吳鳳霞

（蘇州市高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 蘇州 215111）

伴隨工程技術(shù)的不斷進(jìn)步，當(dāng)前在數(shù)控車床領(lǐng)域使用宏程序進(jìn)行加工處理，并保持其位置始終不傾斜的曲線旋轉(zhuǎn)面技術(shù)日漸成熟，并被應(yīng)用到各類數(shù)控車床生產(chǎn)加工工作中。旋轉(zhuǎn)面技術(shù)所涵蓋的公式曲線有橢圓、拋物線等類別，但此類曲線存在一定的實(shí)踐運(yùn)用問題：當(dāng)其曲線經(jīng)過一定時(shí)間或角度的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后，相應(yīng)的曲線公式就會(huì)變得傾斜，如圖1所示橢圓曲線經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)后逐漸變?yōu)樾睓E圓曲線，如何有效解決這一傾斜問題，就需要相應(yīng)的技術(shù)人員探討其斜橢圓加工的規(guī)律，以此找出相應(yīng)的解決、加工措施。

圖1 橢圓曲線旋轉(zhuǎn)、傾斜為斜橢圓曲線的坐標(biāo)系變化圖

1 橢圓曲線變?yōu)樾睓E圓曲線的過程探究

首先將橢圓曲線經(jīng)過坐標(biāo)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)以及相應(yīng)的平移運(yùn)動(dòng)，就能得到其傾斜后的斜橢圓曲線，以此方便對(duì)其變換過程做具體、細(xì)致的分析研究。

（1）公式曲線在坐標(biāo)位置上的改變。公式曲線的坐標(biāo)體系中任意一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，均可經(jīng)由一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸和一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度來確定。為了便于后續(xù)的運(yùn)算檢驗(yàn)工作，首先將橢圓曲線一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軸作為其坐標(biāo)體系中的坐標(biāo)軸，如圖2所示點(diǎn)（x，y）就是環(huán)繞著Z軸，在旋轉(zhuǎn)θ度角后停留于P′（x′，y′）位置。

圖2 某一點(diǎn)在曲線坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)圖

因此該點(diǎn)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變化的公式可總結(jié)為：

其中把公式（3）變?yōu)闉榫仃嚪绞郊礊椋?/p>

此時(shí)矩陣R（z，θ）就是環(huán)繞著Z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化的矩陣方程，以此方法再得出 R（x，θ）與 R（y，θ）兩個(gè)矩陣，進(jìn)而構(gòu)建其三維空間下的旋轉(zhuǎn)變化坐標(biāo)矩陣體系，其中共含有九個(gè)元素，分別為：

（2）斜橢圓曲線方程的研究確立。依據(jù)圖1所示，可以發(fā)現(xiàn)圖中的橢圓1的表達(dá)方程式，可以表述為以下兩種形式：

或是X=Acosw

之后依照?qǐng)D1表示，在橢圓1沿著Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角度后就可得到橢圓2，依據(jù)公式（9）將其橢圓方程式做相應(yīng)的變化可得到：

進(jìn)而得出橢圓2在原本坐標(biāo)系位置中的方程式：

之后再將橢圓2進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)最終得到橢圓3，即斜橢圓的曲線方程式：

2 斜橢圓曲線中各變量之間的聯(lián)系探究

斜橢圓曲線中轉(zhuǎn)角變量w與圓心角λ是探究其形成規(guī)律的重要參數(shù)，依照公式（9）可以發(fā)現(xiàn)如果能掌握A、B的具體數(shù)值，通過相應(yīng)轉(zhuǎn)角變量w的變換（在0°～360°之間變動(dòng)），就能依照?qǐng)D形繪畫的方法，將相應(yīng)橢圓圖描繪出來，依據(jù)圖3所顯示的內(nèi)容，圖中外部大圓的半徑即為A，而內(nèi)部小圓的半徑是B，橢圓中任意一個(gè)點(diǎn)與圓心之間的連線，和水平坐標(biāo)右軸線之間的夾角即為圓心角λ。

從關(guān)系中可以研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)角變量w與圓心角λ之間存在聯(lián)系與規(guī)律為：

而在數(shù)控機(jī)床的實(shí)際零件加工作業(yè)中，依據(jù)其圖樣可較為便利地求得其橢圓圓心角λ，相應(yīng)就能依照?qǐng)A心角數(shù)值與公式（13）求得該橢圓的轉(zhuǎn)角變量w。

3 斜橢圓數(shù)控加工宏程序的設(shè)計(jì)、規(guī)劃思路

前文所探討的公式（12）是橢圓在坐標(biāo)體系中的通常方程式，相應(yīng)式子中其余參數(shù)均為固定常數(shù)，僅有轉(zhuǎn)角變量w是不確定的，當(dāng)實(shí)際加工僅處理橢圓的局部輪廓時(shí)，就只需相應(yīng)測(cè)算橢圓在起始位置的轉(zhuǎn)角變量w1，以及相應(yīng)的終點(diǎn)位置的轉(zhuǎn)角變量w2，通過運(yùn)算出轉(zhuǎn)角變量在w1到w2之間的角度差，進(jìn)而依照公式（12）求出需要進(jìn)行加工的橢圓輪廓的點(diǎn)的坐標(biāo)位置。

斜橢圓數(shù)控加工的具體宏程序規(guī)劃流程和步驟中δ指的是轉(zhuǎn)角的增量角，其數(shù)值愈大，則逼近橢圓輪廓的效果愈差，并且方程式所用的坐標(biāo)軸為XZ坐標(biāo)體系，其與公式（12）中的XY坐標(biāo)體系存在偏差，因此具體的斜橢圓數(shù)控加工處理規(guī)律的運(yùn)用方法，將在后文的加工示例中做證明。

4 斜橢圓數(shù)控加工規(guī)律運(yùn)用示例及其研究

數(shù)控車床加工的零件如圖3所示，其為直徑50mm，長度80mm的鋁合金零件。

（1）坐標(biāo)系之間的整合應(yīng)用。通過觀察圖1與圖3之間的橢圓坐標(biāo)體系圖，可以了解到圖3中橢圓坐標(biāo)所用的X軸即為圖1中橢圓坐標(biāo)所用的Y軸，而圖3中坐標(biāo)系中的Z軸即為圖1坐標(biāo)體系中的X軸，由此就可以通過各個(gè)坐標(biāo)軸之間的對(duì)等銜接，將斜橢圓的曲線方程式從公式（12）變換為零件加工所需的公式（14）：

圖3 加工零件的實(shí)物圖與坐標(biāo)變換圖

（2）具體斜橢圓方程式的求解運(yùn)算。通過對(duì)圖3的坐標(biāo)圖研究可以知道 A=25，B=15，θ 為 75°，而 I=-10，K=35，而圓心角λ1為192.5°，λ2則為140.3°。

將其參數(shù)套入公式（13）中，就可求得橢圓的起始位置轉(zhuǎn)角變量w1為200.2°，而終點(diǎn)位置轉(zhuǎn)角變量w2為125.8°，由此斜橢圓曲線的具體方程式就可列為：

之后經(jīng)由對(duì)轉(zhuǎn)角變量w從w1變換到w2，以此得出相應(yīng)轉(zhuǎn)角增量角，使之逼近橢圓輪廓曲線，再依照公式（15）進(jìn)行相應(yīng)斜橢圓曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的具體求解運(yùn)算。

5 結(jié)語

通過上述斜橢圓變換、求解規(guī)律的研究掌握，相應(yīng)斜橢圓的數(shù)控加工工作就能迎刃而解，因此值得技術(shù)人員對(duì)其曲線方程規(guī)律做進(jìn)一步的理解與運(yùn)用，以優(yōu)化數(shù)控機(jī)床的加工處理效率。

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