鄒世龍

一切事物都是在矛盾中生存、矛盾中發(fā)展的，數(shù)學(xué)的發(fā)展也離不開這樣的規(guī)律；數(shù)學(xué)史上三大悖論對數(shù)學(xué)發(fā)展的驅(qū)動也印證了這一點(diǎn)。

一、畢達(dá)哥拉斯悖論

1. 畢達(dá)哥拉斯悖論

不管度量單位取得多么小，都不可能成為正方形的邊與對角線的共同度量單位。也就是說，正方形的邊和對角線不可公度；這與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于任何兩條線段都可公度的理論構(gòu)成了一個悖論。

2. 受畢達(dá)哥拉斯悖論驅(qū)動的數(shù)學(xué)成果

（1）發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，催生了相關(guān)的數(shù)學(xué)方法。

產(chǎn)生了一個新的數(shù)類——實(shí)數(shù)；更重要的是，人們在證明無理數(shù)存在和探索無理數(shù)性質(zhì)的過程中得到了多種重要的數(shù)學(xué)方法。如，輾轉(zhuǎn)相截的方法、反證法、分析法、歐幾里得奇偶數(shù)證法等等。

（2） 形成了以邏輯演義為代表的一系列數(shù)學(xué)思想。

畢達(dá)哥拉斯悖論使人們認(rèn)識到，直覺、經(jīng)驗?zāi)酥翆?shí)驗都不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，并加深了對數(shù)學(xué)抽象性、理想化等本質(zhì)特征的認(rèn)識。如柏拉圖強(qiáng)調(diào)要把數(shù)學(xué)奠基于邏輯之上。亞里士多德的經(jīng)典著作《工具論》把邏輯規(guī)律典范化、系統(tǒng)化，闡述了邏輯學(xué)理論，創(chuàng)立了古典邏輯學(xué)。

（3）催生歐幾里得《幾何原本》。

歐幾里得在前人準(zhǔn)備的“木石磚瓦”材料的基礎(chǔ)上，天才般地按照邏輯系統(tǒng)把幾何命題整理起來，建成一座幾何大廈，完成了數(shù)學(xué)史上的光輝著作《幾何原本》?！稁缀卧尽返漠a(chǎn)生離不開亞里士多德的邏輯思想，而亞里士多德的邏輯思想源自柏拉圖推理論證的思想，柏拉圖推理論證的思想則是在畢達(dá)哥拉斯悖論的驅(qū)動下產(chǎn)生的。

二、貝克萊悖論

1.貝克萊悖論

貝克萊分析了牛頓求xn的流數(shù)的方法。在這一方法中，為了求xn的流數(shù)，牛頓假設(shè)在相同的時間內(nèi)，x通過流動變化為x+0，同時xn變化為（x+0）n……，在得到增量0與增量n0xn-1+n2-n202xn-2+…之比等于1和nxn-1+n（n-1）2xn-20+…之比后，牛頓令增量等于0，得到最后的比等于1：nxn-1.

貝克萊指出這個推理中先取一個非零的增量0并用它計算，然而在最終卻又讓0“消失”，即令增量為零得出結(jié)果，這里關(guān)于0的假設(shè)前后矛盾，是“分明的詭辯”。

2. 受貝克萊悖論驅(qū)動產(chǎn)生的主要成果

（1）麥克勞林完成了《流數(shù)論》。

在貝克萊悖論的驅(qū)動下，英國數(shù)學(xué)家麥克勞林率先給出了最重要的回應(yīng)。為維護(hù)牛頓的流數(shù)術(shù)，麥克勞林完成了《流數(shù)論》。

（2） 拉格朗日的《解析函數(shù)論》。

拉格朗日試圖通過擺脫使用無窮小量、流數(shù)、零，甚至極限來解決貝克萊悖論。在這方面的研究體現(xiàn)在他的重要著作《解析函數(shù)論：包含微積分學(xué)的主要定理，不用無窮小，或正在消失的量，或極限和流數(shù)等概念，而歸結(jié)為有限量的代數(shù)分析藝術(shù)》中。

（3）柯西確立了以極限論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析體系。

他從極限定義出發(fā)，確立了以極限論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析體系，成為這項偉大工程的開拓者與集大成者。

（4）魏爾斯特拉斯以ε-δ語言系統(tǒng)建立了分析的嚴(yán)謹(jǐn)基礎(chǔ)。

對于柯西“一個變量無限趨于一個極限”的說法，魏爾斯特拉斯認(rèn)為會使人們想起時間和運(yùn)動；為消除這種描述性語言帶來的不確定性，他給出著名的“ε-N（ε-δ）”定義，使極限和連續(xù)性擺脫了對幾何和運(yùn)動的依賴，給出了只建立在數(shù)與函數(shù)概念上的清晰定義，從而使一個模糊不清的動態(tài)描述，變成一個嚴(yán)密敘述的靜態(tài)觀念，這是變量數(shù)學(xué)史上的一次重大創(chuàng)新，也是源于解決克萊悖論的成果。

三、羅素悖論

1. 羅素悖論

構(gòu)造一個集合S：S是由一切不是自身元素的集合所組成。那么S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但是，對于這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難的境地：如果S屬于S，根據(jù)S的定義（S包含所有不屬于自身的集合），S就不屬于S。反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義（S包含所有不屬于自身的集合），S就屬于S。無論如何都是矛盾的。

2. 羅素悖論驅(qū)動下的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究

（1）公理集合論。

1908年，策梅洛發(fā)表著名論文《關(guān)于集合論基礎(chǔ)的研究》，建立了第一個集合論公理體系，用集合論公理化的方法消除羅素悖論。

（2） 三大學(xué)派的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究。

以羅素為代表的邏輯主義。

以布勞威爾為代表的直覺主義。

以希爾伯特為代表的形式主義。

（3）哥德爾的發(fā)現(xiàn)。

哥德爾證明了：任何一個足以包含自然數(shù)算術(shù)的形式系統(tǒng)，如果它是相容的，則它必定存在一個不可判定的命題，即存在某一命題S，使S與S的否定在這系統(tǒng)中都不可證。這一結(jié)論被稱為哥德爾第一不完全性定理。

作為第一不完全性定理的自然延續(xù)和深化，哥德爾第二不完全性定理表明的是：如果一個足以包含自然數(shù)算術(shù)的公理系統(tǒng)是無矛盾的，那么這種無矛盾性在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。

哥德爾的第一不完全性定理提出后，人們清楚的意識到：雖然可證的是真，但真的卻并不一定可證；因此，就最本質(zhì)的意義上說，哥德爾定理所做的無非是永遠(yuǎn)擊碎了真與證明同一的信念。簡單地說，“真”大于“證明”。

不可否認(rèn)，三大悖論尤其是畢達(dá)哥拉斯悖論也曾給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來過負(fù)面影響，但這絲毫不影響其正面驅(qū)動的成就，并且之后的悖論負(fù)面影響大大減小，這是經(jīng)驗的力量。

【注：本文系甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《悖論的驅(qū)動功能與新課程理念下數(shù)學(xué)教學(xué)策略中的悖論驅(qū)動研究》的研究成果，課題立項號GS[2017]GHB3312】

（作者單位：張掖市山丹縣第一中學(xué)）