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(福建工程學(xué)院 管理學(xué)院， 福建 福州 350118)

在長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中電梯會(huì)逐漸老化，直至發(fā)生故障，為確保電梯設(shè)備的正常運(yùn)行，預(yù)防性維修顯得尤為重要。現(xiàn)有的預(yù)防性維修主要是基于時(shí)間的預(yù)防性維修，定期對(duì)未失效的系統(tǒng)進(jìn)行維護(hù)維修，以減少系統(tǒng)在使用過(guò)程中出現(xiàn)故障的可能性，降低由系統(tǒng)失效造成的損失。

灰色GM(1,1)模型[1-3]是解決不確定系統(tǒng)問(wèn)題的有力工具之一，在灰色預(yù)測(cè)模型中，灰色

GM(1,1)模型由于具有模型簡(jiǎn)單，預(yù)測(cè)精確度較高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各類(lèi)模型的預(yù)測(cè)中。但該模型對(duì)呈現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)的原始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果不理想。為提高模型在該類(lèi)型數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)效果，很多學(xué)者對(duì)GM(1，1)模型進(jìn)行改進(jìn)，邵延君等[4-5]分別采用基于新陳代謝組合模型和灰色線性回歸組合模型對(duì)裝備故障進(jìn)行預(yù)測(cè)，馬春茂等[6]采用基于灰色馬爾可夫模型對(duì)裝備故障間隔期進(jìn)行預(yù)

測(cè)研究。Chen T[7]建立了馬爾科夫灰色三角預(yù)測(cè)模型TGM(1，1)，并以福建省的集裝箱數(shù)量為例子，驗(yàn)證了該模型 的有效性和實(shí)用性；寧立漚[8]將三角函數(shù)-灰色GM(1,1)模型用于橋梁施工的監(jiān)控；LI和ZHOU[9-10]采用三角函數(shù)-灰色GM(1,1)模型對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，但由于該方法采用固定的周期值，根據(jù)灰色新息理論，數(shù)據(jù)序列的不斷更新，積累到一定程度時(shí)周期可能會(huì)發(fā)生突變，采用固定的周期值顯然不合理。因此，本文采用粒子群算法實(shí)時(shí)計(jì)算數(shù)據(jù)序列的周期，提出變周期三角函數(shù)-灰色GM(1,1)模型故障間隔預(yù)測(cè)算法。

1 灰色GM(1,1)模型

灰色GM(1,1)模型相關(guān)定義如下：

定義1[1]

設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

為非負(fù)序列， 稱(chēng)X(1)為X(0)的一階累加生成序列，其中,

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))，

稱(chēng)Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，其中,Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))，

k=2,3,…,n。

(1)

定義2 微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=w中的z(1)(k)稱(chēng)為灰色GM(1,1)模型背景值。

(2)

其時(shí)間響應(yīng)序列為

(k=2,3,…,n)

(3)

(k=2,3,…,n)

(4)

其中,-a為灰色GM(1,1)模型的發(fā)展系數(shù);w為模型的灰色作用量。

2 基于三角函數(shù)的灰色GM(1,1)模型

由于灰色GM(1,1)模型構(gòu)建的是指數(shù)遞增或指數(shù)遞減序列，為提高該模型在周期性數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度，可通過(guò)三角函數(shù)對(duì)原始數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)之間的殘差序列建立修正模型，從而補(bǔ)償灰色GM(1,1)模型最初的預(yù)測(cè)值。

定義3 假設(shè)通過(guò)灰色GM(1,1)模型得到的擬合值為

R(0)={r(0)(2),r(0)(3),…,r(0)(n)}

定義4[10]通過(guò)三角函數(shù)對(duì)殘差序列進(jìn)行建模，函數(shù)如下：

(5)

其中,εk是隨機(jī)變量;T為主循環(huán)變化的周期參數(shù)。

3 基于變周期三角函數(shù)與灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)算法

本文采用粒子群算法計(jì)算數(shù)據(jù)列的實(shí)時(shí)周期，提出變周期的三角函數(shù)，并與灰色GM(1,1)模型相結(jié)合，對(duì)故障間隔時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)。

定義5 利用粒子群算法獲得的周期序列T=(t2,t3,…,tn)，則利用變周期三角函數(shù)對(duì)殘差序列進(jìn)行建模，函數(shù)如下：

(6)

其中,tk為k時(shí)刻的周期參數(shù)。

顯然，可通過(guò)最小二乘估計(jì)方法計(jì)算式(6)。

(7)

3.1 粒子群算法描述

假設(shè)在一個(gè)D維的搜索空間內(nèi)，粒子數(shù)為n。算法通過(guò)迭代尋找最優(yōu)解，第i個(gè)粒子位置表示為向量Xi=(xi1,xi2,…，xiD);第i個(gè)粒子飛行歷史中的過(guò)去最優(yōu)位置為Pi=(pi1,pi2,…，piD),整個(gè)種群過(guò)去最優(yōu)位置Pg為所有Pi(i=1,2,3,…,n)中的最優(yōu)，在每一次迭代中，粒子通過(guò)跟蹤兩個(gè)極值來(lái)更新自己，經(jīng)過(guò)有限次迭代后最終收斂于全局的最好位置。粒子根據(jù)如下的公式來(lái)更新自己的速度和位置：

vid(t+1)=w·vid(t)+c1·r1·(pid(t)-

xid(t))+c2·r2·(pgd(t)-xid(t))

(8)

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)

(9)

其中，c1和c2為學(xué)習(xí)因子，取c1=2，c2=2，r1和r2是介于[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；w為慣性權(quán)重，可以調(diào)節(jié)算法的全局和局部尋優(yōu)能力。

3.2 算法整體設(shè)計(jì)

根據(jù)以上所述，基于變周期三角函數(shù)的灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)算法建模及求解如圖1所示：

圖1 算法流程圖Fig.1 Flow chart of the algorithm

模型步驟具體描述如下：

1)給定初始周期向量T0，設(shè)定算法的迭代次數(shù)N，取定T=T0；

2)利用灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)原始數(shù)據(jù)，得到預(yù)測(cè)值與原始值間的殘差序列；

3)根據(jù)周期向量T0，利用公式(5)對(duì)殘差序列建模，得到基于三角函數(shù)與灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)數(shù)列。

5)根據(jù)最終得到的周期T，利用公式(6)，輸出模型的最終預(yù)測(cè)值。

4 算例分析

(單位：h)，以故障間隔期的頻數(shù)為橫軸，以其發(fā)生的間隔期為縱軸，利用故障間隔期的數(shù)據(jù)依次做差，計(jì)算出故障頻數(shù)與間隔時(shí)間，見(jiàn)表1。

表1 故障間隔時(shí)間與頻數(shù)Tab.1 Interval time and frequency of failures

t1周期可以直接計(jì)算得出，見(jiàn)表2，首先給出初始向量T0=(t2,t3,…,tn)=(1，1,…，1)，設(shè)置迭代次數(shù)N=100，以公式(6)為適應(yīng)度函數(shù)，根據(jù)算法步驟最終獲得的周期數(shù)列為Τ=(t2,t3,…,tn)。從表中可知,第9個(gè)間隔期周期最大為6，而第7個(gè)間隔期的周期最小，僅為2。

表2 故障間隔周期Tab.2 Interval periods of failures

將表2中的周期數(shù)列代入式(6)，可得到故障間隔時(shí)間的擬合值，見(jiàn)表3。本文預(yù)測(cè)模型得到的平均相對(duì)誤差為3.24%，將變周期三角函數(shù)與文獻(xiàn)[10]三角函數(shù)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，變周期三角函數(shù)模型的GM(1,1)精度明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[10]模型，見(jiàn)表3。

為直觀分析表3中兩種算法的預(yù)測(cè)結(jié)果，采用圖形的方式進(jìn)行描述，見(jiàn)圖2。圖2中，三角函數(shù)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)算法的擬合值與原始值的偏移值較大，擬合效果不如變周期三角函數(shù)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)算法。

表3 基于變周期三角函數(shù)的GM(1,1)模型擬合結(jié)果Tab.3 Fitting results of GM (1, 1) based on the trigonometric function with variable periods

根據(jù)表3，對(duì)之后的兩次故障時(shí)間間隔進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)的周期取值設(shè)定為前面8個(gè)周期的平均值，T預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4與圖3，三角函數(shù)GM(1,1)模型在第9個(gè)故障間隔時(shí)間的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差較大，整體平均相對(duì)誤差為24.16%。而本文預(yù)測(cè)模型對(duì)應(yīng)的平均相對(duì)誤差為3.24%，比三角函數(shù)的GM(1,1)模型低20.92個(gè)百分比。

變周期三角函數(shù)的GM(1,1)模型第9個(gè)與第10個(gè)故障時(shí)間間隔預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)的比較結(jié)果見(jiàn)圖3。第9個(gè)故障時(shí)間間隔預(yù)測(cè)偏差極小，第10個(gè)故障間隔時(shí)間的預(yù)測(cè)值與原始值的偏移量也在理想范圍。整體預(yù)測(cè)效果理想。

圖2 故障間隔時(shí)間擬合值Fig.2 Fitting values of failure interval time

圖3 故障間隔時(shí)間預(yù)測(cè)圖Fig.3 Prediction graph of failure interval time

頻數(shù)原始值預(yù)測(cè)值三角函數(shù)的GM(1，1)模型本文模型相對(duì)誤差/﹪三角函數(shù)的GM(1，1)模型本文模型9480695．67480．9644．930．210600579．63637．793．396．29平均相對(duì)誤差24．163．24

5 結(jié)論

為提高灰色GM(1,1)模型在故障間隔數(shù)據(jù)序列的預(yù)測(cè)精度，本文利用灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)原始數(shù)據(jù)列，獲得灰色模型預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)的殘差序列；根據(jù)數(shù)據(jù)序列的傅里葉變換求解原理，利用三角函數(shù)對(duì)殘差序列進(jìn)行修正，并在修正前利用粒子群算法獲得殘差序列各數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期序列，提出基于變周期三角函數(shù)的灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。采用故障時(shí)間間隔對(duì)本文預(yù)測(cè)算法進(jìn)行驗(yàn)證，并與固定周期的三角函數(shù)灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型相比較，算例結(jié)果顯示，本文預(yù)測(cè)模型具有更低的平均相對(duì)誤差，預(yù)測(cè)效果明顯提高。

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