蔣俊正， 曹　想， 歐陽繕

(桂林電子科技大學(xué) 信息與通信學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

圖作為一種有效的建模工具，可用于刻畫非規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的數(shù)據(jù)，例如社交網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)科學(xué)網(wǎng)絡(luò)和分子生物學(xué)網(wǎng)絡(luò)[1-4]等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)．基于圖頻譜理論構(gòu)建的圖信號(hào)處理，可用于分析和處理非規(guī)則定義的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)信號(hào)，從而克服傳統(tǒng)信號(hào)處理方法不適用于非規(guī)則信號(hào)的缺點(diǎn)．在圖信號(hào)處理的理論框架中，圖傅里葉變換是全局變換，不適用于處理大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)．為了克服這方面的不足，有許多文獻(xiàn)提出了適用于圖信號(hào)處理的小波變換[5-7].例如，適用于交通網(wǎng)絡(luò)圖的類小波變換[5]，基于圖頻譜理論構(gòu)造的任意的有限加權(quán)圖小波變換[6]，以“擴(kuò)散小波”為特征空間的基函數(shù)[7]．然而，這些小波變換不是臨界采樣的，不適用于許多信號(hào)處理應(yīng)用，如信號(hào)壓縮．為了彌補(bǔ)這一缺陷，文獻(xiàn)[8]構(gòu)造了兩通道正交圖濾波器組，其具備臨界采樣特性．并提出了基于切比雪夫多項(xiàng)式的近似Meyer核函數(shù)設(shè)計(jì)方法，但是濾波器組重構(gòu)特性較差，設(shè)計(jì)中也沒有考慮圖濾波器的頻率特性．文獻(xiàn)[9]提出了基于伯恩斯坦多項(xiàng)式逼近的方法，將兩通道正交圖濾波器組的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為帶約束的優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)所得的圖濾波器組整體性能良好．在圖濾波器組的研究工作中，兩通道圖濾波器組具備臨界采樣和(近似)完全重構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)．目前，兩通道圖濾波器組的研究相對(duì)較少，更為有效的設(shè)計(jì)算法有待提出.

筆者考慮兩通道正交圖濾波器組的設(shè)計(jì)問題，根據(jù)圖濾波器組的性能指標(biāo)，將設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)帶約束的優(yōu)化問題．由于目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于圖濾波器系數(shù)的四次函數(shù)，優(yōu)化問題難于求解．為此，通過泰勒近似將高度非線性非凸的目標(biāo)函數(shù)近似轉(zhuǎn)化為凸二次函數(shù)，從而，將非凸優(yōu)化問題近似為凸的優(yōu)化問題．進(jìn)而，采用迭代方法求解得到圖濾波器系數(shù)．與文獻(xiàn)[8-9]給出的方法進(jìn)行仿真對(duì)比發(fā)現(xiàn)，所提出的新算法設(shè)計(jì)的兩通道正交圖濾波器組重構(gòu)誤差更小，信噪比更大，濾波器的頻率特性良好．

1　兩通道正交圖濾波器組的結(jié)構(gòu)

圖1給出了兩通道正交圖濾波器組的結(jié)構(gòu)，其中，βH為采樣因子，H0和H1構(gòu)成了分析濾波器組，G0和G1構(gòu)成了綜合濾波器組．在兩通道正交圖濾波器組里，4個(gè)子帶濾波器H0、H1、G0和G1由1個(gè)濾波器h0(λ)決定[8]，可表示為

(1)

兩通道正交圖濾波器組的輸入輸出關(guān)系為

(2)

(3)

其中，x=λ-1，表示平移的頻率．

(4)

(5)

(6)

2　兩通道正交圖濾波器組的設(shè)計(jì)

2.1　圖濾波器組的性能指標(biāo)

兩通道正交圖濾波器組的設(shè)計(jì)包含了許多性能指標(biāo): 重構(gòu)誤差、濾波器的通帶平坦性和阻帶衰減．重構(gòu)誤差衡量濾波器組的重構(gòu)特性，通帶平坦性和阻帶衰減衡量濾波器的頻率特性[11]．一般來說，重構(gòu)誤差和阻帶衰減可用于控制圖濾波器組的整體性能．

兩通道正交圖濾波器組在xi點(diǎn)的重構(gòu)誤差可表示為

其中，xi(i=0，1, …，K-1)表示為區(qū)間[0，1]上的均勻離散點(diǎn)．

另外，濾波器的阻帶衰減通過阻帶波紋來控制，給定很小的δs，阻帶波紋限定為

(9)

2.2　濾波器的設(shè)計(jì)

基于前面的分析，可以將兩通道正交圖濾波器組的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為如下的帶約束優(yōu)化問題:

(10)

矩陣U(·)可以認(rèn)為是一個(gè)操作，將2L-1維的列向量轉(zhuǎn)換為一個(gè)L×L的矩陣[10]．

(13)

(14)

(15)

(16)

3　仿真結(jié)果與分析

將給出文中算法與文獻(xiàn)[8-9]的算法進(jìn)行仿真對(duì)比．所有的仿真和對(duì)比都是在相同環(huán)境下運(yùn)行的．兩通道正交圖濾波器組的性能指標(biāo)包括:

(2) 信噪比．性能指標(biāo)計(jì)算方法與文獻(xiàn)[9]的相同．為了確保設(shè)計(jì)精度，離散點(diǎn)的數(shù)量在區(qū)間[0，1]取K+1= 101．在問題(P2)中，區(qū)間[xs，1]離散點(diǎn)數(shù)量是 (K+ 1)(1-xs)．

設(shè)計(jì)一個(gè)兩通道正交圖濾波器組，子帶濾波器的長(zhǎng)度L=11，為了與文獻(xiàn)[9]的方法公平比較，設(shè)阻帶截止頻率xs= 0.6，其他相關(guān)參數(shù)xp= -0.3，δs= 0.15．文中算法進(jìn)行了29次迭代，得到的濾波器系數(shù)見表1．文中算法與文獻(xiàn)[8-9]設(shè)計(jì)的圖濾波器對(duì)比如圖2所示．表2給出了文獻(xiàn)[8-9]的方法和文中算法的性能比較結(jié)果．可以看出，文中算法設(shè)計(jì)得到的兩通道正交圖濾波器組具有更小的重構(gòu)誤差，信噪比更大，可以更好地恢復(fù)原信號(hào)．同時(shí)，文中將阻帶衰減作為優(yōu)化的性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)所得的濾波器具有較好的頻率特性．

表1　文中算法設(shè)計(jì)所得的濾波器系數(shù)

表2　文中算法與文獻(xiàn)[8-9]算法的性能對(duì)比

圖2 文獻(xiàn)[8-9]算法與文中算法設(shè)計(jì)所得的低通原型圖濾波器圖3 明尼蘇達(dá)交通網(wǎng)絡(luò)的分解圖

最后，將文中算法設(shè)計(jì)的正交圖濾波器組用于分解明尼蘇達(dá)交通網(wǎng)絡(luò)信號(hào)，分解的結(jié)果如圖3所示．其中HL通道的子帶系數(shù)全為零，原因是本圖是3著色的．圖3表明，LL子帶信號(hào)表示原始信號(hào)的近似，LH和HH兩個(gè)子帶包含圖信號(hào)的細(xì)節(jié)信息．重構(gòu)信號(hào)的信噪比為 89.60 dB， 明顯大于文獻(xiàn)[9]的信噪比 80.99 dB．另外，從表2可以看出，文獻(xiàn)[8]的算法設(shè)計(jì)的圖濾波器組的重構(gòu)誤差和信噪比都較差，不適用于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的處理．

4　結(jié) 束 語

文中圍繞兩通道正交圖濾波器組的設(shè)計(jì)問題，提出了基于泰勒近似的迭代設(shè)計(jì)算法．在該算法中，兩通道正交圖濾波器組的設(shè)計(jì)問題被歸結(jié)為一個(gè)帶約束優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)是圖濾波器組的重構(gòu)誤差，約束函數(shù)是濾波器的阻帶衰減．采用泰勒近似簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù)，利用迭代算法有效地求解了設(shè)計(jì)問題．仿真結(jié)果表明，新算法設(shè)計(jì)的兩通道正交圖濾波器組的整體性能優(yōu)于現(xiàn)有算法．另外，文中算法可以擴(kuò)展到設(shè)計(jì)過采樣圖濾波器組．

參考文獻(xiàn)：

[1] DUNN S, WILKINSON S M. Increasing the Resilience of Air Traffic Networks Using a Network Graph Theory Approach[J]. Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review, 2016, 90: 39-50.

[2]YOON W, HYUN E. Economic, Social and Institutional Conditions of Network Governance: Network Governance in East Asia[J]. Management Decision, 2010, 48(8): 1212-1229.

[3]ARLEO A, DIDIMO W, LIOTTA G, et al. Large Graph Visualizations Using a Distributed Computing Platform[J]. Information Sciences, 2017, 381: 124-141.

[4]COREL E, LOPEZ P, MéHEUST R, et al. Network-Thinking: Graphs to Analyze Microbial Complexity and Evolution[J]. Trends in Microbiology, 2016, 24(3): 224-237.

[5]CROVELLA M, KOLACZYK E. Graph Wavelets for Spatial Traffic Analysis[C]//Proceedings of Joint Conference of the 2003 IEEE Computer and Communications: 3. Piscataway: IEEE, 2003: 1848-1857.

[6]HAMMOND D K, VANDERGHEYNST P, GRIBONVAL R. Wavelets on Graphs via Spectral Graph Theory[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2011, 30(2): 129-150.

[7]COIFMAN R R, MAGGIONI M. Diffusion Wavelets[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2006, 21(1): 53-94.

[8]NARANG S K, ORTEGA A. Perfect Reconstruction Two-channel Wavelet Filter Banks for Graph Structured Data[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(6): 2786-2799.

[9]TAY D B H, LIN Z. Design of Near Orthogonal Graph Filter Banks[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2015, 22(6): 701-704.

[10]JIANG J Z, SHUI P L, ZHANG Z J. Design of Oversampled DFT-modulated Filter Banks via Modified Newton’s Method[J]. IET Signal Processing, 2011, 5(3): 271-280.

[11]蔣俊正, 王小龍, 水鵬朗. 一種設(shè)計(jì)DFT調(diào)制濾波器組的新算法[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 37(4): 689-693.

JIANG Junzheng, WANG Xiaolong, SHUI Penglang. Novel Method for Designing DFT Modulated Filter Banks[J]. Journal of Xidian University, 2010, 37(4): 689-693.

[12]JIANG J Z, ZHOU F, SHUI P L. Optimization Design of Two-channel Biorthogonal Graph Filter Banks[J]. Circuits, Systems, and Signal Processing, 2016, 35(2): 685-692.