17)

錨管周圍圍巖沿錨管軸向單位長(zhǎng)度的等效剛度系數(shù)k1：

(18)

此時(shí)，錨管任意截面的位移和軸力的表達(dá)式為：

(19)

錨管側(cè)摩阻力為：

f(x)=k1S(x)=εN0e-εx

(20)

3 計(jì)算結(jié)果的規(guī)律分析

將常見的圍巖參數(shù)和錨管參數(shù)代入鎖腳錨管的解析計(jì)算公式進(jìn)行作圖，進(jìn)一步分析計(jì)算規(guī)律。

3.1 圍巖和錨管參數(shù)

表1和表2為圍巖與錨管的物理力學(xué)參數(shù)[2-3]。

表1 圍巖參數(shù)

表2 錨管參數(shù)

錨管的特征長(zhǎng)度1/α遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度L=2.5 m，所以可采用彈性地基梁的方法計(jì)算錨管的橫向作用。根據(jù)式(11)可知，錨管任意一點(diǎn)彎矩的表達(dá)式：

(21)

3.2 打設(shè)角度對(duì)受力的影響

以錨管豎直面內(nèi)的彎矩為例，作出錨管彎矩沿長(zhǎng)度方向的分布圖，圖5分別為不同β下的計(jì)算結(jié)果。

(a) β=0°

(b) β=30°

(c) β=45°

(d) β=60°圖5 錨管彎矩分布

由圖5可知：

(1)彎矩沿著錨管從外端開始迅速增大，在0.5 m左右增大到峰值；

(2)隨后彎矩沿著錨管長(zhǎng)度(0.5～1.5 m范圍內(nèi))迅速減小并趨于0，此后彎矩變?yōu)樨?fù)彎矩；

(3)沿著錨管長(zhǎng)度(1.5～2.5 m范圍內(nèi))，彎矩由負(fù)再次平緩地減為0；

(4)不同β下，彎矩的分布規(guī)律基本相同，β=30°時(shí)，錨管承受的彎矩峰值最大。

由此可知，鎖腳錨管在外端豎向荷載作用下，主要依賴其管口附近部分來(lái)承受荷載。錨管的彎矩在距外端1.5 m左右的時(shí)已經(jīng)趨于0，設(shè)計(jì)中可以忽略不計(jì)。所以，鎖腳錨管取2.5 m左右的長(zhǎng)度能夠滿足承載要求。

3.3 圍巖強(qiáng)度對(duì)受力的影響

以β=30°為例，錨管外端豎向荷載為6 kN時(shí)，不同圍巖強(qiáng)度(彈性抗力)下鎖腳錨管彎矩沿其長(zhǎng)度的分布規(guī)律如圖6所示。

圖6 不同圍巖強(qiáng)度下錨管的彎矩-長(zhǎng)度曲線

由圖6可知：

(1)隨著圍巖彈性抗力的減小，錨管所受到的彎矩峰值逐漸增大；

(2)隨著圍巖彈性抗力的減小，彎矩峰值對(duì)應(yīng)的錨管長(zhǎng)度增大，即錨管需要更長(zhǎng)的長(zhǎng)度來(lái)抵抗荷載。

由此可知，鎖腳錨管打設(shè)在圍巖強(qiáng)度較低的隧道中時(shí)，為提高支護(hù)效果，可通過(guò)適當(dāng)增大錨管的抗彎剛度和管身長(zhǎng)度；而打設(shè)在圍巖強(qiáng)度較高的隧道中時(shí)，可以適當(dāng)選擇短而細(xì)的錨管，避免造成不必要的浪費(fèi)。

需要強(qiáng)調(diào)，此規(guī)律僅為定性研究，僅揭示一般情況下錨管的受力規(guī)律，具體到特定圍巖強(qiáng)度下錨管的合理管徑和長(zhǎng)度應(yīng)通過(guò)更為精確和全面的計(jì)算論證。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)目前鎖腳錨管受力特性的解析計(jì)算理論依據(jù)不充足的現(xiàn)狀，充分考慮了鎖腳錨管、鋼拱架和圍巖三者之間的相互作用與變形協(xié)調(diào)，采用結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性地基梁理論、荷載傳遞法等計(jì)算方法，對(duì)鋼拱架和鎖腳錨管的解析計(jì)算進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了黃土隧道鎖腳錨管內(nèi)力計(jì)算公式，對(duì)計(jì)算結(jié)果作了規(guī)律分析。結(jié)果可為我國(guó)黃土隧道支護(hù)設(shè)計(jì)中鎖腳錨管的設(shè)計(jì)提供理論參考，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

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