蔣李鳴 呂佳宇 何哲華 馮澤斌

摘 要：約束滿足問題是人工智能領(lǐng)域中一個(gè)重要的研究方向，其研究結(jié)果在符號(hào)推理、系統(tǒng)診斷、真值維護(hù)系統(tǒng)、資源分配和產(chǎn)品配置等問題中有廣泛的應(yīng)用。局部相容性定義了約束滿足問題在約束傳播過程中必須滿足的性質(zhì)，是約束傳播發(fā)展的主要方向。而對(duì)于較為復(fù)雜的相容性問題中的AC系列算法的改進(jìn)可謂難上之難。本文圍繞著以弧相容、Singleton弧相容為代表的相容性技術(shù)和求解算法展開，主要針對(duì)AC-2001算法、SAC算法等進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，重點(diǎn)基于啟發(fā)式進(jìn)行改進(jìn)，使之獲得了更快的篩選速度。尤其對(duì)于SAC算法，大大減少了約束檢查次數(shù)，獲得了較為成功的基于啟發(fā)式的改進(jìn)結(jié)果。

關(guān)鍵詞：人工智能；約束滿足問題；啟發(fā)式；AC系列算法；約束檢查次數(shù)

中圖分類號(hào)：TP3-0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：In the field of artificial intelligence，the Constraint Satisfaction Problem （CSP） is an important research direction，whose study results are widely used in Symbolic Reasoning，System Diagnosis，Truth Maintenance System，Resource Allocation，and Product Configuration and so on.Local consistency，which defines the properties that CSP must satisfy in the process of constraint propagation，is the main development direction of constraint propagation.It is much more difficult to improve the performance of the complex series of AC algorithms about consistency problems.Based on the algorithms and consistency technology represented by arc consistency and singleton arc consistency，the paper focuses on the improvement of AC-2001 algorithm and SAC algorithm.The improvement is based on the heuristic algorithm to achieve higher filtering speed.Especially，the improvement of SAC algorithm is quite successful because of its obvious reduction of constraint checking times.

Keywords：artificial intelligence；Constraints Satisfaction Problem；heuristic；AC algorithms；constraint checking times

1 引言（Introduction）

約束滿足問題（Constraints Satisfaction Problem）[1]是人工智能領(lǐng)域中一個(gè)重要的研究方向，目前已廣泛地應(yīng)用于人工智能的各個(gè)領(lǐng)域，包括定性推理、基于模型的診斷、自然語(yǔ)言理解、景物分析、任務(wù)調(diào)度等方面。局部相容性[2]定義了約束滿足問題在約束傳播過程中必須滿足的性質(zhì)，是約束傳播發(fā)展的主要方向。一方面，運(yùn)用相容性技術(shù)對(duì)約束問題[3]進(jìn)行預(yù)處理，刪除大量局部不相容的值，可以極大地壓縮問題的解空間[4]；另一方面，在搜索過程中保持局部相容性，可以有效地修剪搜索樹[5]，以一定的時(shí)空代價(jià)換取合理的問題規(guī)模的壓縮。

本文圍繞以弧相容、Singleton弧相容[6]為代表的相容性技術(shù)和求解算法展開，研究各個(gè)相容性算法?；∠嗳菟惴ň哂邢鄬?duì)較少的檢查次數(shù)，但其運(yùn)行時(shí)間還可以進(jìn)一步降低。而Singleton弧相容的SAC[1]算法，運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)，并且檢查次數(shù)較多，尤其在檢查次數(shù)方面有很大的改進(jìn)空間。

本文主要針對(duì)AC-2001[7]算法、SAC算法等進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，重點(diǎn)基于啟發(fā)式進(jìn)行改進(jìn)，使之獲得更快的篩選速度。尤其對(duì)于SAC算法，我們?cè)诹D優(yōu)化其運(yùn)行時(shí)間的同時(shí)，大大減少其約束檢查次數(shù)，獲得較好的改進(jìn)效果。

2 相關(guān)背景及工作（Backgrounds and tasks）

一個(gè)約束滿足問題（CSP）涉及對(duì)一個(gè)約束網(wǎng)絡(luò)[8]（Constraint Network，縮寫為CN）進(jìn)行求解，即滿足CN中所有約束的那些參數(shù)論域賦值指派。約束確定了給定參數(shù)集的子集中被允許的賦值組合。

定義2.1（約束）[9]一個(gè)約束c是定義在稱為參數(shù)域的參數(shù)序列X（c）=（xi1，xi2，…，xi|X（c）|）上的關(guān)系，c是滿足其參數(shù)值元組?|X（c）|的?|X（c）|的子集。|X（c）|稱為c的元數(shù)，而?|X（c）|是?的|X（c）|次笛卡兒積。

定義2.2（解）[10]一個(gè)CSP的任務(wù)是為一個(gè)約束網(wǎng)絡(luò)找到一個(gè)或多個(gè)解。一個(gè)解是使得CN中所有約束都得到滿足的一組變量序列的賦值。一個(gè)解保證了對(duì)所有的約束都存在一個(gè)支持。

定義2.3（廣義弧相容，（G）AC[11]給定一個(gè)約束網(wǎng)絡(luò)N=（X，D，C），一個(gè)約束cC和一個(gè)參數(shù)xiX（c）。

（1）一個(gè)值viD（xi）是與D中c相容的iff存在一個(gè)值元組（vi=[{xi}]）滿足c。值元組稱為對(duì)c上（xi，vi）的一個(gè)支持。

（2）定義域D是c上xi（廣義）弧相容的iff D（xi）中所有的值與D中c是相容的（也就是，D（xi）{xi}（c∩X（c）（D）））。

（3）網(wǎng)絡(luò)N是（廣義）弧相容的iff D對(duì)C中所有約束上的X中的所有參數(shù)是（廣義）弧相容的。

定義2.4（Singleton弧相容，SAC）[1]標(biāo)準(zhǔn)約束網(wǎng)絡(luò)[6]N=（X，D，C）是singleton弧相容的（SAC）iff對(duì)所有的xiX，對(duì)所有的viD（xi），子問題N|xi=vi是弧相容的。如果子問題N|xi=vi是弧不相容的，則說（xi，vi）不是SAC的。

在此給出一些符號(hào)的定義：AC（P）表示問題P中所有弧不相容的值已被刪除，即對(duì)P執(zhí)行了弧相容后的問題；AC（P） =⊥表示P是弧不相容的； SAC（P）表示問題P中所有不是SAC的值已被刪除，即P是SAC的。

3 幾種AC系列經(jīng)典算法的改進(jìn)（Improvement of AC Algorithms）

本文主要針對(duì)AC-2001算法、SAC算法等進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，重點(diǎn)基于啟發(fā)式進(jìn)行改進(jìn)，使之獲得了更快的篩選速度。相關(guān)算法在Microsoft Visual C++ 6.0平臺(tái)下給出其具體實(shí)現(xiàn)，并制作清晰、合理、友好的界面，顯示測(cè)試結(jié)果，方便進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。保留實(shí)現(xiàn)原代碼，并提出啟發(fā)式改進(jìn)和其他相關(guān)算法的改進(jìn)技巧，優(yōu)化原代碼。生成大量的隨機(jī)測(cè)試用例及標(biāo)準(zhǔn)的Benchmark測(cè)試用例對(duì)其進(jìn)行性能測(cè)試。最后通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)并畫出相應(yīng)柱狀圖對(duì)相關(guān)算法改進(jìn)前后的性能進(jìn)行對(duì)比，以評(píng)估算法改進(jìn)的價(jià)值和成功與失敗的方面。

3.1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)隊(duì)列優(yōu)化原理

據(jù)我們觀察，原程序中幾乎所有的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)都是用鏈表list實(shí)現(xiàn)的。然而，在代碼實(shí)現(xiàn)中，大多只用到了對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)最前部和最尾部的操作。于是，我們比較了queue和list的性能和實(shí)現(xiàn)。代碼調(diào)試過程中，debug退出后，輸出面板會(huì)輸出大量?jī)?nèi)存泄漏的信息。經(jīng)過排查，我們發(fā)現(xiàn)原因是使用了std：：list！進(jìn)而，如果把list換成vector或者queue，所有內(nèi)存泄漏的問題都消失了。list的push_back的實(shí)現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致內(nèi)部使用大量動(dòng)態(tài)內(nèi)存分配，而vector也會(huì)在動(dòng)態(tài)增長(zhǎng)連續(xù)內(nèi)存長(zhǎng)度的同時(shí)進(jìn)行內(nèi)存復(fù)制。

然后我們對(duì)頻繁進(jìn)行的插入操作進(jìn)行測(cè)試，發(fā)現(xiàn)queue的性能明顯優(yōu)于list（無(wú)論是運(yùn)行流暢度還是運(yùn)行效率），可見queue是更好的選擇。我們又針對(duì)STL中的queue，list，vector頻繁訪問，即插入（尾部）與取出（頭部）操作時(shí)的效率進(jìn)行了對(duì)比。從時(shí)間消耗上來看，queue最少，list與vector消耗相對(duì)較大，二者之間差別不大。

查找了相關(guān)資料后，了解到queue的底層是對(duì)dequeue的適配，那么也就是分段內(nèi)存實(shí)現(xiàn)存儲(chǔ)，這樣就不會(huì)像vector那樣需要重新分配內(nèi)存以及復(fù)制元素的操作了。但是list是雙向鏈表，按說實(shí)現(xiàn)首尾的插入與刪除應(yīng)該也會(huì)很快，為何也相對(duì)queue而言很慢呢？

事實(shí)上，list的push_back的實(shí)現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致內(nèi)部使用大量動(dòng)態(tài)內(nèi)存分配，這個(gè)過程也相對(duì)耗時(shí)，所以導(dǎo)致了相對(duì)queue的較慢的結(jié)果。

這個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化可以運(yùn)用于所有AC系列算法中。

3.2 針對(duì)AC_2001：：revise2001算法的啟發(fā)式算法改進(jìn)

2001年，Bessiere和Regin提出了對(duì)AC-3的改進(jìn)算法AC-2001。AC-2001遵循AC-3同樣的框架，但是像AC-6[1]一樣，通過對(duì)約束上每個(gè)值存儲(chǔ)一個(gè)最小支持[12]實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)性。然而，信息存儲(chǔ)和使用方式不同于AC-6，AC-2001不使用列表S[xj，vj]來存儲(chǔ)以vj作為cij上最小支持的那些（xi，vi），而是使用包含vj的指針Last[xi，vi，xj]。

AC-2001僅在 Revise函數(shù)和初始化階段不同于AC-3算法。初始化階段，AC-2001將Last[xi，vi，xj]初始化為某個(gè)比minD（xj）更小的虛擬值。在Revise2001中（算法3.4），當(dāng)D（xj）中一個(gè)值vj發(fā)現(xiàn)支持cij上的（xi，vi）時(shí)，AC-2001把vj指派給Last[xi，vi，xj]（第4行）。下次（xi，cij）將被修改，僅當(dāng)Last[xi，vi，xj]不在D（xj）中時(shí)為（xi，vi）尋找支持（第2行）。更重要的是，最優(yōu)性達(dá)到了因?yàn)镈（xj）中小于Last[xi，vi，xj]的值不再檢查，它們以前已經(jīng)在被調(diào)用Revise2001時(shí)被檢查失敗了（第3行）。

算法AC2001：function Revise for AC2001

function Revise2001（in xi：variable； cij：constraint）：Boolean；

begin

1 CHANGEfalse；

2 foreach vi D（xi） s.t.Last[xi，vi，xj] D（xj） do

3 vj smallest value in D（xj）greater than Last[xi，vi，xj] s.t.（xi，vi） cij；

4 if vj exists then Last[xi，vi，xj]vj；

5 else

6 remove vi from D（xi）；

7 CHANGEtrue；

8 return CHANGE；

end

事實(shí)上，我們可以采用“每次記錄上次處理到的值，下次從該值開始遍歷”的思想，通過Last數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)記錄下標(biāo)，下次遍歷不再檢查無(wú)用信息，而是“智能”地選擇合適的位置開始搜索，是一種啟發(fā)式算法的思想。

3.3 檢查次數(shù)優(yōu)化原理

經(jīng)過進(jìn)一步分析，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于那些不滿足某一xi的值vi，甚至不需要再第二重循環(huán)內(nèi)部對(duì)其進(jìn)行檢查，我們可以在第一重循環(huán)之前對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理，將其存于新開的一個(gè)數(shù)組中（vector也可，新數(shù)組在效率上更佳）。這樣，在值分布密度并不那么大的時(shí)候，可以極其明顯地減少約束檢查次數(shù)，大幅降低時(shí)間復(fù)雜度。但此時(shí)必須注意Last數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中記錄的內(nèi)容發(fā)生了改變，并不記錄上一次檢查到的值本身，而是記錄其對(duì)應(yīng)在新的數(shù)組中的位置，否則算法運(yùn)行會(huì)出錯(cuò)。這個(gè)思想在第二重循環(huán)減少檢查次數(shù)，使得該啟發(fā)式算法更加“智能”地提高了運(yùn)行效率。這個(gè)思想可以同時(shí)運(yùn)用于AC-2001算法、SAC算法中。

3.4 二分啟發(fā)式優(yōu)化原理

另外，我們甚至還可以更進(jìn)一步改進(jìn)。在某些特定情況下，如約束滿足偏序關(guān)系，如簡(jiǎn)單大于、小于關(guān)系時(shí)（事實(shí)上有時(shí)確實(shí)常遇到這種情況），約束便滿足了二分的性質(zhì)，即“第一個(gè)滿足約束的位置”前必然不會(huì)存在其他滿足約束的位置，并且在之前的值未滿足某一約束時(shí)，往后遍歷的值必然不會(huì)滿足之前較小的約束。于是這種情況下，我們?cè)诓檎摇跋乱粋€(gè)的第一個(gè)滿足約束的位置”的時(shí)候，可以采用二分查找的思想，這樣相對(duì)于普通遍歷地檢查可以大大減少檢查次數(shù)，可以將時(shí)間復(fù)雜度從O（d2）降低至O（d*log（d））！

運(yùn)用二分的思想時(shí)，在數(shù)據(jù)規(guī)模較大、約束分布相對(duì)稀疏時(shí)，尤其奏效，可以大大減少檢查次數(shù)，降低時(shí)間復(fù)雜度。另外，由于SAC算法用到了不少AC-2001算法的方法，事實(shí)上對(duì)AC-2001算法的優(yōu)化也是對(duì)SAC算法的優(yōu)化，而SAC算法中可以進(jìn)一步加入數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)隊(duì)列優(yōu)化和檢查次數(shù)優(yōu)化，進(jìn)一步降低時(shí)間復(fù)雜度。而原本較慢的SAC算法，更加能體現(xiàn)出我們改進(jìn)算法的成效，見后實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析算法改進(jìn)前后的對(duì)比。

3.5 時(shí)空復(fù)雜性分析

我們針對(duì)AC-2001算法、SAC算法進(jìn)行改進(jìn)，綜合運(yùn)用上述四種改進(jìn)方法。

對(duì)于這兩種算法來說，空間復(fù)雜度并不會(huì)發(fā)生改變，都以O(shè)（ed）的空間復(fù)雜度在二元標(biāo)準(zhǔn)約束網(wǎng)絡(luò)上實(shí)現(xiàn)弧相容性。

運(yùn)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)隊(duì)列優(yōu)化原理，可以減少大量動(dòng)態(tài)分配內(nèi)存的時(shí)間。尤其在插入刪除操作比較頻繁時(shí)，可以大大地降低時(shí)間復(fù)雜度。而檢查次數(shù)優(yōu)化原理，可以減少不必要的約束檢查次數(shù)，僅針對(duì)滿足某變量論域的值進(jìn)行檢查而不考慮無(wú)關(guān)的值，尤其對(duì)于變量論域中值的分布較為稀疏時(shí)尤其適用，可以超越常數(shù)優(yōu)化地降低時(shí)間復(fù)雜度。接著，加入啟發(fā)式算法改進(jìn)后，至此總的時(shí)間復(fù)雜度為O（ed2），以此來實(shí)現(xiàn)二元標(biāo)準(zhǔn)約束網(wǎng)絡(luò)上的弧相容性。而對(duì)于大多數(shù)實(shí)際情況，約束一般滿足一定的偏序關(guān)系，此時(shí)我們可以再在這兩個(gè)算法中加入二分啟發(fā)式優(yōu)化[13]，對(duì)于變量論域中的值的約束檢查不再采用單純的遍歷，而用二分的方式去進(jìn)行檢查，可以使這一部分的時(shí)間復(fù)雜度從O（d2）降低至O（d*log（d））。此時(shí)，總的時(shí)間復(fù)雜度從O（ed2）降為O（ed*log（d）），實(shí)現(xiàn)了算法改進(jìn)上的突破。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析（Experiment and Result Analysis）

4.1 實(shí)驗(yàn)測(cè)試說明

我們使用了兩類測(cè)試用例，分別是隨機(jī)生成的二元約束滿足問題和可供用戶選擇的Benchmark測(cè)試用例組。

對(duì)于隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)的輸入：， 其中N表示變量的個(gè)數(shù)， D表示所有變量論域中的最大值，C表示約束個(gè)數(shù)，T表示每個(gè)約束中不相容的值對(duì)，p1表示約束的密度（Destiny）（p1=2C/N（N-1）），p2表示每個(gè)約束的松緊度（Tightness）（p2=1-T/DD）。選用以下4個(gè)隨機(jī)問題作為預(yù)處理過程中弧相容算法的例子。

P1：〈150， 50， 500 /0.045， 1250 /0.5〉 P2：〈150， 50， 500 /0.045， 2350 /0.06〉

P3：〈150， 50， 500 /0.045， 2296 /0.082〉 P4： 〈50， 50， 1225 /1.0， 2188 /0.125〉

另外，合法的輸入條件為：N！=0， D！=0， 0

4.2 AC-2001算法改進(jìn)前后測(cè)試對(duì)比

AC-2001算法運(yùn)行時(shí)間、檢查次數(shù)改進(jìn)前后對(duì)比如圖1和圖2所示。

結(jié)果分析：AC-2001算法的改進(jìn)，針對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化、啟發(fā)式算法優(yōu)化、二分優(yōu)化、檢查次數(shù)優(yōu)化，運(yùn)行時(shí)間明顯減少，檢查次數(shù)只有少量減少。但由于該算法本身優(yōu)化水平已相當(dāng)顯著，此結(jié)果在預(yù)期范圍之內(nèi)。更為顯著的優(yōu)化結(jié)果，可參照后SAC算法的測(cè)試對(duì)比。

4.3 SAC算法改進(jìn)前后測(cè)試對(duì)比

由于SAC算法在某種程度上依賴于AC-2001算法的實(shí)現(xiàn)（可參考基礎(chǔ)知識(shí)和其他相關(guān)資料介紹），故對(duì)AC-2001算法的改進(jìn)在SAC算法中體現(xiàn)得更為明顯?？梢哉f對(duì)SAC算法的改進(jìn)與優(yōu)化是最為成功的。

SAC算法運(yùn)行時(shí)間、檢查次數(shù)改進(jìn)前后對(duì)比如圖3和圖4所示。

結(jié)果分析：可見，本系統(tǒng)最為成功之處便在于對(duì)SAC算法的優(yōu)化。實(shí)際上是對(duì)AC-2001算法的優(yōu)化影響到了SAC算法。由于SAC算法對(duì)AC-2001算法的部分依賴性，導(dǎo)致對(duì)AC-2001算法的優(yōu)化性能在此處得到放大。通過AC-2001算法的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)隊(duì)列優(yōu)化、啟發(fā)式算法優(yōu)化、二分優(yōu)化、檢查次數(shù)優(yōu)化，以及對(duì)SAC算法自身的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使SAC算法本身的運(yùn)行時(shí)間大大減少。而圖表顯示的結(jié)果反映了SAC算法不同于其他算法的一個(gè)更為明顯的優(yōu)化之處：修改后SAC算法的檢查次數(shù)大致為修改前的1/10—1/3，最低甚至僅為修改前的1/20不到，平均情況下大約為修改前1/5！這是對(duì)當(dāng)前已經(jīng)較為完善的約束滿足問題的AC系列算法改進(jìn)的十分令人滿意的結(jié)果！

5 結(jié)論（Conclusion）

本文圍繞著以約束滿足問題中弧相容、Singleton弧相容為代表的相容性技術(shù)和求解算法展開，研究各個(gè)相容性算法，并主要針對(duì)AC-2001算法、SAC算法等進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，重點(diǎn)基于啟發(fā)式進(jìn)行改進(jìn)，使之獲得了更快的篩選速度，運(yùn)行時(shí)間大幅減少。尤其對(duì)SAC算法大大減少了約束檢查次數(shù)，修改后SAC算法的檢查次數(shù)大致為修改前的1/10—1/3，最低甚至僅為修改前的1/20不到，平均情況下大約為修改前1/5。另外，AC系列算法的效率都得到了大大的提高，獲得了較為成功的基于啟發(fā)式的改進(jìn)結(jié)果。

多年來，眾多專家和學(xué)者一直致力于提高相容性技術(shù)對(duì)于約束滿足問題的求解效率，他們研究的重心大多是不斷地提出局部相容性逐漸增強(qiáng)的技術(shù)。未來，隨著計(jì)算機(jī)硬件的快速發(fā)展，多核并行是個(gè)相當(dāng)可觀的發(fā)展趨勢(shì)，實(shí)現(xiàn)各種已有的相容性算法的并行算法對(duì)求解約束滿足問題有很好的效率，這是個(gè)值得研究的新思路。

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作者簡(jiǎn)介：

蔣李鳴（1997-），男，本科生.研究領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)算法理論.

呂佳宇（1996-），男，本科生.研究領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)算法理論.

何哲華（1998-），女，本科生.研究領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)算法理論.

馮澤斌（1996-），男，本科生.研究領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)算法理論.