常潤澤

(欒川縣第一高級中學 河南 洛陽 471500)

張懷華

(焦作市第十一中學 河南 焦作 454000)

1 引言

近日，有網友在飛行途中無意中拍攝到了如圖1所示的飛機螺旋槳照片，畫面十分詭異，讓人費解.

眾所周知，飛機的螺旋槳應該是如圖2所示的模樣，為什么在飛行途中拍到的照片卻如此詭異呢？

圖1 飛機螺旋槳運動時的照片

圖2 飛機螺旋槳靜止時的照片

2 探究飛機螺旋槳在數(shù)碼照片中扭曲的原因

原來，常見的數(shù)碼相機使用的都是CMOS傳感器，這種傳感器采用的是電子卷簾下拉快門.電子卷簾下拉快門利用通斷電控制傳感器，使其不同部分在不同時間內對光的敏感度不同，從而實現(xiàn)逐行曝光，快門線上的像素被記錄和存儲.隨著快門線的運動，所有像素都被記錄和存儲[1].因為是逐行曝光，有先有后，當用數(shù)碼相機拍攝高速運動的物體時，照片將會發(fā)生扭曲.

那么，螺旋槳的旋轉角速度與電子卷簾快門的運動速度是如何影響拍攝效果的呢？

下面通過求解螺旋槳輪廓線與運動快門線的交點函數(shù)，繪制函數(shù)圖像，探究引發(fā)螺旋槳照片扭曲的原因.

2.1 探究螺旋槳照片扭曲的數(shù)學方程

為了便于分析，不妨用古典數(shù)學中的玫瑰曲線模擬五葉螺旋槳.若設螺旋槳在數(shù)碼相機的CMOS傳感器上所成的像的半徑為1，則以螺旋槳中心為坐標原點，其在極坐標系下的方程為

ρ=sin(5θ)

(1)

若螺旋槳的旋轉角速度為ω，則螺旋槳的輪廓線方程轉化為

ρ=sin[5(θ+ωt)]

(2)

若電子卷簾快門水平，在豎直方向上運動，速度為v，且掃描范圍在區(qū)間[-1,1]內，使掃描范圍恰好覆蓋螺旋槳成像區(qū)域，則快門線的極坐標系方程為

(3)

此時，式(2)、(3)所對應的曲線的交點，就是被CMOS傳感器記錄和儲存的像素點.由式(2)、(3)可得，螺旋槳曲線與水平快門線的交點在極坐標系下的軌跡方程為

(4)

顯然，軌跡方程式(4)的圖像，對應的就是數(shù)碼照片上螺旋槳扭曲后的像.

2.2 繪制螺旋槳照片扭曲方程的圖像

為了在科學計算軟件Mathematica中繪制式(4)的圖像，需要將式(4)由極坐標系轉化為平面直角坐標系.

已知極坐標系與直角坐標系的轉換關系為

(5)

由式(4)、(5)可知，式(4)可轉化為

(6)

為了讓式(6)的兩個分段函數(shù)在同一個區(qū)間內顯示，在科學計算軟件Mathematica中，將式(6)轉化為如下代碼

x,-1,1,y,-1,1]]

(7)

在Mathematica中執(zhí)行式(7)中的代碼，可得螺旋槳曲線與水平快門線的交點軌跡如圖3所示.

圖3 參數(shù)時的交點軌跡圖像

圖4 參數(shù)時的交點軌跡圖像

圖5 參數(shù)時的交點軌跡圖像

圖6 參數(shù)時的交點軌跡圖像

圖7 參數(shù)時的交點軌跡圖像

圖8 參數(shù)時的交點軌跡圖像

對比圖4和圖1可以發(fā)現(xiàn)，旋轉的玫瑰曲線與水平快門線交點軌跡圖像和利用數(shù)碼相機拍攝的高速旋轉的螺旋槳照片相比較，在槳葉扭曲方面有著很高的相似度.

對比圖3至圖8可以發(fā)現(xiàn)，在一個快門周期內，螺旋槳轉過的角度越大，拍攝出來的畫面就越扭曲.

3 結論

由上述研究可以發(fā)現(xiàn)，用數(shù)碼相機拍攝螺旋槳時之所以會扭曲，是由于螺旋槳快速轉動而導致的.用數(shù)碼相機拍攝照片時，照片上每一個像素所對應的時刻都不相同，數(shù)碼相機拍攝的照片本質上是由一系列不同時刻的對應像素組成的.因此，在快門時間內，被拍攝物體運動越快，位置變化越大，照片越扭曲.

在用數(shù)碼相機拍攝高速運動的物體時，縮短快門時間，照片的扭曲現(xiàn)象可以得到一定程度的緩解.

1 劉智,柴華，李娜娜,等.CMOS圖像傳感器中卷簾式快門特性及其應用.光學精密工程,2009,17(8):2 017～2 023