安 帥， 袁鎖中， 李華東

(南京航空航天大學自動化學院，南京 210016)

0 引言

作為一種旋翼式無人機，四旋翼無人機具有垂直起降的能力且在軍用和民用領(lǐng)域被廣泛使用。傳感器技術(shù)和微控制器的進一步發(fā)展使得實現(xiàn)更為先進的控制系統(tǒng)成為可能。在先進的控制系統(tǒng)作用下，四旋翼無人機能執(zhí)行更加復雜的任務(wù)。

許多學者已經(jīng)研究了很多關(guān)于四旋翼無人機的先進控制方法或策略。文獻[1-3]深入地研究了四旋翼無人機的姿態(tài)穩(wěn)定問題，但沒有涉及路徑跟蹤;文獻[4]把四旋翼無人機模型劃分為全驅(qū)動與欠驅(qū)動子系統(tǒng)，然后采用全局快速動態(tài)末端滑?？刂萍夹g(shù)分別為兩個子系統(tǒng)設(shè)計控制器，雖然能確保所有的系統(tǒng)狀態(tài)變量及其導數(shù)都能在有限時間內(nèi)收斂到零，但控制器形式十分復雜;文獻[5]研究了在四旋翼無人機變負載情況下的軌跡跟蹤控制，采用一種分層的非線性控制策略，設(shè)計基于自適應(yīng)魯棒反步法的內(nèi)環(huán)控制器和基于全局滑模的外環(huán)控制器，雖然在外界擾動下能實現(xiàn)軌跡跟蹤，但沒有考慮負載減小的情況。

本文以四旋翼無人機倉庫吊運為背景，對四旋翼無人機的軌跡跟蹤控制問題進行研究?？紤]到在短距離運輸中裝貨/卸貨導致負載突變以及外界擾動等對飛行性能的影響，采用內(nèi)外環(huán)控制結(jié)構(gòu)，結(jié)合魯棒控制和自適應(yīng)控制以減小參數(shù)變化和外界干擾所造成的影響。由于四旋翼無人機的負載是變化的，為了軌跡跟蹤性能，運用一種自適應(yīng)滑?？刂撇呗栽O(shè)計外環(huán)控制器，采用自抗擾技術(shù)[6-8]設(shè)計內(nèi)環(huán)控制器。

1 四旋翼無人機數(shù)學建模

本文所采用的四旋翼無人機模型如圖1所示。圖1給出慣性坐標系[I]和機體坐標系[B]的定義。坐標系[I]相對于地面是固定的，而坐標系[B]的原點固定在空載時四旋翼無人機的質(zhì)心上。

圖1 四旋翼無人機結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of quadrotor UAV

四旋翼無人機數(shù)學模型由以下運動學和動力學方程[9-10]描述

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：向量ξ=(XYZ)T表示[B]的原點在[I]中的位置；向量η=(φθψ)T表示四旋翼無人機的姿態(tài)，其分量為歐拉角，即滾轉(zhuǎn)角φ(-π/2<φ<π/2)，俯仰角θ(-π/2<θ<π/2)和偏航角ψ(-π<ψ<π);向量ω=(pqr)T是四旋翼無人機的角速率；矩陣W(η)的定義如下

(5)

(6)

式(4)中:I是總的慣性矩;Ga代表陀螺力矩;τext是作用在四旋翼無人機上的干擾力矩;τ代表由旋翼產(chǎn)生的控制力矩,即

(7)

式中：d是阻力因子;l是電機中心到四旋翼無人機運動前的質(zhì)心的距離。

在四旋翼無人機吊運貨物過程中，裝/卸貨操作導致負載突變，從而使得系統(tǒng)重心在垂直方向上產(chǎn)生較大偏移，對四旋翼無人機垂直方向的運動影響較大。

2 控制器設(shè)計

2.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

針對四旋翼無人機的軌跡跟蹤問題，本文使用的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。為在外環(huán)中控制四旋翼無人機的平移運動，設(shè)計自適應(yīng)滑?？刂破?，通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計出對應(yīng)的自適應(yīng)律?；谧钥箶_控制技術(shù)設(shè)計內(nèi)環(huán)控制器，實現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定與跟蹤。

圖2 四旋翼無人機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of the quadrotor UAV control system

2.2 外環(huán)控制器設(shè)計

對式(1)求導并代入式(3)中，得

(8)

平移子系統(tǒng)的相對階為2。式中,Δ1=Fext與T之間不存在線性關(guān)系致使滑?？刂破髦械聂敯羟袚Q項不能確保穩(wěn)定性,需設(shè)計自適應(yīng)律來估計外界擾動。

為實現(xiàn)軌跡跟蹤控制，定義滑模變量

(9)

式中：控制增益λ=diag(λ1,λ2,λ3),λi>0(i=1,2,3);ξd是參考軌跡。對滑模變量s求導，得

(10)

令U1=TRe3為所設(shè)計的虛擬控制輸入。為確保參考軌跡跟蹤性能，設(shè)計U1為

(11)

(12)

選擇自適應(yīng)律為

(13)

考慮如下李雅普諾夫函數(shù)

(14)

根據(jù)式(11)可得

(15)

將式(15)代入式(12)，得

(16)

(17)

(18)

(19)

考慮到負載的變化范圍有界，使用離散投影映射方法對質(zhì)量的自適應(yīng)律進行修改。修正后的質(zhì)量自適應(yīng)律為

(20)

(21)

利用式(9)、式(11)、式(13)、式(20)和式(21)計算出U1。令U1=(U11U12U13)′，結(jié)合U1=TRe3，可得

(22)

在式(22)中，用ηd替代η，可得

(23)

2.3 內(nèi)環(huán)控制器設(shè)計

為確定旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相對階，對式(2)求導，得

(24)

把式(4)代入式(24)中，可得式(25)。旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相對階是2。

(25)

為了控制器的設(shè)計，重寫式(9)為

(26)

考慮式(25)所描述的多輸入多輸出(MIMO)的二階系統(tǒng)，利用ADRC技術(shù)為其設(shè)計控制器使狀態(tài)變量η能夠很好地跟蹤期望信號ηd。圖3給出基于ADRC技術(shù)的解耦控制結(jié)構(gòu)。

該控制系統(tǒng)包含滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航通道,令虛擬控制量u=(u1u2u3)T=B2τ,在這3個通道中，基于ADRC技術(shù)的控制器設(shè)計步驟是相同的。下面以滾轉(zhuǎn)通道的控制器設(shè)計為例詳細討論自抗擾控制器1的設(shè)計過程。自抗擾控制器1由非線性跟蹤微分器(NTD)，非線性反饋控制器(NFC)和擴張狀態(tài)觀測器(ESO)構(gòu)成[7]。圖4所示為出自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)，其中,F21是F2的第一個分量。

圖3 基于自抗擾控制的MIMO系統(tǒng)解耦控制結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of the MIMO system decoupling control based on ADRC

圖4 自抗擾控制器1的結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure of active disturbance-rejection controller 1

使用NTD跟蹤其輸入信號并估計輸入信號的微分值。本文使用二階NTD，其離散算法[11]為

(27)

ESO的形式取決于被觀測對象的形式和階次。考慮到滾轉(zhuǎn)運動子系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)，設(shè)計如下的ESO

(28)

式中：y，u和F是ESO的輸入信號,y表示被觀測對象的輸出量φ,u表示被觀測對象的輸入量u1，F(xiàn)=F21;zi(i=1,2,3)是輸出信號;系數(shù)β0i(i=1,2,3)的取值使多項式λ(s)=s3+β01s2+β02s+β03是Hurwitz的[12]。根據(jù)文獻[11]，設(shè)計離散算法為

(29)

(30)

采用偏差信號與其導數(shù)的非線性組合設(shè)計NFC。由NTD給出x1和x2，由ESO給出z1和z2，求取其偏差值，使用fst函數(shù)構(gòu)造NFC,即

(31)

式中：ci是阻尼因子；r1為控制器增益;速度因子h1>Ts。則自抗擾控制律為

u1=u10-z3-F21。

(32)

文獻[13]已經(jīng)證明自抗擾控制器的穩(wěn)定性以及擴張狀態(tài)觀測器的收斂性。對于多輸入多輸出下三角系統(tǒng)，文獻[14-15]已經(jīng)研究基于自抗擾控制器的閉環(huán)回路性能和穩(wěn)定性。

3 仿真結(jié)果及分析

本文使用式(1)～式(4)所描述的四旋翼無人機模型驗證所設(shè)計控制策略的性能?？蛰d下的四旋翼無人機物理參數(shù)由表1給出。在仿真開始時，給四旋翼無人機引入外界干擾，直至仿真結(jié)束。在仿真中，干擾被設(shè)置為Fext=(sin(0.1t);sin(0.1t);sin(0.1t))，單位為N，τext=(0.3sin(0.1t);0.3sin(0.1t);0.5sin(0.1t))，單位為N·m。

外環(huán)控制器的參數(shù)如下：λ=diag(0.1,0.2,2.3)，c=diag(6.3,6.1,3.9)，γ1=diag(0.7,0.7,0.4)和γ2=0.1。在滾轉(zhuǎn)和俯仰通道中，自抗擾控制器參數(shù)如下：Ts=h=0.01 s，r=1065，β01=100，β02=700，β03=4500，cφ,θ=4.5，r1=30和h1=10。在偏航通道中，除了cψ=5.5以外，剩下參數(shù)都與上述的自抗擾控制器參數(shù)一致。

表1 空載下的四旋翼無人機參數(shù)

四旋翼無人機的初始位置位于坐標系[I]的原點，且初始姿態(tài)角為η(0)=(0 0 0)T,單位為(°)，所以在仿真開始時，四旋翼無人機需要執(zhí)行垂直起飛動作。此外，期望的偏航角都為零。

圖5～圖7給出仿真實驗結(jié)果。從圖5中的參考路徑和實際路徑可看出，四旋翼無人機首先垂直起飛，到達指定高度后開始跟蹤螺旋線軌跡。在整個過程中，由于干擾的存在和質(zhì)量的突變，四旋翼無人機的軌跡會偏離期望路徑，但其跟蹤誤差相對較小，可知所設(shè)計的控制器能夠有效地解決變負載四旋翼無人機在擾動存在情況下的軌跡跟蹤問題。由圖6可知，在跟蹤路徑的過程中，負載的初始重量為3 kg，而且四旋翼無人機分別進行了兩次卸貨和一次裝貨。圖7給出控制輸入信號的變化，可見負載突變對其影響較大。

圖5 路徑跟蹤Fig.5 Path tracking

圖6 質(zhì)量估計Fig.6 Estimation of mass

圖7 控制輸入Fig.7 Control inputs

圖6中的質(zhì)量估計曲線始終未能收斂到實際值曲線的原因是滑模變量不斷地來回穿越滑模面使得質(zhì)量的估計偏差在有界范圍內(nèi)變化而不是變?yōu)榱?。質(zhì)量估計偏差的有界性是滑模變量趨近于零的條件之一。從圖6中可以看出在兩次卸貨操作后，質(zhì)量估計的偏差已經(jīng)縮小許多。當t分別為30 s，55 s和80 s時，質(zhì)量估計滿足式(19)。

4 結(jié)束語

本文提出將自抗擾控制技術(shù)和自適應(yīng)滑模控制方法相結(jié)合解決變負載四旋翼無人機的軌跡跟蹤問題。由內(nèi)外環(huán)控制結(jié)構(gòu)組成的控制策略考慮了外界擾動。針對四旋翼無人機的平移運動，使用自適應(yīng)滑?？刂破鹘M成外環(huán)，確保參考路徑的跟蹤。在內(nèi)環(huán)中，設(shè)計基于自抗擾技術(shù)的控制器，穩(wěn)定與跟蹤姿態(tài)。通過仿真實驗驗證了所設(shè)計控制器的魯棒性和有效性。

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