陳志華，解永春,2,3

0 引 言

隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展和計算機在衛(wèi)星控制系統(tǒng)中的應(yīng)用，可以采用更復(fù)雜的開關(guān)控制律來滿足控制系統(tǒng)的性能要求.文獻[1]介紹了一種大小推力聯(lián)合控制的相平面控制律，通常稱為相平面控制方法.相平面控制主要適用于中低軌道衛(wèi)星入軌后消除姿態(tài)偏差、速率阻尼、姿態(tài)捕獲、姿態(tài)機動、正常軌道運行期間和變軌發(fā)動機工作期間的姿態(tài)穩(wěn)定，也可用于航天器的返回控制和交會對接.此外，早期美國阿波羅飛船姿態(tài)控制[2]、美國火星著陸器姿態(tài)控制[3]以及日本隼鳥號小行星探測器姿態(tài)控制[4]都使用了相平面控制方法.

然而，相平面控制方法設(shè)計參數(shù)較多，且基本依賴于工程師的經(jīng)驗和試湊.針對這些不足，解永春等[5]將黃金分割自適應(yīng)控制思想引入相平面控制設(shè)計，克服了現(xiàn)有相平面控制設(shè)計參數(shù)需要試湊的弊端，最終提出了基于特征模型的相平面自適應(yīng)控制方法[6-8].該方法進一步發(fā)展了相平面控制方法，為相平面控制的工程應(yīng)用提供理論依據(jù).基于特征模型的相平面自適應(yīng)控制方法已經(jīng)在我國“神舟八號”、“神舟九號”飛船與“天宮一號”目標飛行器的交會對平移靠攏段控制中得到了成功應(yīng)用，取得了預(yù)期的控制效果[8].

眾所周知，相平面控制屬于非線性控制，其既屬于切換控制，又屬于采樣控制.考慮到現(xiàn)代航天器通常具有高階、非線性、時變性和不確定性等因素，因此航天器相平面控制閉環(huán)系統(tǒng)通常屬于含有不確定性，控制時延的時變非線性切換采樣系統(tǒng)，如“神舟八號”飛船交會對接靠攏段控制[6，8].

相平面控制中的切換屬于狀態(tài)依賴切換，故當系統(tǒng)狀態(tài)穿越分區(qū)邊界時，會出現(xiàn)控制不能隨著閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)所在分區(qū)及時更新的情況，也有文獻[9-10]稱之為控制與系統(tǒng)不匹配(mode mismatch)問題，這種情況相當于引入了不超過一個采樣周期的控制延時.此外，當一個采樣控制周期的控制已經(jīng)確定時，在該采樣控制周期內(nèi)還可能出現(xiàn)控制開關(guān)切換的情況，即在該采樣控制周期內(nèi)發(fā)動機開機一定長度后再關(guān)機.這種在一個采樣周期內(nèi)發(fā)生控制切換的情況使得閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題變得更加復(fù)雜[10].目前，關(guān)于切換控制系統(tǒng)和采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究已經(jīng)取得了不少結(jié)果[11-12].然而，針對同時存在控制切換和周期采樣的系統(tǒng)，其穩(wěn)定性研究結(jié)果還很少[10].因此，針對相平面控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，尚沒有可借鑒的成熟方法來研究，文獻[13]也將相平面控制的穩(wěn)定性分析問題列為公開難題.

根據(jù)研究相平面控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的已有結(jié)果[14-16]來看，相平面控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法主要分為時域法和頻域法兩類.頻域法主要有數(shù)值計算描述函數(shù)法[14-15]、圓判據(jù)以及Popov判據(jù)等.數(shù)值計算描述函數(shù)的方法可以得出相平面控制律的近似描述函數(shù)，但描述函數(shù)法本身是一種近似方法，因此使用該方法進行穩(wěn)定性分析的可信度難以保證.此外，當相平面控制律參數(shù)發(fā)生改變時，需要重新計算相平面控制環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，即該方法難以有效地分析控制參數(shù)時變的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性.文獻[16]首先通過Siljak環(huán)路變換將相平面航天器控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成Lure型系統(tǒng)，進而采用圓判據(jù)和Popov判據(jù)分析航天器相平面控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性.但文獻[16]考慮的相平面控制是連續(xù)的，不存在固定周期采樣問題，也就不涉及采樣周期內(nèi)的切換問題，故文獻[16]的方法不能直接用來分析本文相平面控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

時域法主要包括計算機仿真方法[6，17]、Lyapunov方法以及相平面分析方法.計算機仿真方法即通過計算機隨機打靶仿真來判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)在統(tǒng)計意義下是否穩(wěn)定，且該種方法已經(jīng)在實際航天器控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中得到了廣泛應(yīng)用[17].但要指出的是，計算機隨機打靶仿真中對于系統(tǒng)是否穩(wěn)定的判別基本依賴于工程師的經(jīng)驗.此外，由于計算機仿真時長有限，使得難以利用計算機時域仿真來分析非線性時變控制系統(tǒng)的長時間行為，如穩(wěn)定性.同樣，由于計算機仿真次數(shù)是有限的，故難以分析系統(tǒng)對于參數(shù)不確定性的魯棒穩(wěn)定性.總之，利用計算機仿真分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性尚缺乏嚴格的理論依據(jù).

由于相平面控制具有非線性和混雜特性，難以直接利用Lyapunov方法分析相平面控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.據(jù)我們所知，目前尚未見到基于Lyapunov方法分析相平面控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的報道.相平面控制系統(tǒng)屬于切換采樣系統(tǒng)，據(jù)我們所知，針對一般切換采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性尚沒有普適的分析方法.針對一類特殊的采樣切換線性系統(tǒng)，文獻[10]采用Lyapunov方法分析其穩(wěn)定性，但需要附加很強的前提假設(shè)條件，故文獻[10]的分析方法難以用于相平面控制系統(tǒng).

相平面分析方法[18]是分析低階非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效方法，該方法通過直接分析二階系統(tǒng)的軌線行為來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，具有幾何直觀的優(yōu)點.然而，該方法難以用于高階控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.相平面分析方法在二階復(fù)雜控制系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中得到了廣泛應(yīng)用，如文獻[19]通過相平面分析方法研究帶有輸入延時的二階滑?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性.但據(jù)我們所知，目前尚未見到基于相平面分析方法研究相平面控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的文獻.

在本文中，首先對相平面控制律進行適當簡化，并選取剛體衛(wèi)星作為被控對象，最終對所組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行研究.具體來說，采用相平面分析方法對閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線進行定量估計，證明閉環(huán)控制系統(tǒng)存在特定的穩(wěn)態(tài)區(qū)域.同樣，采用相平面分析方法定量估計閉環(huán)控制系統(tǒng)的軌線，證明當相平面控制律參數(shù)滿足一定條件時，閉環(huán)控制系統(tǒng)的所有軌線都是一致最終有界的.此外，還給出了閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線從任意初始狀態(tài)到達穩(wěn)態(tài)區(qū)域的時間估算公式.

總結(jié)來說，本文主要貢獻體現(xiàn)在以下3個方面：

1)對航天器控制系統(tǒng)中常用的相平面控制律進行簡化改進，但保留了其中的狀態(tài)依賴切換控制和固定周期采樣的特點(這兩個特點是導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性難以分析的主要因素)，得到一種簡化相平面控制律；

2)以簡化相平面控制律為基礎(chǔ)，以剛體衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)模型作為被控對象，采用相平面分析方法定量估計閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線的方法，證明閉環(huán)控制系統(tǒng)存在特定的穩(wěn)態(tài)區(qū)域，且穩(wěn)態(tài)區(qū)域完全由相平面控制參數(shù)決定；

3)基于相平面分析方法定量估計閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線的思想，給出了從任意初值出發(fā)的相平面閉環(huán)控制系統(tǒng)的軌線一致最終有界的充分條件.此外，還給出了從任意初值出發(fā)的閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線到達穩(wěn)態(tài)區(qū)域的時間估算公式，為后續(xù)研究相平面控制系統(tǒng)穩(wěn)定性以及改進設(shè)計提供初步理論依據(jù).

1 問題描述

1.1 簡化相平面控制律

在文獻[1，8]給出的相平面控制律基礎(chǔ)上，不失一般性，通過合并原相平面控制中的部分分區(qū)得到簡化相平面控制律，如圖1所示.其中，相平面控制律參數(shù)由表1給出，相平面控制律的具體計算公式由表2給出.

圖1 簡化相平面控制律相平面分區(qū)示意圖Fig.1 The zones divided in the simplified phase-plane control

注1.簡化相平面控制律保留了根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)所在分區(qū)進行控制切換和固定周期采樣這兩個因素，這些因素直接導(dǎo)致了難以分析相平面控制系統(tǒng)穩(wěn)定性.

設(shè)采樣控制周期為T，根據(jù)控制系統(tǒng)的狀態(tài)采樣點θ(t0+kT)，k=1,2,…所在區(qū)域，簡化相平面控制律u(t)，t∈[t0,∞)設(shè)計如下：

表1 相平面控制律相關(guān)參數(shù)Tab.1 Related parameters of the simplified phase-plane control law

表2 相平面控制計算公式Tab.2 The calculation formulas of the phase-plane control

計算得到右半平面開關(guān)線GCD方程為

類似地，左半平面開關(guān)線G′C′D′方程為

其中，開關(guān)線斜率為

(1)

為了突出相平面控制律中狀態(tài)依賴切換和固定周期采樣因素，我們以剛體衛(wèi)星作為被控對象，進而研究姿態(tài)控制閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

1.2 被控對象

考慮剛體衛(wèi)星的姿態(tài)控制，由簡化相平面控制和剛體衛(wèi)星單軸動力學(xué)組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)可以表示成：

(2)

其中，x(t)∈R1表示姿態(tài)角，I>0為剛體衛(wèi)星單軸慣量參數(shù)，u(t)為簡化相平面控制，其具體形式由表2 給出.

(3)

其中，σ表示簡化相平面控制由于狀態(tài)分區(qū)產(chǎn)生的切換信號，uσ表示對應(yīng)于切換信號σ的控制.

1.3 相關(guān)定義

定義2[21-22].(一致最終有界,uniform ultimate boundedness)給定初始時刻t0，稱系統(tǒng)從初始狀態(tài)θ0=θ(t0)出發(fā)的解θ(t):[t0,+∞)→R2是一致最終有界的；如果存在一個C集μ(不依賴t0)和非負數(shù)T(θ0,μ)，使得

θ(t)∈μ,?t≥t0+T(θ0,μ)

(4)

進一步，如果式(4)對于任意θ0∈R2成立，則稱系統(tǒng)的解是全局一致最終有界的.

注2．C集[22]指的是內(nèi)部包含原點的緊凸集.

2 預(yù)備引理

為了推導(dǎo)本文主要結(jié)果，在本節(jié)給出3個預(yù)備引理，先給出3個假設(shè)條件.

假設(shè)1.大、小推力發(fā)動機分別提供的力矩幅值FM與Fm滿足：Fm=0.25FM.

假設(shè)2.采樣控制周期T=160 ms，推力器最小噴氣長度Tmin=50 ms.

假設(shè)3.若閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)的采樣點位于直線(段)GCD，DE，EF，G′C′D′，D′E′，E′F′上，則進行關(guān)機控制.

2.1 穩(wěn)態(tài)區(qū)域存在性

(5)

則存在區(qū)域(稱為穩(wěn)態(tài)區(qū)域)

(6)

具有下述3個性質(zhì)：

圖2 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)區(qū)域Rd示意圖Fig.2 The zone Rd of stable states of the phase-plane control close-loop system

其中，Tcross表示從t1到穿越橫軸θ=0的歷時，即

根據(jù)條件(5)可知：KX≤1/(T+3.5Tmin)，因此

其中，Tcross表示從t1到穿越橫軸θ=0的歷時，即

再證明閉環(huán)系統(tǒng)軌線從Rd中最多穿出一次，且經(jīng)過有限時間后會再次進入Rd，并將保持在Rd內(nèi).

記第1次采樣時刻為t1，而第1次噴氣長度

在第1次噴氣結(jié)束時刻，閉環(huán)系統(tǒng)軌線的橫坐標θ(t1+TN)相對θD的右偏移量

(7)

(8)

因此，可以推出

另一方面，根據(jù)條件(7)可知：

因此，

根據(jù)式(8)可知，第2次噴氣必將使得閉環(huán)系統(tǒng)軌線穿越線段DE.

而從閉環(huán)系統(tǒng)軌線縱坐標來看，第2次噴氣完成后，閉環(huán)系統(tǒng)軌線在縱向的增量

記第3次采樣時刻為t3，顯然t3=t2+T，在第3次噴氣開始時刻t3，按最壞情況計算，閉環(huán)系統(tǒng)軌線在橫向的坐標最小為

(9)

(10)

2.2 臨界區(qū)域存在性

本節(jié)給出的引理2將證明存在具有下述性質(zhì)的區(qū)域：一旦閉環(huán)系統(tǒng)軌線進入該區(qū)域，則閉環(huán)系統(tǒng)軌線將在有限時間內(nèi)進入穩(wěn)態(tài)區(qū)域Rd.

(11)

定義區(qū)域(稱為臨界區(qū)域)，如圖3所示：

(12)

圖3 相平面控制閉環(huán)系統(tǒng)臨界區(qū)域Rcritical示意圖Fig.3 The critical zone Rd of the phase-plane control closed-loop system

證明.由題設(shè)條件可知：

其中，k=1,…,N.

故在這不超過N次的噴氣過程中，閉環(huán)系統(tǒng)軌線向右偏移量不超過

故閉環(huán)系統(tǒng)軌線穿越CD后向右的偏移量不超過

.

(13)

(14)

2.3 穩(wěn)態(tài)區(qū)域有限時間可達性

對于任意給定初值，閉環(huán)系統(tǒng)的軌線可在有限時間內(nèi)進入穩(wěn)態(tài)區(qū)域Rd，下述引理3證明了這點.

(15)

(16)

圖4 閉環(huán)控制系統(tǒng)的初值狀態(tài)限定區(qū)域ΩFig.4 The considered zone Ω of the initial values of the phase-plane control closed-loop system

當閉環(huán)系統(tǒng)軌線經(jīng)過EF穿出R3區(qū)時，按保守計算，閉環(huán)系統(tǒng)軌線的向右橫向偏移量必不超過

t1+t2+t3+max(t4,t5)

時間后，則閉環(huán)系統(tǒng)軌線必將進入Ω區(qū)域.

t1+t2+t3+max(t4,t5)

(17)

若|θc1|≤θD，則閉環(huán)系統(tǒng)軌線將進入Rd區(qū)，此后閉環(huán)系統(tǒng)軌線的運行情況已在引理1中討論過.

(18)

圖5 閉環(huán)控制系統(tǒng)典型軌跡運行情況Fig.5 The representative trajectory of the phase-plane control system

若θc2≤θD，則閉環(huán)系統(tǒng)軌線將從R2區(qū)穿越CD進入Rd區(qū)，此后情況已在引理1中討論過.

假設(shè)點N位于直線EF上，即閉環(huán)系統(tǒng)軌線穿越EF進入R0區(qū)，則根據(jù)R2和R3區(qū)的控制可知：閉環(huán)系統(tǒng)軌線在PN段的運行時間tPN，大于閉環(huán)系統(tǒng)軌線在MP段的運行時間tMP，即tPN>tMP.因此，閉環(huán)系統(tǒng)軌線在tPN時間內(nèi)的橫向位移增量大于DP，這與N位于直線EF上相矛盾.

故閉環(huán)系統(tǒng)軌線只能從DE進入R0區(qū)，而不會穿越EF進入R0區(qū).

而根據(jù)R2區(qū)控制可知，閉環(huán)系統(tǒng)軌線在QM段運行期間的每個噴氣控制周期內(nèi)的縱向位移量不小于(Fm/I)Tmin.

(19)

(20)

同樣，按保守計算，每圈的環(huán)繞時間不超過

至此，證明了閉環(huán)系統(tǒng)軌線在有限時間內(nèi)進入Rcritical區(qū).再根據(jù)引理2可知，經(jīng)過有限時間后，閉環(huán)系統(tǒng)軌線將進入Rd.

對于任意給定初值，為了估算從給定初值出發(fā)的閉環(huán)系統(tǒng)軌線到達穩(wěn)態(tài)區(qū)域所用時間，基于引理1-3，我們提出下述引理4.

2.4 可達時間計算

(21)

Tf=T1+T2+T3+T4+T5

(22)

后，閉環(huán)系統(tǒng)軌線將進入Rd，并將一直保持在Rd內(nèi).

證明.圖6給出閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線運行全過程中依次經(jīng)過的區(qū)域：

圖6 閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線運行各階段示意圖
Fig.6 The overall phases traversed by the trajectory of the phase-plane control closed-loop system

圖7 閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線依次經(jīng)過區(qū)域示意圖Fig.7 The zones traversed by the trajectory of the phase-plane control closed-loop system in sequence

RL

(23)

同樣根據(jù)引理3證明可知，一旦閉環(huán)系統(tǒng)軌線進入RL區(qū)，按最壞情況計算，則經(jīng)過不超過T3=(Ncircle+1)Tcircle時間后，閉環(huán)系統(tǒng)軌線將進入臨界區(qū)Rcritical內(nèi).

再根據(jù)引理2可知，經(jīng)過不超過T4=t6時間后，閉環(huán)系統(tǒng)軌線將進入Rd區(qū).

因此，按最壞情況計算，閉環(huán)系統(tǒng)軌線到達時間穩(wěn)態(tài)區(qū)域Rd的時間不會超過

(24)

注5．當把感興趣的初值范圍限定在Ω區(qū)時，則T1=0，即Tf=T2+T3+T4+T5.

3 主要結(jié)果

根據(jù)第2節(jié)中引理1、引理2和引理4，即可證明閉環(huán)系統(tǒng)的一致最終有界性，具體由下述定理1給出.

(25)

根據(jù)引理1，引理2和引理4即可證明定理1，不再詳細給出.

4 仿真驗證

選取剛體衛(wèi)星俯仰姿態(tài)控制為例進行仿真研究，具體仿真參數(shù)由表3給出.

表3 仿真參數(shù)Tab.3 Simulation parameters

取仿真總時間1 000 s，計算可知初值狀態(tài)限定區(qū)域Ω=[-2,2]×[-2,2]，單位分別為(°)和/((°)/s).

仿真結(jié)果如圖9所示，根據(jù)定理1可得閉環(huán)系統(tǒng)軌線到達穩(wěn)態(tài)區(qū)域的時間為Testimate=1247.822 4 s.而由圖9(b)和(c)可知，閉環(huán)系統(tǒng)軌線到達穩(wěn)態(tài)區(qū)域的實際時間約為Treal=151.203 4 s.

圖8 閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)值仿真結(jié)果γ=3.2Fig.8 Simulation results of the phase-plane control closed-loop system with the initial value (2,2) when γ=3.2

圖9 閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)值仿真結(jié)果γ=16Fig.9 Simulation results of the phase-plane control closed-loop system with the initial value (2,2) when γ=16

5 結(jié) 論

本文研究了航天器姿態(tài)相平面控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析這一難題.首先提出一種簡化相平面控制律，進而分析剛體衛(wèi)星相平面控制閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.針對剛體衛(wèi)星相平面控制閉環(huán)系統(tǒng)，首先證明閉環(huán)系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)區(qū)域的事實.進而基于相平面分析方法定量估計閉環(huán)控制系統(tǒng)的軌線，給出保證閉環(huán)控制系統(tǒng)軌線全局一致最終有界的充分條件，且該條件以關(guān)于相平面控制參數(shù)的不等式形式給出.同時，還給出閉環(huán)控制系統(tǒng)從任意初值到達穩(wěn)態(tài)所用時間的估算公式.

所得結(jié)果為分析相平面控制系統(tǒng)穩(wěn)定性提供了初步理論依據(jù)，也為相平面控制設(shè)計提供了初步指導(dǎo)準則.

后續(xù)研究中將針對一般的時變非線性航天器對象，考慮三軸慣量耦合及大角度姿態(tài)運動學(xué)自身的耦合特性、系統(tǒng)參數(shù)不確定性、控制與測量延時、外部擾動和測量噪聲等因素，研究航天器相平面控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性.

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