李科

關(guān)鍵詞：孿生素數(shù);數(shù)論;奇數(shù);合數(shù);封閉

中圖分類號：O156

文獻標識碼： A

大家對奇數(shù)、素數(shù)、合數(shù)的概念都很清楚，對孿生素數(shù)猜想的內(nèi)容也不陌生，但關(guān)于其正確性的證明卻一直困擾著歷代數(shù)學家，我也曾嘗試過對于其正確性進行論證[1]，但論文中有關(guān)無規(guī)性的描述令，很多人感覺難以理解。所以我認為有必要以一種較為常規(guī)的思路加以論述，以便于讀者進一步理解。有關(guān)奇數(shù)、素數(shù)、合數(shù)，需要注意的是素數(shù)除了2之外都是奇數(shù)，所以排除2后研究素數(shù)會方便很多;此外所有合數(shù)都有素數(shù)因子，而所有偶數(shù)都是合數(shù)，且都具有因子2，所以排除因子2的合數(shù)（偶數(shù)）對研究合數(shù)也會有奇效。這就是本文要講述的重點，一個有關(guān)“素數(shù)的整數(shù)對稱數(shù)集合（LiKe矩陣）中的行封閉性問題”[2]的運用性實例。當然，為了論證孿生素數(shù)猜想不必完全證明LiKe矩陣的行封閉性，而只需利用其一列（奇數(shù)數(shù)軸）即可。詳見下文：

一、 LiKe矩陣的概述

LiKe矩陣就是整數(shù)的素數(shù)對稱數(shù)集合。由于本文的側(cè)重點，關(guān)心其由來的可以參考文獻2。 “LiKe矩陣”的具體的形式可參見下表，LiKe矩陣首先是一個具有無窮行和列的矩陣;其次他可簡單地表述為：“第n列為從第n個奇素數(shù)Pn開始的奇數(shù)數(shù)軸，并且第n列相對于第1列下移（Pn-3）/2行，空位為0”。

對于表中的矩陣，一眼就可判斷出其每列都具有素數(shù)，及列向被素數(shù)封閉（易證，因為每列都是奇數(shù)數(shù)軸且素數(shù)有無窮多）;其實它的每行也都有素數(shù)（行封閉性）。其證明與哥德巴赫猜想證明一致，不在此贅述，本文著重講解其列（奇數(shù)數(shù)軸）與孿生素數(shù)的關(guān)系。

二、奇數(shù)軸中素數(shù)個數(shù)與合數(shù)寬度的關(guān)系

觀察表中的第一列，我們可以發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)的增大，數(shù)軸中的合數(shù)在不斷增加，其中相連合數(shù)的寬度在不斷增大（素數(shù)間隔增大），但無論如何都是以窄寬度為主。那么在奇數(shù)數(shù)軸中，合數(shù)的寬度與素數(shù)間到底存在什么關(guān)系呢？這種關(guān)系和孿生素數(shù)有什么聯(lián)系呢？因為合數(shù)由素數(shù)因子乘積構(gòu)成，我們不妨煩瑣一點，從列中素數(shù)遞增中尋找規(guī)律。

（1）假設(shè)只有1個素數(shù)3，3的奇數(shù)倍數(shù)為合數(shù)。那么數(shù)軸為：

3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27……

可以看出，數(shù)軸中每3個數(shù)中有一個3的倍數(shù)，間隔為2且有∞個，不可能出現(xiàn)兩個相連的3的倍數(shù)（在此設(shè)奇數(shù)個為單位1，3倍數(shù)后少了1/3）。

（2）假設(shè)有素數(shù)3和5，3和5的奇數(shù)倍數(shù)為合數(shù)。那么數(shù)軸為：

3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33……

可以看出，數(shù)軸中3和5的倍數(shù)可以相連（如25、27）。這樣的數(shù)有無數(shù)多個（3n、5m滿足3n-5m=±2），但不會有三個相連的倍數(shù)（因為3的倍數(shù)隔2，5的倍數(shù)隔4）。此外間隔為2的量在減少（如21和27間少了25），但由于5倍數(shù)的跨度大于3，所以間隔為2的依舊有∞個（其中少了約1/5）。

（3）當素數(shù)增至3、5、7時，3、5、7的奇數(shù)倍數(shù)為合數(shù)。那么數(shù)軸為：

3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33、35、37、39、41、43、45、47、49、51、53、55、57、59、61、63、65、67、69、71、73、75、77、79、81、83、85、87、89、91、93、95、97、99……

可以看出，數(shù)軸中出現(xiàn)了3位相連的素數(shù)倍數(shù)（91，93，95）。那么三個素數(shù)會出現(xiàn)4位連續(xù)倍數(shù)嗎？續(xù)寫奇數(shù)很顯然不明智，我們不妨用素數(shù)本身表示其倍數(shù)類型，如91，93，95屬于735型。那么3位相連倍數(shù)的類型共有357，375，537，573，735，753六種，其中3在中間的由于最小的3的倍數(shù)連續(xù)間隔至少為2所以無法連續(xù)至四位，而357=573、375=753可能連續(xù)至四位的類型分別是3573和3753型兩種。我們選擇其中一種類型證明即可，如357型：

設(shè)3，5，7的倍數(shù)為3m，5n和7x

必滿足：5n-3m=2;7x-5n=2

解得：n=1-3i;m=1-5i;x=1-（5*3*i ）/7

如i為7的負整數(shù)倍時有無數(shù)解。

其四位連續(xù)性為3573，需滿足：3m'-7x=2;7x-5n=2

解得：m'=3-5i;x=1-（5*3*i）/7

證畢。顯然會有四位連續(xù)倍數(shù)且有無窮多個。為了加以驗證，設(shè)i為-14，可得3m=213;5n =215;7x=217; 3m'=219。完全正確！在此過程中間隔為2的量進一步減少，但由于5與7的倍數(shù)跨度大于3，所以間隔為2的依然有∞個（其中少了約1/7）。

（4）當素數(shù)增至∞個。

歸納前面的證明，很容易發(fā)現(xiàn)素數(shù)的距離是越來越大的，而原來越大的距離自然而然地就使得其倍數(shù)遠大于3。所以素數(shù)的個數(shù)增加是永遠無法使間隔為2的量消失的（便于理解可參見下圖），而當素數(shù)趨于無窮多時這個間隔2就是孿生素數(shù)。在素數(shù)無窮的情況下，孿生素數(shù)有無窮多個！ 至此可發(fā)現(xiàn)，素數(shù)pn+1始終大于pn，所以波利尼亞克猜想也自然成立。

雖然孿生素數(shù)無窮多，但可以稍加粗略地計算出其在奇數(shù)中的占比約為：

1-1/3-1/5-1/7-1/11-1/13-…-1/P+1/15+1/21+…+1/pq+1/105+…1/pqr+…1/∏P

=1.5-∑1/P+∑1/pq+∑1/pqr+…+∑1/∏P-∑1/2p-∑1/2pq-…-∑1/∏2P

關(guān)于該新穎級數(shù)的求和不在此演示，有興趣的可試試。不過它是發(fā)散的（級數(shù)本身也說明了孿生素數(shù)的無窮多），但可求出一定范圍內(nèi)的具體比例的上限值。

三、總結(jié)

本文開篇通俗易懂地介紹并引入了“LiKe矩陣”。在此基礎(chǔ)上，利用LiKe矩陣中的一條奇數(shù)數(shù)列，通過逐步增加素數(shù)的方法討論了奇數(shù)數(shù)軸上合數(shù)寬度與素數(shù)數(shù)量的關(guān)系，進而論證了孿生素數(shù)猜想。并計算出了無窮數(shù)量的孿生素數(shù)在奇數(shù)數(shù)軸中的占比公式，即1.5-∑1/P+∑1/pq+∑1/pqr+…+∑1/∏P-∑1/2p-∑1/2pq-…-∑1/∏2P。

參考文獻：

[1]李 ?科. 孿生素數(shù)及素數(shù)分布的思考[J]. 讀寫算（教師版），2017（7）：1-3.

[2] 李 ?科. 對稱群及幫派論[J]. 求知導刊，2017（33）：18-21.