陳向蓓

摘要：解數(shù)學(xué)題的思維意識(shí)是答題者通過(guò)審題，在大腦中對(duì)題目所涉及問(wèn)題的一種反應(yīng).當(dāng)學(xué)生具備明確而完善的思維能力，便可在解題困境中靈活選擇自己的思維方式，使問(wèn)題得到迅速而準(zhǔn)確的解決.因此，注重對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題思維角度的選擇，是正確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方向.

關(guān)鍵詞：解題途徑；思路方法；整體結(jié)構(gòu)；思維靈活

一、形象思維

從數(shù)學(xué)問(wèn)題的感性整體入手，在綜合考查的過(guò)程中，運(yùn)用圖表圖形等直觀信息，直接反映事物的本質(zhì)規(guī)律，形象伴隨思維，為數(shù)學(xué)解題提供明確思路方法.

例1復(fù)數(shù)-i一個(gè)立方根是i，則它另外兩個(gè)立方根是（） .

A 32±12iB- 32±12i

C ±32+12i D ±32-12i

解析抓好復(fù)數(shù)開(kāi)方的幾何特征：一個(gè)復(fù)數(shù)的n次方根對(duì)應(yīng)復(fù)平面上等分圓周的n個(gè)點(diǎn).如圖1，由|-i|=1，在單位圓上標(biāo)出i對(duì)應(yīng)點(diǎn)以后，另兩個(gè)等分點(diǎn)便可容易標(biāo)出，故本題應(yīng)選D.

二、 整體思維

在審題中把解題的注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，從整體角度思考，從宏觀上理解和認(rèn)識(shí)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而達(dá)到盡快解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

例2求同時(shí)滿足：（1）z+10z是實(shí)數(shù)，且1

解析如果設(shè)z=x+yi，（x，y∈R）解題非常繁瑣.從整體性質(zhì)出發(fā)，設(shè)μ=z+10z，則z2-μz+10=0，由1<μ≤6， Δ=μ2-40<0得：z=12（μ±40-μ2i）.結(jié)合條件（2）知：μ=2或μ=6.因此所求復(fù)數(shù)z=1±3i或z=3±i.

三、類比思維

將數(shù)學(xué)問(wèn)題題目中的新問(wèn)題與已知問(wèn)題進(jìn)行類比，模仿相似問(wèn)題的處理方法.

例3過(guò)棱錐高的三等分點(diǎn)作平行棱錐底面兩個(gè)截面，則棱錐被分成的三部分體積比.

解析本題運(yùn)用類比方法，可視截得的棱錐和原棱錐為“相似體”.在平面幾何中，相似三角形面積比等于它們對(duì)應(yīng)邊的平方比.類比可知：三棱錐相似時(shí)，它們的體積比等于對(duì)應(yīng)邊的立方比.如圖2，畫(huà)出棱錐的一個(gè)側(cè)面，并分出三個(gè)相似三角形.那么三個(gè)三角形所對(duì)應(yīng)的三個(gè)棱錐休積比為：13∶23∶33因此所求三部分體積比為12∶（23-13）∶（33-23）=1∶7∶19.

四逆向思維

求解一個(gè)問(wèn)題時(shí)，若從正面不能入手或較復(fù)雜，可轉(zhuǎn)換到問(wèn)題的反面，從相反的方向去思考問(wèn)題，即而找出解題的捷徑.善于運(yùn)用逆向思維是思維靈活的一種表現(xiàn)，培養(yǎng)逆向思維訓(xùn)練是學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方面.

例4關(guān)于x方程x3-px2-2px+p2-1=0有且只有一實(shí)根.求實(shí)數(shù)p取值范圍.

解析按常規(guī)考查關(guān)于x的三次方程解的情況，由于是高次方程，求解比較困難.如果將主元x與參數(shù)p易位，即柳暗花明.整理成關(guān)于p的二次方程p2-（x2+2x）p+x3-1=0.

即：（p-x+1）（p-x2-x-1）=0，解得x=p+1或x2+x+1-p=0由于原方程有且只有一個(gè)實(shí)根，即方程x2+x+1-p=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.由Δ=1-4（1-p）<0得p<34，因此p的取值范圍為p<34.

五、極端思維

為解脫出高中數(shù)學(xué)解題中的紛紜繁瑣條件，可利用特殊化思維、極端性原則進(jìn)入清晰而單純的境界，為尋求較為復(fù)雜問(wèn)題的解決，提供行之有效解題途徑.

例5如圖3，多面體ABCDEF中，已知面ABCD邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF和面AC距離是2，求多面體體積.

A92 B5C6D 152

解析因題意，滿足條件的EF不唯一，而多面體的體積不變，即可考慮面ADE⊥面ABCD的極端情況.如圖的多面體可分割成直三棱棱ADE-MNF和四棱錐F-MBCN，那么

VABCDEF=VADE-MNF+VF-MBCN=（12×3×2）×32+13×（32×3）×2=152.因此答案選D.

六、聯(lián)想思維

聯(lián)想是心理?xiàng)l件的反射.解題過(guò)程中注重由題目提供的信息想到相關(guān)的知識(shí)與熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)借助相關(guān)知識(shí)解決題目中的問(wèn)題.

例6已知a是實(shí)常數(shù)， x∈R， f（x+a）=1+f（x）1-f（x），判斷f（x）是周期函數(shù)嗎？如是求出它的一個(gè)周期；如不是說(shuō)明原因.

解析由f（x+a）=1+f（x）1-f（x）聯(lián)想tan（x+π4）=1+tanx1-tanx，所以tanx為原型，a相當(dāng)于π4，而正切函數(shù)周期為π=4×π4，即f（x）的周期為4a.

f（x+2a）=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=-1f（x）.

所以f （x+4a）=f（x+2a+2a）=-1f（x+2a）=f（x）.因此f（x）是周期函數(shù)，4a是一個(gè)周期.

七、創(chuàng)造性思維

為解決問(wèn)題尋求答案，提出自己新的見(jiàn)解或產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)的思維形式就是創(chuàng)造性思維.創(chuàng)造性思維形式是思維的較高表現(xiàn)形式，靈敏與審美是打開(kāi)學(xué)生創(chuàng)造思維的的金鑰匙.

例7如圖4，ABC-A1B1C1是正三棱錐，AB1⊥BC1，求證AB1⊥A1C.

解析本題是一道典型的立體幾何題，有較多常規(guī)的證明方法.若拋開(kāi)歐氏幾何嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚砸粋€(gè)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)就能證明問(wèn)題，解法可謂超凡脫俗.

以ΔABC，ΔA1B1C1的中心OO1連線為旋轉(zhuǎn)軸，把正三棱柱逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度.可見(jiàn)：AB1的位置被CA1取替，BC1的位置被AB1取替，因此A1C⊥AB1.

思維意識(shí)是影響學(xué)生高中數(shù)學(xué)解題能力的本質(zhì)原因，是學(xué)生拓展解題思路的源泉.解題訓(xùn)練不但可以掌握必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與技能，還可以促進(jìn)思維意識(shí)的形成、思維能力的拓展.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉遠(yuǎn)志精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，竭力點(diǎn)燃數(shù)學(xué)思維的火花[J].數(shù)理化解題研究 ，2016（15）.

[2] 酈麗學(xué)數(shù)學(xué) 做數(shù)學(xué) 思數(shù)學(xué)[J].江蘇教育，2013（10）.

[3] 嚴(yán)鴻灝激“趣”與啟“思”：數(shù)學(xué)課堂的兩大增效策略[J].福建教育學(xué)報(bào)，2015（08）.