馮芳偉

在數(shù)學(xué)問題的求解過程中，若能開拓逆向思維的天地，反彈琵琶，不僅能使學(xué)困生學(xué)到更多的解題方法，而且常常會有新穎獨到的發(fā)現(xiàn)。所以在數(shù)學(xué)解題中加強對學(xué)困生逆向思維的培養(yǎng)，能使他們逐步養(yǎng)成追求新知、探索問題的習(xí)慣，從而產(chǎn)生新穎的、前所未有的思維成果。數(shù)學(xué)解題逆向思維形式、方法很多，針對學(xué)困生，本文結(jié)合實例介紹幾種方法，以達到拋磚引玉之功效。

一、逆向運用數(shù)學(xué)定義、定理、公式

由于學(xué)困生習(xí)慣于用正向思維去思考問題，一碰到需要逆用定義、定理、公式才能解決的題目往往會束手無策，因此我們要在解題中利用定義、定理、公式的逆用有意識地培養(yǎng)學(xué)困生的逆向思維能力。如逆向運用兩角和（或差）正弦、余弦、正切公式解題等。

評注：從例1的解答看到，在解題中加強逆向運用數(shù)學(xué)公式的解題訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)困生的逆向思維能力。通過對公式的正用和逆用，使學(xué)困生在解題時靈活應(yīng)變，一些公式正向運用不能解決的問題，就考慮逆用，這樣問題可以得到快速解決，而且很可能有絕妙的方法。

二、利用命題的逆否命題

由于原命題與其逆否命題的真假性相同，所以原命題與其逆否命題是等價命題。因此，當(dāng)直接證明原命題困難時，可以轉(zhuǎn)化為證明與其等價的逆否命題，這種證法是間接證明命題的方法，也是逆向思維的一種重要形式。

例2 已知：p2+q2=2，求證：p+q≤2.

分析：因直接證明這個命題比較困難，可考慮轉(zhuǎn)化為對它的逆否命題的證明。

將“若p2+q2=2，則p+q≤2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p+q>2，則p2+q2≠2”為真命題，從而達到證明原命題為真命題的目的。

證明：若p+q>2，則

所以p2+q2≠2.

這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。

評注：本題利用原命題與它的逆否命題的同真同假性，出奇制勝、輕而易舉地將問題得到解決。常規(guī)思維難以解決的問題，通過逆向思維卻可能輕松破解。

三、正難則反——利用補集思想

當(dāng)題目正面思考求解較繁雜，甚至不能求解時，考慮通過先求得問題的反面情況，進而求其補集，以達到解決問題之目的。

例3 已知命題p：“至少存在一個實數(shù)x0∈[1，2]，使不等式x2+2ax+2-a>0成立”為真，試求參數(shù)a的取值范圍。

解：命題？劭p∶？坌x∈[1，2]，x2+2ax+2-a≤0，是假命題，

令f（x）=x2+2ax+2-a，

則f（1）≤0，f（2）≤0，即1+2a+2-≤0，4+4a+2-a≤0.

解得a≤-3.

故命題p中，a>-3.

即參數(shù)a的取值范圍為（-3，+∞）.

四、變換主元

這一思想方法運用的核心是確定“主元”、選擇“主元”，在多變量問題的解題中一旦選對了“主元”，等價于戰(zhàn)斗中選擇準(zhǔn)了主攻方向。

例4 設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對滿足|m|≤2的一切m都成立，求x的取值范圍.

分析1：可以將原不等式化為（x2-1）m<2x-1①，采用分離變量法，視x為主元，通過討論x2-1的符號來求解.

分析2：視m為主元，將原不等式看成關(guān)于m的不等式，進而將不等式的左邊看成關(guān)于m的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解題.

綜上所述，在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)問題的特點，在應(yīng)用常規(guī)數(shù)學(xué)思維的同時，注意逆向思維的應(yīng)用，往往能使很多問題運算簡化，并且能夠?qū)?shù)學(xué)定義、公式、定理、運算之間的關(guān)系理解得更清楚，可以形成反思和換位思考的思維素質(zhì)，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維靈活性，提高數(shù)學(xué)能力有重要的意義。

（作者單位：河南省滑縣職業(yè)教育中心）