胡明勇， 張志宏， 劉巨斌， 孟慶昌

(海軍工程大學 基礎(chǔ)部， 湖北 武漢 430033)

0　引言

超空泡射彈作為一種速射防御性武器，在反魚雷、水雷等方面具有較好的應用前景。超空泡射彈與常規(guī)射彈的主要不同之處在于采用了超空泡減阻技術(shù)。目前對超空泡射彈理論和實驗研究成果主要集中于彈體在水中運動過程或低速物體的入水問題。國內(nèi)對于入水問題的研究起步較晚，對于入水過程的理論及數(shù)值模擬研究始于20世紀80年代，研究的方法主要是：有限差分法[1]、邊界元法[2]、光滑粒子流體動力學方法[3]、附加質(zhì)量法[4]、格子波茲曼方法[5-6]、有限體積法[7-12]、實驗方法[13-14]等。國外對入水問題研究的起步較早，從球體入水問題[15-16]開始研究，進而對二維結(jié)構(gòu)物入水拍擊問題進行數(shù)值研究[17-18]，再擴展到三維結(jié)構(gòu)物入水問題[19-22]。由于彈體高速入水過程(彈體從空氣中穿越空氣、水交界面進入水中過程稱為入水過程)時間短，空氣、水、彈體之間會發(fā)生強烈的耦合作用，且激波、自由面與超空泡相互作用，并伴隨著湍動、相變、可壓縮等大量復雜的流動現(xiàn)象，研究難度大，已有的研究成果不多。

本文針對低亞聲速(速度小于等于0.3倍水中聲速)超空泡射彈入水問題，利用ANSYS軟件構(gòu)建低亞聲速射彈入水問題的空氣- 固體- 流體多介質(zhì)耦合有限元模型，基于水的格林愛森(Gruneisen)狀態(tài)方程以及空氣的Linear_Polynomial狀態(tài)方程，射彈模型采用拉格朗日算法，流體域采用任意拉格朗日- 歐拉有限元算法，以LS-DYNA軟件為計算平臺，對低亞聲速射彈入水過程的空泡演化過程、射彈速度衰減規(guī)律以及入水空泡面閉合和深閉合時間進行了數(shù)值模擬，完成了低亞聲速射彈入水空泡流場與彈道的多介質(zhì)耦合計算，分析了射彈初始入水速度對空泡面閉合、空泡深閉合時間的影響。

1　數(shù)學模型

對超空泡射彈入水過程中的流場進行計算時，流場除了要滿足連續(xù)性方程外，還必須滿足質(zhì)量和動量守恒方程。

1)質(zhì)量守恒方程[23]

(1)

式中：Mρ、Lρ和Kρ分別為容量、轉(zhuǎn)換和散度矩陣；ρ為材料密度；t為時間。

2)動量守恒方程

(2)

式中：M和L分別為廣義質(zhì)量和傳遞矩陣；vr為對應于參考構(gòu)型描述下的速度；fi和fe分別為內(nèi)力和外力向量。

本文中彈體與流體間的耦合采用歐拉- 拉格朗日流體與固體耦合算法。其顯著特點是結(jié)構(gòu)與流體的有限元模型重疊在一起，在計算中通過一定的約束方法將結(jié)構(gòu)與流體相耦合，可實現(xiàn)力學參量的傳遞。此外，多物質(zhì)組通過關(guān)鍵字*ALE_MULTI-MATERIAL_GROUP定義，結(jié)構(gòu)與流體之間的耦合通過關(guān)鍵字*CONSTRAINED_LAGRANGE_IN_SOLID定義。進行多物質(zhì)耦合計算時，單元算法采用LS-DYNA中的算法11，彈體采用黎曼- 斯蒂爾杰斯全積分六面體(S/R)單元，算法為拉格朗日算法，固體單元與流體單元之間采用無侵蝕的罰函數(shù)耦合。

2　算例

2.1　模型參數(shù)

射彈分別采用錐頭圓柱體結(jié)構(gòu)(見圖1)，圓柱長L=50 mm，直徑D=10 mm，頭部圓錐角α=90°. 材料采用鋁合金，密度2.7×103kg/m3. 射彈結(jié)構(gòu)采用剛性材料模型MAT_RIGID.

水采用LS-DYNA提供的“無為”材料模型(MAT_NULL)和Gruneisen狀態(tài)方程[24]，即

(γ0+αμ)E，

(3)

式中：p為壓力；c為聲速；μ=ρ/ρ0-1，ρ為水密度，ρ0為水壓縮前的密度；E為單位體積內(nèi)能(計算時取初始單位體積內(nèi)能E0)；S1、S2、S3、γ0、α為常數(shù)。 空氣采用LS-DYNA軟件提供的MAT_NULL材料模型和Linear_Polynomial狀態(tài)方程[24]，即

p=C0+C1μ+C2μ2+C3μ3+(C4+C5μ+C6μ2)E，

(4)

式中：C0、C1、C2、C3、C4、C5、C6為無量綱常數(shù)。參數(shù)C0=C1=C2=C3=C6=0，其余參數(shù)取值如表1所示。

表1　水和空氣的性能參數(shù)Tab.1　Performance parameters of water and air

2.2　網(wǎng)格劃分與邊界條件

1)網(wǎng)格劃分。根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性，為節(jié)省計算資源和時間，有限元模型采用1/4模型，射彈采用拉格朗日網(wǎng)格，水和空氣的單元類型選用3D SOLID164，單元采用六面體單元，將計算域共劃分為472 530個單元、497 028個節(jié)點，對計算水域和空氣域局部網(wǎng)格進行加密，加密的區(qū)域內(nèi)徑為R10區(qū)域(見圖2(b))，單個網(wǎng)格的長寬比在1～2之間，射彈下端距離水面20 mm(見圖2(a))。

2)邊界條件。采用1/4模型，在計算水域和空氣域兩個對稱面上應分別滿足對稱邊界x=0，z=0；在最外圓柱面和水底設(shè)置無反射邊界條件，來模擬無限大水域。

2.3　計算結(jié)果

分別計算入水后射彈速度v、深度h隨時間t的變化以及入水空泡形態(tài)的對比(見圖3～圖5)，將計算結(jié)果與文獻[12]的結(jié)果進行比較，二者保持一致，說明本文算法的正確性。從圖3中可以看出：射彈在垂直入水初始階段速度衰減非常快，3 ms后速度衰減幅度趨于平緩，這是因為入水初始階段承受的加速度大，隨著入水深度的增加，其加速度值會逐漸降低。從圖4中可以看出：射彈入水深度在入水最初時因為速度大而增加較快，之后趨于平緩；隨著入水深度的增加，本文計算結(jié)果和文獻[12]計算結(jié)果之差開始增大，這主要是由計算軟件的不同造成的。

3　低亞聲速射彈垂直入水數(shù)值計算

3.1　模型參數(shù)

射彈分別采用雙圓臺加圓柱體結(jié)構(gòu)(見圖6)，總長L=144 mm，材料采用鎢合金，射彈采用Johnson-Cook模型，狀態(tài)方程采用Gruneisen狀態(tài)方程[25]。數(shù)學模型參數(shù)采用厘米- 克- 微秒單位制，水和空氣采用的性能參數(shù)同2.1節(jié)，具體參數(shù)如下：

密度ρ=17.25×103kg/m3，彈性模量314 GPa，剪切彈性模量122 GPa，μ=0.29；材料性能常數(shù)A=1 506 MPa，B=177 MPa，C=0.016，n=0.12，m=1；室溫300 K，熔化溫度1 723 K，S1=1.23，S2=S3=0，γ0=1.54；鎢合金中的聲速4 029 m/s.

3.2　網(wǎng)格劃分與邊界條件

如圖7所示，彈體、空氣和水域采用1/4模型，射彈采用拉格朗日網(wǎng)格，水和空氣的單元類型選用3D SOLID164，所有單元采用六面體單元，彈體共劃分為105個單元，對計算水域和空氣域局部網(wǎng)格進行加密，加密區(qū)域內(nèi)徑為R10 mm區(qū)域(見圖7(b))，單個網(wǎng)格的長寬比在1～2之間，空氣域劃分為192 000個單元，水域劃分為960 000個單元。共計1 152 105個單元，11 984 236個節(jié)點。

由于采用1/4模型，在計算水域和空氣域兩個對稱面上應分別滿足對稱邊界x=0，z=0；在最外圓柱面和水底設(shè)置無反射邊界條件，來模擬無限大水域。

3.3　數(shù)值計算結(jié)果

3.3.1閉合時間和空泡形態(tài)

射彈入水速度分別取為100 m/s、200 m/s、300 m/s、400 m/s和500 m/s，計算出空泡面閉合、深閉合時間以及對應的無量綱時間和佛魯?shù)聰?shù)分別如表2所示。由表2可以看出，在射彈入水速度小于500 m/s時，空泡先出現(xiàn)面閉合再出現(xiàn)深閉合現(xiàn)象。

以佛魯?shù)聰?shù)為橫坐標、無量綱時間為縱坐標，可得到空泡面閉合和深閉合無量綱時間與佛魯?shù)聰?shù)的關(guān)系曲線如圖8所示。由圖8可以看出：空泡面閉合的無量綱時間隨著佛魯?shù)聰?shù)變化的幅度不大；隨著佛魯?shù)聰?shù)的增加，空泡深閉合的無量綱時間先緩慢增加、后減小，但總體趨勢是減小的，且衰減的幅度較大。

圖9為射彈在不同入水速度下空泡閉合時的形狀。從圖9中可以看出：在空泡發(fā)生面閉合時，閉合點周圍的液面升高；閉合時，液體在空泡上方形成向上和向下兩個方向的射流；隨著射彈入水速度的增加，空泡發(fā)生面閉合時射彈的入水深度也隨之增加。

表2　無量綱閉合時間與佛魯?shù)聰?shù)關(guān)系Tab.2　Relationship between dimensionless closure time and Froude number

圖10為射彈不同入水速度下空泡深閉合時的形狀。從圖10中可以看出：在空泡發(fā)生深閉合時，閉合位置并不會清晰地發(fā)生在一個點上，而是在一段距離上，最后在一個點處徹底斷開，空泡迅速向上下方向收縮并迅速潰滅；隨著射彈入水速度的增加，空泡發(fā)生深閉合時射彈的入水深度也隨之增加，且噴濺更高，水面抬高更明顯。

3.3.2入水深度、射彈速度、加速度以及阻力系數(shù)

圖11為射彈在不同入水速度下入水深度隨時間的變化情況。由圖11可以看出，入水速度越大，入水相同深度所需的時間越短。

圖12為不同入水速度下射彈速度隨時間的變化情況。由圖12可以看出：入水速度越大，速度衰減越快；在入水后短時間內(nèi)射彈速度隨時間呈線性衰減，但速度衰減非常緩慢。這主要是因為射彈采用的鎢合金密度非常大、慣性大，水對其動能造成的損失較小，可見入水深度隨射彈速度的增加而增加。

圖13為不同入水速度下射彈阻力系數(shù)隨時間的變化情況。從圖13中可以看出：高速射彈在空中段飛行時的阻力系數(shù)與入水段相比非常小，撞水后阻力系數(shù)迅速達到最大峰值，然后快速震蕩衰減，振蕩的頻率和幅度與最小計算步長以及輸出步長相關(guān)，當頭部第1節(jié)圓臺完全入水后，阻力系數(shù)穩(wěn)定在1附近，與經(jīng)驗公式Cd=0.82(1+σ)的理論計算值吻合良好，其中Cd為阻力系數(shù)，σ為空化數(shù)；阻力系數(shù)峰值隨入水速度的增大而增大，在入水速度為300 m/s時達到峰值，然后減小。

3.3.3射彈入水空泡發(fā)展過程

圖14為射彈以500 m/s速度入水時的空泡發(fā)展過程。從圖14中可以看出：射彈入水后只有頭部沾濕，然后迅速排開水、形成空泡，水沿著射彈表面向上運動、形成噴濺，在射彈周圍的水面可以看到明顯的抬高現(xiàn)象；射彈完全浸入水中后，在彈后形成一個空腔與大氣相通，隨著射彈入水深度的增加，空泡最大直徑逐漸增大，當噴濺的水在表面匯合時形成面閉合，使空泡和大氣隔斷；此時空泡直徑達到最大值，面閉合時由于水有動能，在拍擊作用下，在面閉合最頂點會形成向上和向下兩股射流，向下的射流使空泡的上部變成一個M型形狀。隨著射彈入水深度的繼續(xù)增加，空泡在中部開始逐漸收縮，將空泡分成上下兩段，形成深閉合，深閉合位置并不在清晰的一個點上，而是在一段距離上。至此空泡經(jīng)歷了形成、面閉合、擴張、收縮和深閉合等階段。

3.3.4射彈動力學響應

圖15為射彈加速度a隨時間t的變化情況。由圖15可見，射彈在撞擊水面的瞬間，加速度達到最大值，然后急劇衰減，震蕩后收斂在某一值附近，入水速度不同，加速度的峰值和收斂值也不同，它們隨入水速度的增大而增大，這是因為入水速度越大，受到水的阻力就越大。

圖16為入水瞬間von Mises應力響云圖。從圖16(a)可以看出：射彈在入水瞬間，應力主要集中在頭部，最大應力單元為16和24；頭部以外應力較小，當t=0.230 ms時射彈頭部沒入水中，最大應力仍然分布在頭部區(qū)域，應力波已經(jīng)在彈體中自下而上傳播，如圖16(b)所示。單元16和24的應力響應隨時間變化的曲線如圖17所示。由圖17可以看出，射彈在入水瞬間應力達到峰值，然后快速震蕩衰減并逐漸趨于收斂。射彈入水時如果結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，則發(fā)生在頭部的可能性將非常大。

4　結(jié)論

本文采用歐拉- 拉格朗日耦合算法，研究了90°錐角頭型圓柱體以500 m/s速度垂直入水時的流體與固體耦合動力學問題，通過計算結(jié)果與已有文獻[12]結(jié)果的對比驗證了本文數(shù)值計算方法的有效性?；诒疚臄?shù)值計算方法，建立了雙圓臺圓柱射彈垂直入水的有限元模型，得到了低亞聲速射彈入水時的空泡形態(tài)發(fā)展歷程，分析了射彈不同入水速度對空泡面閉合和深閉合時間的影響，計算得到了速度、加速度以及阻力系數(shù)隨時間的衰減曲線，并獲取了射彈結(jié)構(gòu)的動力學應力和應變響應。結(jié)果表明：射彈的密度越大，速度衰減越緩慢，可見高密度的射彈其射程更遠；射彈在撞擊水面的瞬間，加速度達到最大值，然后急劇衰減，頭部的應力非常大；射彈觸水瞬間阻力系數(shù)迅速達到最大峰值，然后快速衰減，當頭部第1節(jié)圓臺完全入水后，阻力系數(shù)會收斂并保持在1左右。

參考文獻(References)

[1]陳九錫，顏開. 用MAC方法計算平頭物體垂直等速入水空泡[J].水動力學研究與進展，1985 (1)：1-7.

CHEN Jiu-xi，YAN Kai. The calculation of vertical constant-speed water entry cavity of flat-nosed body using the MAC-method[J].Advances in Hydrodynamics，1985 (1)：1-7.(in Chinese)

[2]葉取源. 錐頭物體垂直入水空泡的發(fā)展和閉合[J].水動力學研究與進展，1989 (2)：4-8.

YE Qu-yuan. Evolution and closure of cavity after vertical water entry of cone-head bodies[J]. Advances in Hydrodynamics，1989 (2)：4-8. (in Chinese)

[3]龔凱.基于光滑質(zhì)點水動力學(SPH)方法的自由表面流動數(shù)值模擬研究[D].上海：上海交通大學，2009.

GONG Kai. A numerical study of free surface flow based on smoothed particle hydrodynamics(SPH) [D]. Shanghai: Shanghai Jiao Tong University，2009. (in Chinese)

[4]魏卓慧，王樹山，馬峰. 剛性截錐形彈體入水沖擊載荷[J]. 兵工學報，2010，31(1)：118-120.

對文、理科學生在9項技能的自我評價上進行獨立樣本T檢驗（見表2），結(jié)果顯示，除“翻譯”的P值=0.0 22＜0.05外，其他8項的P值均大于0.0 5，表明不同學科的學生對于絕大多數(shù)技能的自我評價沒有顯著性差異。而理科生在“翻譯”評價上的均值顯著地高于文科生，比起口語和寫作這種主動的創(chuàng)造性的輸出，理科生更喜歡用積累的詞匯機械地翻譯給予的文字段落，很好地說明了英語課堂上理科生更消極被動的一面。

WEI Zhuo-hui, WANG Shu-shan, MA Feng. Diving impact load of rigid truncated conical projectile[J]. Acta Armamentarii，2010，31(1)：118-120.(in Chinese)

[5]張珂，顏開，褚學森. 基于LBM方法的圓盤等速入水空泡的數(shù)值模擬[J].船舶力學，2010，14(10)：1129-1133.

ZHANG Ke, YAN Kai, CHU Xue-sen. Numerical simulation of constant speed water-entry cavity based on LBM[J]. Journal of Ship Mechanics，2010，14(10)：1129-1133. (in Chinese)

[6]胡平超，張宇文，袁緒龍. 航行器垂直入水空泡特性與流體動力研究[J].計算機仿真，2011，28(6)：5-8.

HU Ping-chao, ZHANG Yu-wen,YUAN Xu-long. Research on cavitation and hydrodynamic of vertical water-entry for supercavitating vehicles [J]. Computer Simulation，2011，28(6)：5-8. (in Chinese)

[7]王聰，何春濤，權(quán)曉波.空氣壓強對垂直入水空泡影響的數(shù)值研究[J].哈爾濱工業(yè)大學學報，2012，44(5)：14-19.

WANG Cong,HE Chun-tao,QUAN Xiao-bo. Numerical simulation of the influence of atmospheric pressure on water-cavity formed by cylinder with vertical water-entry[J]. Journal of Harbin Institute of Technology，2012，44(5)：14-19. (in Chinese)

[8]何春濤，王聰，閔景新，等. 回轉(zhuǎn)體勻速垂直入水早期空泡數(shù)值模擬研究[J].工程力學，2012，29(4)： 237-243.

HE Chun-tao,WANG Cong,MIN Jing-xin,et al. Numerical simulation of early air-cavity of cylinder cone with vertical water-entry[J].Engineering Mechanics，2012，29(4)： 237-243. (in Chinese)

[9]楊衡，孫龍泉，龔小超，等.彈性結(jié)構(gòu)入水砰擊載荷特性三維數(shù)值模擬研究[J].振動與沖擊，2014，33(19)：28-34.

YANG Heng，SUN Long-quan，GONG Xiao-chao，et al. 3D numerical simulation of slamming load character for water entry of an elastic structure[J]. Journal of Vibration and Shock，2014，33(19)：28-34. (in Chinese)

[10]楊衡，張阿漫，龔小超，等.不同頭型彈體低速入水空泡試驗研究[J].哈爾濱工程大學學報，2014，35(9)：1060-1066.

YANG Heng，ZHANG A-man，GONG Xiao-chao，et al. Experimental study of the cavity of low speed water entry of different head shape projectiles [J]. Journal of Harbin Engineering University，2014，35(9)：1060-1066. (in Chinese)

[11]孫釗，曹偉，王聰，等. 表面潤濕性對球體入水空泡形態(tài)的影響研究[J].兵工學報，2016，37(4)：670-676．

SUN Zhao,CAO Wei,WANG Cong,et al．Effect of surface wettability on cavitation of sphere during its water entry[J]. Acta Armamentarii，2016，37(4)：670-676．(in Chinese)

[12]馬慶鵬，魏英杰，王聰，等.錐頭圓柱體高速入水空泡深閉合數(shù)值模擬研究[J].兵工學報，2014，35(9)：1451-1457.

MA Qing-peng，WEI Ying-jie，WANG Cong,et al. Numerical simulation of deep closure of high-speed water entry cavity of cone-cylinder[J]. Acta Armamentarii，2014，35(9)：1451-1457. (in Chinese)

[13]顧建農(nóng)，張志宏，范武杰．旋轉(zhuǎn)彈丸入水侵徹規(guī)律[J].爆炸與沖擊，2005，25(4)：341-349．

GU Jian-nong，ZHANG Zhi-hong,FAN Wu-jie．Experimental study on the penetration law for a rotating pellet entering water[J]. Explosion and Shock Waves，2005，25(4)：341-349．(in Chinese)

[14]顧建農(nóng)，張志宏，王沖，等．旋轉(zhuǎn)彈頭水平入水空泡及彈道的實驗研究[J].兵工學報，2012，33(5)：540-544．

GU Jian-nong,ZHANG Zhi-hong,WANG Chong,et al．Experimental research for cavity and ballistics of a rotating bullet entraining water levelly[J]. Acta Armamentarii，2012，33(5)：540-544．(in Chinese)

[15]Shiffman M，Spencer D C. The force of impact on a cone striking a water surface(vertical entry)[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics，1951，4(4):379-417.

[16]Miloh T. Wave slam on a sphere penetrating a free surface[J]. Journal of Engineering Mathematics，1981，15(3): 221-240.

[17]Greenhow M. Wedge entry into initially calm water[J]. Applied Ocean Research，1987，9(4): 214-223.

[18]Korobkin A A. Asymptotic theory of liquid-solid impact[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences,1997，355(1724): 507-522.

[19]Scolan Y M，Korobkin A A. Three-dimensional theory of water impact. Part 1. Inverse Wagner problem[J]. Journal of Fluid Mechanics，2001，440(41): 293-326.

[20]Korobkin A A，Wu G X. Impact on a floating circular cylinder[J]. Proceedings of the Royal Society A:Mathematical, Physical and Engineering Sciences，2000，456(2002): 2489-2514.

[21]Korobkin A A，Scolan Y M. Three-dimensional theory of water impact. Part 2. Linearized Wagner problem[J]. Journal of Fluid Mechanics，2006，549: 343-373.

[22]Xu G D，Duan W Y，Wu G X. Numerical simulation of oblique water entry of an asymmetrical wedge[J]. Ocean Engineering，2008，35(16): 1597-1603.

[23]張勁生，張嘉鐘，王聰，等．超空泡射彈結(jié)構(gòu)響應的流固耦合仿真研究[J].船舶力學，2011,15(7)：763-768.

ZHANG Jin-sheng，ZHANG Jia-zhong,WANG Cong,et al. FSI simulation on the structural response of a supercavitating projectile[J]. Journal of Ship Mechanics，2011,15(7)：763-768. (in Chinese)

[24]Varas D， Zaera R，López-Puente J，et al. Numerical modeling of the hydrodynamic ram phenomenon[J]. International Journal of Impact Engineering，2009，36(3)：363-374.

[25]Feli S，Asgari M R. Finite element simulation of ceramic/composite armor under ballistic impact[J].Composites:Part B，2011，42(4)：771-780.