張付臣， 陳 睿， 陳修素，李如意， 曾 偲， 何毅章

(1. 重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 重慶 400067；2.重慶工商大學(xué) 信息化辦公室， 重慶 400067；3. 成都市第七中學(xué)， 成都 610041)

1 研究背景

1963年，美國氣象學(xué)家Lorenz[1]在研究大氣運動時發(fā)現(xiàn)了第一個具有“蝴蝶效應(yīng)”的Lorenz混沌系統(tǒng)，大量專著和論文研究了Lorenz混沌系統(tǒng)的定性與定量動力學(xué)行為，包括奇點及其穩(wěn)定性、奇點的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和平衡點的局部分岔、同宿軌線和異宿軌線的擾動與保持性、周期解的存在性及其穩(wěn)定性、混沌同步與控制等[2-12]。Lorenz混沌系統(tǒng)、Chua’s電路系統(tǒng)、R?ssler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lu系統(tǒng)等混沌系統(tǒng)在自然科學(xué)和工程領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[13-15]。

2 主要數(shù)學(xué)結(jié)果

一類用于描述Couette-taylor流復(fù)雜動力學(xué)行為的三維Lorenz型混沌系統(tǒng)[16]

(1)

其中a，b，c，r，σ為混沌系統(tǒng)(1)的正參數(shù)。且有r為系統(tǒng)式(1)的雷諾參數(shù)，σr-c>0。

一類用于描述不可壓縮磁流體動力學(xué)行為的方程為[17]

(2)

其中r>0為混沌系統(tǒng)式(2)的雷諾參數(shù)，決定著系統(tǒng)式(2)的分岔和混沌行為。

混沌系統(tǒng)式(1)和式(2)奇點的局部分岔、李雅普諾夫指數(shù)、龐加萊截面、功率譜及其返回映射等在文獻(xiàn)[16-17]中已經(jīng)研究過。下面將研究系統(tǒng)式(1)和式(2)的最終界和全局吸引域。

定理1 對任意的a>0，b>0，r>0，σ>0，σr>c>0，則

R2，?m>0，?λ≠0}

(3)

是系統(tǒng)式(1)的一個最終界與正向不變集。這里

證明定義廣義李雅普諾夫函數(shù)

(4)

沿著系統(tǒng)式(1)正半軌線求導(dǎo)數(shù)

-2dmx2-2λ2y2-2bλ2z2+2b(σm+arλ2)z，

(5)

上述問題等價于：

引入新的變量，令

則上述問題轉(zhuǎn)化為

通過計算可以得到：

容易證明式(3) 為混沌系統(tǒng)式(1)正半軌線的一個最終有界集和正向不變集。

定理2 令X(t)=(x(t)，y(t)，z(t))為系統(tǒng)式(1)的任意一個解。則對于任意a>0，b>0，r>0，σ>0，σr>c>0， 令

V(X)=V(x，y，z)=mx2+λ2y2+

θ=min(b，d，1)>0，d=

則當(dāng)V(X(t))>Lλ，m，V(X(t0))>Lλ，m時，對于系統(tǒng)式(1)的軌線有如下估計式

V(X(t))-Lλ，m≤〈V(X(t0))-Lλ，m〉e-θ(t-t0)

從而

Ψ={(x，y，z)|mx2+λ2y2+

(6)

為系統(tǒng)式(1)的一個全局指數(shù)吸引集。

證明定義廣義李雅普諾夫函數(shù)

V(X)=V(x，y，z)=mx2+λ2y2+

對上述廣義李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

-2dmx2-2λ2y2-2bλ2z2+2b(σm+arλ2)z≤

-dmx2-λ2y2-bλ2z2+2b(σm+arλ2)z=

當(dāng)V(X(t))>Lλ，m，V(X(t0))>Lλ，m，則有

V(X(t))≤V(X0)e-θ(t-t0)+Lλ，m(1-e-θ(t-t0))

整理得

V(X(t))-Lλ，m≤〈V(X0)-Lλ，m〉e-θ(t-t0)

讓t→+∞， 且對上面不等式兩邊取上極限有

從而有

Ψ={(x，y，z)|mx2+λ2y2+

為系統(tǒng)式(1)的一個全局指數(shù)吸引集。

定理3 令X(t)=(x1(t)，x2(t)，x3(t)，x4(t)，x5(t)，x6(t)，x7(t)，x8(t)，x9(t)，x10(t))為系統(tǒng)式(2)的任意一個解。則對于任意r>0， 令

則當(dāng)V(X(t))>M，V(X(t0))>M時，對于系統(tǒng)式(2)的正半軌線有如下的估計式

V(X(t))-M≤〈V(X(t0))-M〉e-θ(t-t0).

從而

(7)

為系統(tǒng)式(2)的一個全局指數(shù)吸引集。

當(dāng)V(X(t))>M，V(X(t0))>M，則有

V(X(t))≤V(X0)e-θ(t-t0)+M(1-e-θ(t-t0))

整理得

V(X(t))-M≤[V(X0)-M]e-θ(t-t0)

讓t→+∞， 且對上面不等式兩邊取上極限有

從而Ψ1={(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10)|

3 結(jié) 論

研究了兩類混沌模型的全局吸引性和最終界，研究方法適用于其他混沌系統(tǒng)的研究，研究結(jié)果對混沌系統(tǒng)的混沌控制的應(yīng)用將起到一定的參考價值。

[1] LORENZ E N. Deterministic Non-periods Flows[J]. Journal of the Atmospheric Sciences， 1963， 20:130-141

[2] BALLESTEROS A， BLASCO A， MUSSO F. Integrable Deformations of R?ssler and Lorenz Systems from Poisson-Lie Groups[J]. Journal of Differential Equations， 2016， 260(11): 8207-8228

[3] COOMES B A. The Lorenz System does not Have a Poly-nomial Flow[J]. Journal of Differential Equations， 1989， 82(2): 386-407

[4] LEONOV G A. On Estimates of the Bifurcation Values of the Parameters of a Lorenz System[J]. Russian Mathematical Surveys， 1988， 43(3): 216-217

[5] WU K S， ZHANG X. Darboux Polynomials and Rational First Integrals of the Generalized Lorenz Systems[J]. Bulletin Des Sciences Mathématiques， 2012， 136(3): 291-308

[6] DOEDEL E J， KRAUSKOPF B， OSINGA H M. Global Organization of Phase Space in the Transition to Chaos in the Lorenz System[J]. Nonlinearity， 2015， 28(11): 113-139

[7] YANG Q G， ZHANG K M， Chen G R. Hyperchaotic Attractors from a Linearly Controlled Lorenz System[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications， 2009， 10(3): 1601-1617

[8] ZHANG F C， ZHANG G Y. Further Results on Ultimate Bound on the Trajectories of the Lorenz System[J]. Qualitative Theory of Dynamical Systems， 2016， 15(1): 221-235

[9] ZHANG F C， MU C L， ZHOU S M，et al. New Results of the Ultimate Bound on the Trajectories of the Family of the Lorenz systems[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-series B， 2015， 20(4): 1261-1276

[10] ZHANG F C， LIAO X F， MU C L. On Global Boundedness of the Chen System[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B， 2017， 22(4): 1673-1681

[11] ZHANG F C， LIAO X F， ZHANG G Y，et al. Dynamical Analysis of the Generalized Lorenz Systems[J]. Journal of Dynamical and Control Systems， 2017， 23(2): 349-362

[12] ZHANG F C， LIAO X F， ZHANG G Y，et al. Dynamical Behaviors of a Generalized Lorenz Family[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B， 2017， 22(10): 3707-3720

[13] SPARROW C. The Lorenz Equations:Bifurcations Chaos and Strange Attractors[M].New York：Springer Science & Business Media， 2012

[14] BRAGIN V， VAGAITSEV V.Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems[J]. Journal of Computer and Systems Sciences International， 2011， 50: 511-543

[15] LIU X W， CHEN T P. Boundedness and Synchronization of Y-coupled Lorenz Systems with or Without Controllers[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena， 2008， 237(5): 630-639

[16] WANG H Y. The Dynamical Behavior and Numerical Simulation of Lorenz Equations of Spiral-flow Type Systems[J]. Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities， 2016， 38(3): 201-212

[17] WANG H Y. The Dynamical Behaviors and Numerical Simulation of a Five-mode Lorenz-like System of the MHD Equations for a Two-dimensional Incompressible Fluid on Attorus[J]. Acta Mathematica Scientia， 2017， 37(1): 199-216