鄭行軍

摘要：相遇和追及問題的分析過程涉及多種方法，如解析法、圖象法、結(jié)論法、極值法和函數(shù)法的組合應(yīng)用，有一定的靈活性.此類問題的求解要求把握兩個關(guān)鍵：一個是同時；一個是同一位置，因此以物體運動的空間和時間的關(guān)聯(lián)性為基礎(chǔ)建立系統(tǒng)的軌跡模型和問題模型，以歸納的物理模型為解題切入點，是實現(xiàn)高效解題的一個有效途徑.

關(guān)鍵詞：相遇和追及；軌跡模型；空間；時間；問題模型

相遇和追及問題是指兩物體能否在同一時刻到達(dá)空間的同一位置.解決此問題時，需要根據(jù)兩物體的運動情況找出其時間關(guān)系、位移關(guān)系、速度關(guān)系，然后列方程聯(lián)立求解[1].因此建構(gòu)系統(tǒng)的軌跡模型和問題模型幫助學(xué)生比較全面地掌握此類問題可能的命題方向和解題策略，是實現(xiàn)高效解題的一個有效途徑.

一、軌跡模型的構(gòu)建

1.兩物體初始由不同位置出發(fā)相向運動構(gòu)建相向運動軌跡模型

運動量關(guān)系：兩物體位移絕對值之和等于初始時刻兩物體的距離（s0=s1+s2）.

2.兩物體初始由同一位置同向運動構(gòu)建同向運動-同時同地模型

運動量關(guān)系：相遇時兩物體運動的位移相同，運動時間相同（s1=s2，t1=t2）.

運動量關(guān)系：末時刻兩物體的間距等于運動位移之差，運動時間相同（Δs=s2-s1，t1=t2）.

3.兩物體初始由不同位置出發(fā)同向運動構(gòu)建同向運動-同時不同地模型

運動量關(guān)系：相遇時兩物體運動的位移絕對值之差等于初始時刻兩物體的距離，運動時間相同（s0=s1-s2，t1=t2）.

4.兩物體由同一位置不同時刻出發(fā)同向運動構(gòu)建同向運動-同地不同時模型

運動量關(guān)系：相遇時兩物體運動的位移相同，兩物體運動的時間之差等于兩物體先后運動的時間間隔（s1=s2，t0=t2-t1）.

5.兩物體由不同位置不同時刻出發(fā)同向運動構(gòu)建同向運動-不同時且不同地模型

運動量關(guān)系：相遇時兩物體運動的位移絕對值之差等于初始時刻兩物體的距離，兩物體運動的時間之差等于兩物體先后運動的時間間隔（s0=s1-s2，t1=t2±t0）.

二、問題模型的構(gòu)建

問題模型1：涉及相遇時的物理量分析

解題策略：①畫出物體運動的軌跡模型，找出物體運動的位移關(guān)系和時間關(guān)系；②分析運動的規(guī)律，選擇適當(dāng)?shù)倪\動學(xué)公式利用位移關(guān)系和時間關(guān)系求解.

問題模型2：涉及相距最近（遠(yuǎn)）的物理量分析

解題策略：函數(shù)法、圖象法[2]、結(jié)論法

①根據(jù)末速度相等求物體運動的時間；②求出相應(yīng)時間內(nèi)物體運動的位移；③由物體運動的軌跡關(guān)系求出兩物體的最近（遠(yuǎn)）的距離.

問題模型3：涉及物體運動最大速度的物理量分析

解題策略（假設(shè)法）：①假設(shè)在相遇前，物體先做勻加速后勻速直線運動；②由物體運動的軌跡關(guān)系找出兩物體運動的位移關(guān)系和時間關(guān)系；③分析物體運動的規(guī)律，選擇適當(dāng)?shù)倪\動學(xué)公式求解，由是否有解判斷假設(shè)是否成立，物體的速度是否在相遇前已達(dá)最大值.

問題模型4：涉及前物做不可逆勻減速直線運動的物理量分析

解題策略（假設(shè)法）：①假設(shè)前物末速度為零，求出減速至零所需的時間；②計算前物減速至零時，兩物體運動的位移；③畫出物體運動的軌跡，由末時刻物體所處的位置判斷前物減速零時，后物是否已和前物相遇.

問題模型5：涉及恰好不相撞問題的物理量分析

問題特征：恰好不相撞問題應(yīng)滿足兩個關(guān)系[3]：（1）末時刻兩物體相遇；（2）末時刻兩物體速度相等.

解題策略：①利用末速度相等求物體運動的時間；②計算相應(yīng)時間內(nèi)兩物體運動的位移；③由運動的軌跡關(guān)系求出臨界狀態(tài)下的待求量.

三、例題賞析

例1如圖7所示，水平地面上A、B兩點相距x0=8m，甲球從B點以v=2m/s的速度向右做勻速運動的同時，乙球從A點由靜止開始以a=2m/s2的加速度向右做勻加速運動.下列說法正確的是（）

A.乙球相對甲球一直做勻加速直線運動

B.乙球在追上甲球之前它們相距的最遠(yuǎn)距離為8m

C.乙球追上甲球用時4s

D.乙球追上甲球時的速度大小為4m/s

解析當(dāng)乙球速度等于甲球速度時，乙球相對甲球靜止，A錯誤；由問題模型2，設(shè)經(jīng)時間t兩球速度相等，則有v=at，得t=1s；甲球位移x甲=vt=2×1=2m，乙球位移x乙=12at2=12×2×1=1m，得兩球相距的最遠(yuǎn)距離Δx=x甲+x0-x乙=2+8-1=9m，B錯誤；設(shè)經(jīng)時間t乙球追上甲球，由軌跡模型-同時不同地模型，有x0=12at2-vt，代入數(shù)據(jù)得t=4s，C正確；乙球追上甲球時乙球的速度v乙=at=2×4=8m/s，D錯誤.故正確答案為C.

點評本題涉及軌跡模型（同向運動-同時不同地模型），利用結(jié)論法分析兩者相距最遠(yuǎn)的條件，求出時間.由軌跡模型找出乙球追上甲球時乙與甲的位移之差等于0.8m，由位移公式列式求出時間，由速度時間關(guān)系式求出乙球追上甲球時的速度.

例2甲、乙兩汽車正沿同一平直馬路同向勻速行駛，甲車在前，乙車在后，它們行駛的速度均為10m/s.當(dāng)兩車快要到一十字路口時，甲車司機看到綠燈已轉(zhuǎn)換成了黃燈，于是緊急剎車（反應(yīng)時間忽略不計），乙車司機為避免與甲車相撞也緊急剎車，但乙車司機反應(yīng)較慢（反應(yīng)時間為05s）.已知甲車緊急剎車時加速度大小為4m/s2，乙車緊急剎車時加速度大小為5m/s2，求：

（1）若甲車司機看到黃燈時車頭距警戒線15m，他采取上述措施能否避免闖紅燈？

（2）為保證兩車在緊急剎車過程中不相撞，甲、乙兩車行駛過程中應(yīng)保持多大距離？

解析（1）甲車緊急剎車停下所需時間：t1=v0a1=104s=25s，甲車滑行距離：x=v202a1=1022×4=125m，由于x=125m<15m，所以甲車能避免闖紅燈.endprint

（2）本題涉及恰好不相撞問題，臨界條件下甲、乙兩車運動應(yīng)滿足以下關(guān)系：①末時刻兩車相遇；②末時刻兩車速度相等.設(shè)甲、乙兩車行駛過程中至少應(yīng)保持距離x0，在乙車剎車t2時間兩車速度相等，有v0-a1（t0+t2）=v0-a2t2，得t2=2s，乙車運動的位移：x乙=v0t0+v0t2-12a2t22=15m，甲車運動的位移：x甲=v0t0+t2-12a1t0+t22=125m，由題設(shè)條件可知兩車軌跡模型為同向運動-同時不同地模型，故x0=x乙-x甲=15-12.5=25m.

點評判斷兩車能否相撞，即判斷兩車在速度相等時是否撞上，因為速度相等前，乙車的速度大于甲車的速度，它們間距離在減小，速度相等后，乙車的速度小于甲車的速度，所以相撞只能在速度相等之前撞，不能根據(jù)兩者停下來后比較兩者的位移去判斷.相應(yīng)的解題思路為：先利用末速度相等求出兩物體運動的時間；再求出在該時間內(nèi)兩物體運動的位移；然后根據(jù)軌跡模型畫出物體運動的軌跡，利用軌跡圖求出臨界狀態(tài)下的待求量.

例3甲車以10m/s的速度在平直的公路上勻速行駛，乙車以4m/s的速度與甲車平行同向做勻速直線運動.甲車經(jīng)過乙車旁邊時開始以05m/s2的加速度剎車，從甲車剎車開始計時，求：

（1）乙車在追上甲車前，兩車相距的最大距離；

（2）乙車追上甲車所用的時間；

（3）若乙車的速度為6m/s，求乙車追上甲車所用的時間.

解析（1）當(dāng)甲車速度減至等于乙車速度時兩車的距離最大，設(shè)減速過程經(jīng)過的時間為t，則v乙=v甲-at，解得t=12s；

此時甲、乙間距離為：Δx=v甲t-12at2-v乙t=10×12-12×05×122-4×12=36m

（2）設(shè)甲車減速到零所需時間為t1 ，則有：t1=v甲a=100.5=20s；在t1時間內(nèi)，甲車位移：x甲=v甲2t1=102×20=100m；在t1時間內(nèi)，乙車位移：x乙=v乙t1=4×20=80m，由于x乙

（3）在甲車停下的時間內(nèi)，乙車的位移x乙=v乙t1=6×20=120m，由于x乙>x甲，可知乙車追上甲車時，甲車還沒有停下.

設(shè)乙車追上甲車需要t0時間，在此過程中有：甲車位移x甲0=v甲t0-12at20，乙的位移x乙0=v乙t0，依題意x甲0=x乙0，聯(lián)立以上各式解得t0=16s或t0=0（舍），故可知乙車追上甲車需要16s.

點評當(dāng)兩車速度相等時，兩車間的距離最大，利用結(jié)論法根據(jù)速度相等條件求出時間，分別求出兩車的位移，兩者之差即為兩物體間的距離；兩車相遇時位移相同，由題設(shè)甲車做不可逆的勻減速直線運動，注意減速運動的實際運動情景是速度最小為零，列位移方程求解.

綜上所述，通過物理模型構(gòu)建的方法實施解題的優(yōu)點在于：①軌跡模型的構(gòu)建抓住了相遇和追及問題的軌跡特點，使得在分析不同表象的題目時，能有清晰的軌跡情境，從而簡化了題目信息；②問題模型的構(gòu)建挖掘了模型中可能存在隱含知識，抓住了問題的本質(zhì)，提高了解題的應(yīng)變能力；③兩類模型的構(gòu)建完善了題型的知識體系，活化了知識結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了聯(lián)想思維的有效遷移.

參考文獻：

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