江蘇太倉(cāng)市城廂鎮(zhèn)第四小學(xué) 王 芳

乘法分配律是一種重要的數(shù)學(xué)模型，是小學(xué)階段學(xué)生最難理解和掌握的運(yùn)算定律。在教學(xué)時(shí)，教師往往會(huì)忽略學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，只讓學(xué)生根據(jù)幾個(gè)等式去發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的內(nèi)容，概括出乘法分配律。就算讓學(xué)生把各個(gè)等式都一一驗(yàn)證過(guò)，仍有較多學(xué)生感到乘法分配律是突然的、抽象的，無(wú)比困惑。其結(jié)果是：乘法分配律的的確確是很快得出來(lái)了，學(xué)生也好像有點(diǎn)感悟了，但時(shí)間稍長(zhǎng)，這種似懂非懂的理解必定會(huì)被學(xué)生忘得一干二凈！因此，在乘法分配律的教學(xué)中，教師要回到知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的起點(diǎn)，注意發(fā)掘?qū)W生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新學(xué)知識(shí)進(jìn)行深層次的建構(gòu)，這樣才能較為有效地突破教學(xué)重難點(diǎn)，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。筆者以蘇教版教材中的乘法分配律素材為例，從以下幾個(gè)方面談?wù)勛疽?jiàn)。

一、深化乘法分配律的理解

乘法的意義是乘法分配律知識(shí)的起點(diǎn)，其本質(zhì)是對(duì)幾個(gè)相同加數(shù)的分與合。字母表達(dá)式（a+b）×c=a×c+b×c的順向意義是：（a+b）個(gè)c的和分為a個(gè)c與b個(gè)c的和；逆向意義是：a個(gè)c與b個(gè)c的和合為（a+b）個(gè)c的和。在新授時(shí)，要盡量將乘法分配律的教學(xué)和乘法的意義結(jié)合起來(lái)。當(dāng)學(xué)生根據(jù)例題的情境，從解決問(wèn)題的角度得到“(65+45)×5=65×5+45×5”后，可以引導(dǎo)他們從乘法的意義進(jìn)一步理解：等號(hào)左邊表示有(65+45)個(gè)5的和，即110個(gè)5的和，與等號(hào)右邊的“65個(gè)5的和加上45個(gè)5的和”相等。這樣，學(xué)生很容易領(lǐng)會(huì)等號(hào)兩邊不僅意義相同，數(shù)據(jù)也符合一定的特征。在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生仿寫類似的等式，在模仿中找規(guī)律，為歸納模型積累充分的表象。以乘法意義為起點(diǎn)，學(xué)生既在形式上把握乘法分配律的特點(diǎn)，又深層次理解等式本質(zhì)意義；在基于乘法意義經(jīng)驗(yàn)上的仿寫，更是為從具體情境的等式過(guò)渡到純粹的等式做準(zhǔn)備。學(xué)生在簡(jiǎn)算題當(dāng)中，可以直接利用乘法意義來(lái)理解算式的含義。

在實(shí)際教學(xué)時(shí)，由于學(xué)生對(duì)分配律內(nèi)涵理解不夠深入，容易在解題時(shí)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。比較典型的有以下幾類：

【錯(cuò)例1】未湊“整百”：沒(méi)能把如99×74+74、101×74-74的算式轉(zhuǎn)化為100×74，孤立隱藏因數(shù) “1個(gè)74”。

【錯(cuò)例2】錯(cuò)湊“整百”：把99×74算成了（99+1）×74，把102×74算成了100×764+2，盲目湊整。

【錯(cuò)例3】乘法分配律和乘法結(jié)合律混淆：把（7+25）×4當(dāng)成7×（25×4），對(duì)兩個(gè)定律意義和形式未能辨析。

……

針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)例，在實(shí)際教學(xué)時(shí)，無(wú)論從（a+b）×c到a×c+b×c的分解，還是從a×c+b×c到（a+b）×c的合并，只要注重從乘法意義來(lái)理解算式，以上這些問(wèn)題就不難解決。如99×74+74，用乘法的意義來(lái)理解是很簡(jiǎn)單的，它表示99個(gè)74與1個(gè)74的和，即100個(gè)74的和；102×74表示102個(gè)74的和，等于100個(gè)74的和與2個(gè)74的和合起來(lái)，即100×74+2×74。以學(xué)生熟知的乘法意義知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，學(xué)生才能真正“知其所以然”。

二、拓展乘法分配律的內(nèi)涵

當(dāng)學(xué)生對(duì)乘法分配律有了初步認(rèn)識(shí)之后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：原來(lái)學(xué)過(guò)的知識(shí)中哪些方面也接觸過(guò)乘法分配律？教師的啟發(fā)，激發(fā)了學(xué)生提取已學(xué)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)并加以整理：

1.筆算乘法的情形

如筆算24×12，豎式計(jì)算的過(guò)程可以視為24×（2+10）=24×2+24×10。

2.口算乘法的情形

口算過(guò)程為：4元5角×5=（4元+5角）×5=4元×5+5角×5。

3.“合作類”問(wèn)題的情形

如“李阿姨和王阿姨共同編織一批中國(guó)結(jié)，28天正好編完。李阿姨平均每天編45個(gè)，王阿姨平均每天編55個(gè)，這批中國(guó)結(jié)一共有多少個(gè)？”

算式：45×28+55×28或（45+55）×28。

4.長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的情形

周長(zhǎng)為：（4+6）×2或4×2+6×2。

……

通過(guò)回顧整理，學(xué)生的視野由眼前延伸到過(guò)去，由單純的運(yùn)算延伸到生活經(jīng)驗(yàn)，大大拓展了乘法分配律的內(nèi)涵。同時(shí)，在回顧整理過(guò)程中，學(xué)生“溫故而知新”，有一種“柳暗花明”的新奇感，無(wú)疑有利于激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

另外，在整理過(guò)程中要注意把握兩點(diǎn)：

第一點(diǎn)，在解決問(wèn)題的情境中，要用具體情境來(lái)理解算式的意義，通過(guò)突出兩道算式的特征來(lái)體現(xiàn)分配律的特點(diǎn)。

第二點(diǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生觀察比較兩種算法，體現(xiàn)算法的多樣化及優(yōu)化作用，有效提升學(xué)生靈活運(yùn)用的能力。

三、敏感乘法分配律的數(shù)據(jù)

運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算時(shí)，影響學(xué)生解題效率的因素，除了學(xué)生對(duì)運(yùn)算規(guī)律的理解程度以外，還有學(xué)生對(duì)一些常用口算題的熟悉程度。部分學(xué)生在計(jì)算如25×44這類題目時(shí)，感到無(wú)從下手，一個(gè)很重要的原因是他們對(duì)“25×4=100”這個(gè)基本算式不熟悉。因此，提高學(xué)生運(yùn)算效率的一個(gè)途徑是要通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)，來(lái)提高他們對(duì)一些常用口算題的熟練程度。如在課前復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，可讓學(xué)生口算這些題目：25×4=（100）、125×8=（1000）、99+1=（100）、201-

1=（200）、98=100-(2)，等等。

這些口算題有如大廈地基底下的一顆顆“小石頭”，表面看來(lái)很微不足道，但對(duì)于部分學(xué)困生而言，熟悉這些算式，能增強(qiáng)他們對(duì)特殊數(shù)據(jù)組的敏感度，有助于提高他們的運(yùn)算效率。

四、整合乘法分配律的結(jié)構(gòu)

學(xué)完乘法分配律之后，有必要將已學(xué)的乘法結(jié)合律以及四則混合運(yùn)算等有關(guān)知識(shí)與新學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合，形成更完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

1．乘法分配律與乘法結(jié)合律的整合

根據(jù)算式數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，有些計(jì)算既可以運(yùn)用乘法結(jié)合律來(lái)簡(jiǎn)算，又可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算，此時(shí)有必要對(duì)兩種算法進(jìn)行比較、綜合，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)算法多樣性的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，提升他們的運(yùn)算能力。例如計(jì)算25×44，有如下兩種較為簡(jiǎn)便的算法：

算法一（乘法結(jié)合律） 算法二（乘法分配律）

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較，理解兩種算法運(yùn)用不同運(yùn)算律的過(guò)程和特點(diǎn)，養(yǎng)成根據(jù)題目數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)算法的習(xí)慣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。在比較選擇中，也進(jìn)一步幫助學(xué)生加深了對(duì)乘法分配律和乘法結(jié)合律結(jié)構(gòu)的區(qū)別，有助于建構(gòu)兩個(gè)運(yùn)算律的數(shù)學(xué)模型。

2．乘法分配律與四則混合運(yùn)算的整合

運(yùn)用乘法分配律計(jì)算的算式屬于“四則運(yùn)算”的范疇，我們把有關(guān)乘法分配律簡(jiǎn)算題納入四則混合運(yùn)算框架中，就會(huì)產(chǎn)生一些新的“聯(lián)系”。其中最突出的問(wèn)題是：對(duì)形如“（a+b）×c”和“a×c+b×c”的算式，都可以簡(jiǎn)算嗎？因?yàn)槌朔ǚ峙渎伤鶎俚膯卧恰斑\(yùn)算律”，教學(xué)時(shí)簡(jiǎn)算是緊密結(jié)合的，在學(xué)生所能接觸的練習(xí)題中，幾乎都是能運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算的情形，難以看到“不能簡(jiǎn)算”的算式。在這樣的學(xué)習(xí)背景下，很容易讓學(xué)生產(chǎn)生思維或意識(shí)上的偏執(zhí)，即凡是像形如“（a+b）×c”或“a×c+b×c”的算式都可以簡(jiǎn)算。那么，如何破除這種思維偏執(zhí)呢？可通過(guò)具體“題組對(duì)比練習(xí)”的方式，來(lái)完成對(duì)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的整合。如設(shè)計(jì)以下練習(xí)：

兩組的四小題形式上都具備了順用或逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算的特點(diǎn)。學(xué)生獨(dú)立計(jì)算時(shí)，第1組兩題能準(zhǔn)確運(yùn)用乘法分配律簡(jiǎn)算，但在計(jì)算第2組的兩小題時(shí)出現(xiàn)不同的算法：一種是運(yùn)用乘法分配律計(jì)算，另一種是直接根據(jù)四則運(yùn)算的一般計(jì)算順序來(lái)算。展示25×（25+15）的兩種方法并進(jìn)行橫向比較，發(fā)現(xiàn)25×（25+15）=25×25+25×15，并不能湊整簡(jiǎn)算，而按照四則混合運(yùn)算順序計(jì)算25×（25+15）=25×40，在第二步可以拆數(shù)后利用乘法結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)算。對(duì)97×7+3×3的計(jì)算與第（1）組的97×7+7×3進(jìn)行縱向比較，發(fā)現(xiàn)兩題的第二個(gè)乘法算式不同，97個(gè)7和3個(gè)3不能湊整。在比較后可以明確：計(jì)算時(shí)，要根據(jù)算式的特點(diǎn)判斷哪些算式可以簡(jiǎn)算，哪些不可以簡(jiǎn)算；不能簡(jiǎn)算的算式，按照四則運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，對(duì)乘法分配律在四則運(yùn)算范圍內(nèi)的運(yùn)用有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，也有助于學(xué)生養(yǎng)成根據(jù)數(shù)據(jù)和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活選擇合理算法的習(xí)慣。

乘法分配律是一個(gè)應(yīng)用最廣泛、最核心的運(yùn)算律，其形式的復(fù)雜性和內(nèi)涵的豐富性決定了我們?cè)诮虒W(xué)中要“以退為進(jìn)”，回歸知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的起點(diǎn)，讓學(xué)生真正掌握乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵，自主完成知識(shí)的深層建構(gòu)。?