吳 昊， 寧利中， 寧碧波， 王新宏， 田偉利， 寧景昊

(1.西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，陜西 西安 710048； 2.嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 浙江 嘉興 314001； 3.上海大學(xué) 建筑系, 上海 200444)

1 研究背景

近幾年，對(duì)流問(wèn)題是引起世界范圍內(nèi)較大關(guān)注的研究課題之一，這不僅僅是由于許許多多的自然現(xiàn)象都涉及到非線性的對(duì)流問(wèn)題，而且在日常生活中，對(duì)流現(xiàn)象也時(shí)常出現(xiàn)。例如，在冬天的水庫(kù)、湖泊或者是大海中，當(dāng)靠近底部的水流溫度較高，臨近水面溫度較低時(shí)，底部和水面之間就會(huì)形成一個(gè)溫度差，并且達(dá)到一個(gè)限值，若此時(shí)水面出現(xiàn)無(wú)風(fēng)狀態(tài)，就會(huì)出現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象：水面上會(huì)有水向兩側(cè)或者多方位冒出，然后水面又歸于平靜，這一對(duì)流現(xiàn)象較為常見(jiàn)且典型。通常情況下，人們研究對(duì)流問(wèn)題大部分都是先建立Rayleigh-Bénard對(duì)流模型，然后再進(jìn)行該研究。

Rayleigh-Bénard對(duì)流系統(tǒng)就是在一個(gè)完全密閉的腔體內(nèi)，保持上表面的溫度持續(xù)穩(wěn)定不變，使下表面的溫度逐漸升高。此時(shí)下表面附近的流體在溫度增加后會(huì)產(chǎn)生膨脹，與上表面附近的流體的密度相比，底面的流體密度較小，這時(shí)，下表面附近的流體就會(huì)上升，流體在上升過(guò)程中必然會(huì)因與周?chē)黧w相接觸而消耗能量，因此，上升的流體溫度逐漸變低，密度逐漸變大。如果繼續(xù)給下表面增溫，并使其附近流體的密度因高溫而變得非常小，若流體上升到上表面，且能量還未耗盡，就會(huì)產(chǎn)生RB對(duì)流斑圖[1-4]。從20世紀(jì)初，在Henri Bénard通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到在實(shí)驗(yàn)裝置上下壁存在溫差情況下腔體內(nèi)出現(xiàn)了有規(guī)則的對(duì)流斑圖，Lord Rayleigh對(duì)這種結(jié)果進(jìn)行了理論的研究后，這一現(xiàn)象引起了科研人員的興趣。隨后科學(xué)工作者們對(duì)此展開(kāi)了廣泛和深入的研究，并且獲得了很大的進(jìn)展[5-8]。在數(shù)值計(jì)算方面，人們通過(guò)流體力學(xué)基本方程組[9]、流體力學(xué)擾動(dòng)方程組或者流體力學(xué)振幅方程組，對(duì)對(duì)流斑圖進(jìn)行模擬，探討其動(dòng)力學(xué)特性。在人們研究對(duì)流的過(guò)程中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了諸多如行波、局部行波、定常對(duì)流等等的對(duì)流現(xiàn)象[10-18]。如今，國(guó)內(nèi)外大多在側(cè)向腔體加熱，矩形腔體給定水平來(lái)流，對(duì)腔體進(jìn)行局部或周期加熱等研究方向?qū)?duì)流結(jié)構(gòu)的影響而進(jìn)行研究，但關(guān)于傾斜角度對(duì)對(duì)流結(jié)構(gòu)影響這一課題的研究相對(duì)較少。

本文通過(guò)數(shù)值求解二維流體力學(xué)基本方程組，研究普朗特?cái)?shù)Pr=6.99時(shí)，具有一定傾斜角度的矩形腔體在均勻加熱條件下對(duì)對(duì)流特性的影響。

2 數(shù)學(xué)物理模型

2.1 流體力學(xué)基本方程組

在一傾斜放置、矩形截面的二維封閉的腔體(如圖1所示)內(nèi)進(jìn)行自然對(duì)流換熱的數(shù)值計(jì)算時(shí)，通常采用Boussinesq假設(shè)[9]，即認(rèn)為溫度足夠小時(shí)，僅浮力項(xiàng)中考慮密度的變化。描述這一對(duì)流問(wèn)題的流體力學(xué)方程組[9]可表示為：

(1)

gα(T-T0)sinθ

(2)

gα(T-T0)cosθ

(3)

(4)

式中:peff=p+ρ0gycosθ-ρ0gxsinθ，u,v分別為沿腔體長(zhǎng)度方向的速度和垂直速度,m/s；T為溫度場(chǎng),K；ρ為密度,kg/m3；g為重力加速度,m/s2；p為壓強(qiáng),Pa；ν為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù),m2/s；α為熱引起的體積膨脹系數(shù)，K-1；t為時(shí)間,s；κ為熱擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；θ為矩形腔體傾斜角度，(°)。下標(biāo)0表示傳導(dǎo)狀態(tài)下相應(yīng)物理量沿空腔高度的平均值，一般取腔體1/2高度處的值。

圖1 傾斜腔體的模型圖

2.2 邊界條件和初值

在均勻加熱下，應(yīng)該給出合理恰當(dāng)?shù)乃俣葓?chǎng)、溫度場(chǎng)等邊界條件來(lái)求解方程組。由于模型中所有壁面都是固定的，所以速度在壁面上為0。因此，

當(dāng)y=0，d時(shí),u=w=0

(5)

當(dāng)x=0，Lx時(shí),u=w=0

(6)

式中:d為計(jì)算區(qū)域高度；Lx為計(jì)算腔體的長(zhǎng)度。

溫度的邊界條件為：

當(dāng)y=0時(shí)，T=T0+0.5ΔT

(7)

當(dāng)y=d時(shí)，T=T0-0.5ΔT

(8)

式中：ΔT為上下表面溫度差；本文針對(duì)t=20℃，Pr=6.99 的流體，此時(shí)T0=293.15K；流速初始條件為u=w=0，溫度的初始條件為T(mén)0=293.15K；為了討論的方便，取X=x/d，Y=y/d，Γ=Lx/d。

這樣一個(gè)系統(tǒng)可以由以下參數(shù)來(lái)控制,即傾斜角度θ，瑞利數(shù)Ra=gαΔTd3/κν，在這里采用相對(duì)瑞利數(shù)r=Ra/Rac來(lái)作為控制參數(shù)，其中，Rac=1708；反映流體物理性質(zhì)對(duì)對(duì)流傳熱過(guò)程影響的普朗特?cái)?shù)Pr=ν/κ,κ=λ/(ρ0cp)，λ為熱傳導(dǎo)系數(shù),W/(m·K);cp為定壓比熱容,J/(kg·K)。

2.3 數(shù)值計(jì)算方法

在數(shù)值模擬中，本文采用Gambit來(lái)劃分網(wǎng)格，建立基本模型，運(yùn)用Fluent軟件進(jìn)行模擬運(yùn)算求解，最后用Tecplot進(jìn)行后處理。根據(jù)有限容積法對(duì)流體力學(xué)方程組進(jìn)行了離散，對(duì)流與擴(kuò)散項(xiàng)采用二階精度的乘方差分格式。Simple算法用于求解速度-壓力耦合方程。采用均勻交錯(cuò)網(wǎng)格系統(tǒng)。

本文采用的是長(zhǎng)高比Γ=20的腔體，對(duì)Pr=6.99的流體進(jìn)行對(duì)流模擬。由于文獻(xiàn)[19]對(duì)采用d/20與d/30兩種不同的網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果基本相同。所以本文采用d/20的網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算，時(shí)間步長(zhǎng)采用Δt=0.02s。

3 傾斜腔體在均勻加熱條件下的對(duì)流

3.1 傾斜腔體的對(duì)流結(jié)構(gòu)

3.1.1 流線圖的變化過(guò)程 取相對(duì)瑞利數(shù) ，傾角為89°條件下，分析下壁面Nu數(shù)隨時(shí)間的變化，如圖2所示。從圖2中可以看出，Nu數(shù)在0≤t≤2s這一期間急劇減小，然后呈現(xiàn)緩慢減小的趨勢(shì)，降到t=16s到達(dá)最低點(diǎn)，再呈現(xiàn)緩慢上升的趨勢(shì)，一直到t=80s之后，Nu數(shù)不再隨時(shí)間變化，此時(shí)說(shuō)明對(duì)流趨于穩(wěn)定，所形成的流線圖不再變化，這時(shí)形成的流線圖可以作為r=3、傾角為89°條件下的最終結(jié)果。

圖2 r=3且θ=89°時(shí)Nu數(shù)隨時(shí)間的變化

圖3為r=3、θ=89°流線圖在不同時(shí)間的變化，分別為在t=2 s、t=16 s、t=80 s、t=120 s時(shí)形成的流線圖，將圖3與圖2相對(duì)照，從中可以看出對(duì)流圈在各個(gè)特征點(diǎn)所發(fā)生的變化。2s≤t≤16 s比16 s≤t≤80 s這一時(shí)間段變化速度要快。圖3中t=120 s時(shí)形成的流線圖與t=80 s時(shí)的流線圖比較沒(méi)有明顯的變化，由此可以證明，t=80s形成的流線圖可以作為最終結(jié)果。

圖3 r=3且θ=89°時(shí)流線圖隨時(shí)間的變化

3.1.2 對(duì)流斑圖結(jié)構(gòu) 圖4為r=6、θ=1° 對(duì)流結(jié)構(gòu)，類似于水平放置狀態(tài)下的典型對(duì)流結(jié)構(gòu)。圖4(a)為溫度場(chǎng)，類似于正弦函數(shù)的彎曲的曲線，具有周期性。圖4(b)是流線，由封閉的曲線組成的流線圈，共有25個(gè)對(duì)流圈，波數(shù)是25π/20=3.93。圖4(c)是2個(gè)周期內(nèi)的速度矢量圖，兩個(gè)對(duì)流圈對(duì)應(yīng)一個(gè)周期，流體順時(shí)針或逆時(shí)針交替流動(dòng)，可以看出兩個(gè)滾動(dòng)之間的上升流或下降流。

注：(a)溫度場(chǎng)； (b)流線； (c)速度矢量

圖5為r=6、θ=60°時(shí)的對(duì)流結(jié)構(gòu)，這時(shí)出現(xiàn)了另外一種對(duì)流結(jié)構(gòu)。與圖4相比，溫度場(chǎng)變成了平滑的曲線，流線變成一個(gè)封閉完整的穩(wěn)定的對(duì)流圈。圖5(c)為0≤X≤10范圍內(nèi)的速度矢量?？梢钥闯?，接近上壁面的流體向左運(yùn)動(dòng)，接近下壁面的流體向右運(yùn)動(dòng)，形成逆時(shí)針流動(dòng)的一個(gè)大滾動(dòng)，越靠近壁面速度越大，越向中心處速度越小。

注：(a)溫度場(chǎng)； (b)流線； (c)速度矢量

3.1.3 流速分布 圖6為r=6且θ=60°時(shí)在腔體1/2、1/4、3/4高處垂直方向的流速。從圖6中可以看出，在0

圖6 r=6且θ=60°時(shí)腔體不同高處隨X變化的垂直流速

3.2 相對(duì)瑞利數(shù)對(duì)對(duì)流結(jié)構(gòu)的影響

3.2.1 相對(duì)瑞利數(shù)對(duì)流線圖的影響 在傾斜角度比較小時(shí)(θ=4 °)，流函數(shù)隨著相對(duì)瑞利數(shù)的變化而變化，如圖7所示。從圖7中可以看出，該流體在傾角較小的情況下存在多種穩(wěn)定狀態(tài)的流線，并且隨著r的增加，滾動(dòng)圈的個(gè)數(shù)逐漸增加。相對(duì)瑞利數(shù)越大，上下壁面的溫差就越大，由此可以說(shuō)明，在極小的角度下，增大溫差，對(duì)流將由單滾動(dòng)轉(zhuǎn)換成多滾動(dòng)。

圖7 θ=4 °時(shí)不同r下的流線圖

當(dāng)傾斜角度逐漸增大至60°時(shí)， 流函數(shù)隨著相對(duì)瑞利數(shù)變化如圖8所示。從圖8中可以看出，傾斜角度增大到一定度數(shù)時(shí)，無(wú)論相對(duì)瑞利數(shù)增加多大，形成的都是一個(gè)完整穩(wěn)定的滾動(dòng)圈，相對(duì)瑞利數(shù)對(duì)流線圖的影響較小。

圖8 θ=60°時(shí)在不同r下的流線圖

3.2.2 相對(duì)瑞利數(shù)對(duì)流速的影響 圖9中的(a)、(b)、(c)表示θ=4 °，相對(duì)瑞利數(shù)分別為r=2、r=3、r=6在腔體1/2高處的垂直流速。從圖9中可以看出，傾斜角度一定時(shí)，相對(duì)瑞利數(shù)越大，流速的極值越大，腔體中間如圖6所示的X0

注：圖中(a)r=2； (b)r=3； (c)r=6

3.3 傾角對(duì)對(duì)流結(jié)構(gòu)的影響

3.3.1 傾角對(duì)流線圖的影響 圖10是r=6時(shí)，不同傾角情況下的對(duì)流結(jié)構(gòu)圖。從圖10中可以看出，隨著傾斜角度的增大，對(duì)流所形成的穩(wěn)定狀態(tài)下的滾動(dòng)圈個(gè)數(shù)越來(lái)越少。θ=1°時(shí)有25個(gè)滾動(dòng)圈，θ=20°時(shí)有17個(gè)滾動(dòng)圈，θ=45°時(shí)只有一個(gè)滾動(dòng)圈，而且，形成一個(gè)滾動(dòng)圈的穩(wěn)定狀態(tài)后，傾角增大，封閉曲線由四周向中心發(fā)展。圖10說(shuō)明相對(duì)瑞利數(shù)一定時(shí)，隨傾角增大，系統(tǒng)由多對(duì)流圈逐漸過(guò)渡到單對(duì)流圈。

圖10 r=6時(shí)不同傾角的流線圖

3.3.2 傾角對(duì)流速的影響 圖11(a)、11(b)、11(c)表示相對(duì)瑞利數(shù)r=6時(shí)，傾角分別為1°、22°、30°情況下腔體1/2高處的垂直流速。從圖11中可以看出，相對(duì)瑞利數(shù)一定時(shí)，傾斜角度越大，流速絕對(duì)值的最大值反而越小。圖11(a)、(b)、(c)的變化反映了對(duì)流從多滾動(dòng)到單滾動(dòng)的轉(zhuǎn)變過(guò)程。

圖11 r=6時(shí)不同傾角的垂直流速

4 結(jié) 論

本文主要討論了矩形腔體在一定傾斜角度下進(jìn)行均勻加熱的對(duì)流結(jié)構(gòu)，也討論了不同的控制參數(shù)對(duì)流線圖及流速的影響。對(duì)于給定的普朗特?cái)?shù)Pr=6.99流體，計(jì)算了給定相對(duì)瑞利數(shù)，變化矩形腔體的傾斜角度和給定傾斜角度，變化相對(duì)瑞利數(shù)兩種情況，通過(guò)分析這兩種情況，可以得出如下結(jié)論。

(1)給定傾斜角度且角度比較小時(shí)，隨著相對(duì)瑞利數(shù)的增大，對(duì)流穩(wěn)定狀態(tài)下的滾動(dòng)圈個(gè)數(shù)逐漸增多；給定傾斜角度且角度較大時(shí)，對(duì)流形成的流線圖都是一個(gè)完整封閉的滾動(dòng)圈，此時(shí)相對(duì)瑞利數(shù)對(duì)流線圖影響較?。辉诖怪绷魉俜矫?，相對(duì)瑞利數(shù)越大，流速絕對(duì)值的最大值越大。

(2)給定相對(duì)瑞利數(shù)，隨著傾斜角度的增大，對(duì)流穩(wěn)定狀態(tài)下的滾動(dòng)圈個(gè)數(shù)逐漸減小，直至減少到只剩一個(gè)滾動(dòng)圈。在垂直流速上，傾斜角度越大，流速絕對(duì)值的最大值越小。

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