吳任國

（海軍裝備部駐武漢軍事代表局 武漢 430064）

1 引言

本文研究了基于誤差幾何稀釋度（GDOP）測量的傳感器與目標(biāo)間相對位置測量矩陣（MOM），通過測量矩陣求解最小測量誤差稀釋度的傳感器幾何配置，從而獲得目標(biāo)最小均方根誤差［1～3］。

為了獲得計算GDOPMOM必須的數(shù)學(xué)框架，本文如下介紹：首先最大似然估計用于解決交叉定位問題。采用基于線性測量模型的誤差敏感性分析作為GDOPMOM的一種表達方式，GDOPMOM作為傳感器-目標(biāo)幾何關(guān)系公式，將傳感器測量無和目標(biāo)位置誤差關(guān)聯(lián)。為了證明GDOPMOM對融合算法的影響，GDOP關(guān)聯(lián)關(guān)系進一步用于計算純方位測量傳感器和目標(biāo)幾何位置。以兩站及三站純方位傳感器最小GDOP和相關(guān)的指定目標(biāo)-傳感器幾何關(guān)系為例，通過繪制二三維相對誤差等高線圖觀展示傳感器配置誤差稀釋度。以上分析結(jié)果用于在應(yīng)用中選擇M個傳感器最優(yōu)目標(biāo)-傳感器幾何配置。GDOPMOM是通用的，可用于擴展到其他測量傳感器和融合算法。

2 位置配置問題

通過兩站及以上傳感器純方位定位目標(biāo)位置。一般，N維狀態(tài)向量 Xˉ(n×1)表示目標(biāo)位置，本文n=2。采用M（M=2或者3）傳感器進行純方位測量，本文闡述評估理論建立討論問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為介紹特定的純方位測量幾何配置作準(zhǔn)備。

假設(shè) Xˉ是未知參數(shù)向量，在 Xˉ條件下概率函數(shù) Zˉ表示為

其中R是M×M測量誤差協(xié)方差矩陣， ||R是R的行列式。

依據(jù)式（3）的指數(shù)部分，最大似然相似度估計（MLE）轉(zhuǎn)換為最小化二次方程形式：

式（4）等價于最小二乘估計（LS）［1，3］。

依據(jù)式（4），線性總量Q(Xˉ)表示為

如果M＜n（測量值少于待估計的傳感器坐標(biāo)，“少確定情況”），且式（7）中 (GTR-1G)-1GTR-1由偽逆表示。如果M＞n，融合更多信息獲取更好的位置估計，即大部分傳感器融合系統(tǒng)中典型的“過確定情況”。

式（7）定義的協(xié)方差誤差矩陣x?：

大多數(shù)情況下R是對角線矩陣，P由G（傳感器和目標(biāo)幾何關(guān)系）和作為比例因素的R矩陣對角線元素取逆直接相關(guān)函數(shù)。本文最優(yōu)估計狀態(tài)（位置）誤差協(xié)方差矩陣P是不相關(guān)測量誤差協(xié)方差（輸入）到狀態(tài)誤差協(xié)方差（輸出）的幾何轉(zhuǎn)換。

3 定位精度

圖1描述了X-Y平面內(nèi)三站純方位探測一目標(biāo)。每個傳感器相對于公共坐標(biāo)參考，例如笛卡爾系統(tǒng)中的X軸進行方位角測量。由于探測誤差影響，目標(biāo)定位于如圖所示形成的三角形中。本文主要分析定位精度，因此假設(shè)目標(biāo)位置已知且目標(biāo)位于純方位線交叉點處［4～7］。

通過得到表示傳感器和目標(biāo)幾何關(guān)系的函數(shù)G，可計算傳感器探測誤差相關(guān)的誤差協(xié)方差矩陣最優(yōu)估計P［8～10］。P是考慮測量誤差的誤差協(xié)方差傳播方程（輸入）轉(zhuǎn)換為上文提及的定位誤差最優(yōu)估計（輸出）。

4 幾何誤差稀釋度（GDOP）

文獻［3］定義歸一化幾何誤差稀釋度（GDOP）為均方根位置誤差（輸出）與均方根測距誤差比值。均方根測距誤差作為標(biāo)準(zhǔn)化因素，將產(chǎn)生目標(biāo)位置的獨立最優(yōu)估計。因此，GDOPN測量將測量誤差映射到通過傳感器和目標(biāo)之間的幾何關(guān)系相對于最佳均方根測距測量誤差放大的位置誤差。本文計算GDOPN最小值，對于同樣地傳感器到目標(biāo)范圍，GDOPN最小值將與范圍參數(shù)無關(guān)。GDOP非歸一化測量作為幾何函數(shù)，將映射測量誤差為位置誤差。一般，以上表達均可用于計算傳感器最優(yōu)配置［11～13］。

根據(jù)2.1節(jié)的推導(dǎo)，均方根位置誤差（輸出）是式（8）P的跡的開方。均方根測距誤差是所有傳感器的 riθi的均方差：

4.1 GDOP計算

針對指定的傳感器，首先建立方程的相應(yīng)元素通過式（15）計算GDOPN和式（16）計算GDOP。本例M=2，n=2，根據(jù)式（13）代入G（2）得到式（17）：

根據(jù)式（15）得到GDOPN（2），根據(jù)式（16）得到GDOP（2）：

對應(yīng)的兩站最優(yōu)幾何配置如圖2所示。

類似兩站方式進一步推導(dǎo)三站純方位配置，首先計算式（15）和（16）相應(yīng)元素。本例M=3，n=2，代入G（3）得到式（20）：

對應(yīng)的三站最優(yōu)幾何配置如圖3所示。

4.2 GDOP等高線

以上章節(jié)通過兩站和三站案例分別計算GDOP（N）（2）和GDOPN（3），分別對應(yīng)兩站和三站案例。GDOP（3）使用三個幾何參數(shù)，形成一個等邊三角形和兩個鈍角三角形的配置（其中所包含的鈍角在“鈍角2”配置中大于“鈍角1”配置）。傳感器放置于三角形的頂點上。以上配置形成的GDOPN（2）和GDOPN（3）等高線如圖4和圖5所示。通過100×100矩陣，表示超出圖中所選值的幾何范圍的10000種可能目標(biāo)位置評估GDOPN（2）和GDOPN（3）等式。描述所選幾何范圍值的X軸和Y軸單位：米。一般坐標(biāo)軸單位是任意的且與應(yīng)用程序相關(guān)。

在兩站案例中避免如圖4所示峰值孤立區(qū)域描述的兩傳感器連線GDOPN（2）值。僅在孤立值周圍區(qū)域描述GDOPN（2）。

通過平面圖和三維立體圖描述以上配置的GDOPN（2）和GDOPN（3）。另外，在三維圖的對稱部分中心線上進行的垂線圖（X=0），描述關(guān)于傳感器-目標(biāo)位置的代表性相對GDOPN（3）值。

5 結(jié)語

本文引入了新的幾何測量矩陣GDOPMOM。通過使用線性化測量模型的誤差協(xié)方差變換方法推導(dǎo)出GDOPMOM。GDOPMOM能夠推導(dǎo)出滿足最小測量誤差稀釋度和最小最小二次方位置誤差的最優(yōu)傳感器-目標(biāo)幾何配置，同時在僅有兩站探測目標(biāo)時，融合第三個傳感器能夠獲得更多信息并提高位置估計。

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