徐達(dá)，韓保紅，赫萬(wàn)恒，于金鳳，李維鍇

軍械工程學(xué)院車(chē)輛與電氣工程系，河北石家莊050003

0 引 言

潛艇艉部結(jié)構(gòu)的非對(duì)稱(chēng)性會(huì)引起不均勻伴流場(chǎng)，螺旋槳在其中運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，將產(chǎn)生非定常推力，并導(dǎo)致推進(jìn)軸系產(chǎn)生周期性的縱向拉壓變形，即推進(jìn)軸系的縱向振動(dòng)［1-4］。推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)經(jīng)推力軸承傳遞到艇體，進(jìn)而產(chǎn)生水下噪聲。隨著潛艇在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中扮演的角色日益重要，為了提高潛艇的聲隱身性能，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)潛艇推進(jìn)軸系的縱向振動(dòng)做了大量研究［5-6］。

推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)研究的基礎(chǔ)是計(jì)算。學(xué)者提出的推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)計(jì)算方法包括Holzer表算法、傳遞矩陣法和有限元法。秦春云等［7］采用解析法和有限元法對(duì)所建立的船舶軸系縱向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了計(jì)算。周瑞等［8］利用傳遞矩陣法計(jì)算了某型號(hào)船的推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)，同時(shí)分析了推力軸承剛度和螺旋槳附加水質(zhì)量對(duì)縱向振動(dòng)計(jì)算結(jié)果的影響。張贛波［9］將有限元分析軟件與理論分析相結(jié)合，對(duì)船舶主推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)特性進(jìn)行了計(jì)算。肖能齊［10］和李冰融［11］基于系統(tǒng)矩陣法開(kāi)發(fā)了應(yīng)用于軸系振動(dòng)的計(jì)算軟件。陳志剛等［12］基于均勻有限桿縱向振動(dòng)計(jì)算方法，運(yùn)用波分析（WPA）法對(duì)軸系模型的縱向振動(dòng)進(jìn)行了諧響應(yīng)分析。

以往的研究分析大多采用離散模型，未能較好地描述推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)能量的傳播與分布，而連續(xù)模型可以解決這一問(wèn)題。本文擬先基于實(shí)際推進(jìn)軸系建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，采用WPA法詳細(xì)推導(dǎo)均勻軸系與階梯軸系的縱向振動(dòng)方程，根據(jù)推進(jìn)軸系兩端的邊界條件以及各軸段之間的連續(xù)條件，分析潛艇推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)特性。然后建立推進(jìn)軸系有限元模型，通過(guò)有限元分析軟件Workbench進(jìn)行仿真，分析推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)特性，并將理論值與仿真值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證基于彈性波理論建立的推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。最后推導(dǎo)推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)固有頻率的無(wú)量綱方程。

1 基于WPA法推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)模型的動(dòng)力學(xué)分析

1.1 推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)簡(jiǎn)化模型

潛艇推進(jìn)軸系主要包括推力軸、中間軸、艉軸、螺旋槳和法蘭盤(pán)等部件。常規(guī)潛艇采用的直接傳動(dòng)的柴電推進(jìn)軸系與輸出端通常通過(guò)彈性聯(lián)軸器聯(lián)接。彈性聯(lián)軸器的縱向剛度遠(yuǎn)小于推力軸承的剛度或軸系其他結(jié)構(gòu)的剛度，故在研究推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)時(shí)可不予考慮。螺旋槳的非定常推力通過(guò)推力軸承及其基座傳遞到殼體上。因此，在研究螺旋槳激勵(lì)力引起的潛艇推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，可以只研究推力軸承至螺旋槳之間的主推進(jìn)軸系［13］。

本文對(duì)推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)模型的簡(jiǎn)化方法如下：

1）螺旋槳的質(zhì)量連同附連水質(zhì)量作為1個(gè)集中質(zhì)量點(diǎn)，集中在螺旋槳軸錐端的中間處。

2）推力軸承簡(jiǎn)化為質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)。

3）中間軸承和艉軸承主要起徑向支撐作用，對(duì)軸系的縱向運(yùn)動(dòng)的約束較小，可以忽略不計(jì)［14］。

4）中間軸、推力軸以及艉軸按縱向剛度等效原則，簡(jiǎn)化為具有相同長(zhǎng)度的若干階梯均勻軸段。

簡(jiǎn)化的推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)模型如圖1所示。

1.2 推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析

在研究階梯軸系模型之前，先分析任一均勻軸段的縱向振動(dòng)，假設(shè)：

1）軸沿其長(zhǎng)度方向是均勻的；

2）軸系的橫截面在振動(dòng)時(shí)始終保持為平面；

3）略去軸系縱向伸縮引起的橫向變形，沿截面方向只有均勻分布的軸向力F(x，t)；

4）均勻軸系的縱向振動(dòng)為微幅振動(dòng)（圖2）。

根據(jù)機(jī)械振動(dòng)相關(guān)理論，分析微段x，得到均勻軸段縱向振動(dòng)方程為

式中：u(x，t)為軸系縱向振動(dòng)位移，是截面位置x與時(shí)間t的二元函數(shù)；η為材料的滯回阻尼比；為彈性縱波沿x軸的傳播速度，ρ(x)為單位體積質(zhì)量；E為軸材料的彈性模量；A(x)為橫截面面積；q(x，t)為分布載荷；j為復(fù)數(shù)虛部符號(hào)。均勻軸段受分布載荷的作用做縱向振動(dòng)。

若q(x，t)=0，不計(jì)入阻尼力和外力，則均勻軸系固有振動(dòng)為

這是典型的一維連續(xù)波動(dòng)方程，通常采用分離變量法求解。由歐拉公式得到解的基本形式為

式中：ωp為均勻軸系縱向振動(dòng)的第p階固有頻率；，為均勻軸系第p階縱向振動(dòng)波數(shù)；Cp和Dp為縱向振動(dòng)波幅系數(shù)。擴(kuò)展到均勻軸系的強(qiáng)迫振動(dòng)，可通過(guò)拉格朗日方程和振型展開(kāi)定理結(jié)合振型正交性進(jìn)行分析，在分析時(shí)應(yīng)考慮不同邊界條件下振型正交性表達(dá)式的區(qū)別。

圖3為由n個(gè)均勻軸段組成的多階梯連續(xù)軸系，其截面是變化的。為方便分析表達(dá)，我們對(duì)各軸段進(jìn)行了編號(hào)，格式為1，2，…，n。以階梯軸左端面為x軸坐標(biāo)零點(diǎn)，各個(gè)均勻軸段的接觸分界面位置標(biāo)號(hào)為l1，l2，…，ln，如軸1和軸2分界面位置為l1，軸2和軸3分界面位置為l2，以此類(lèi)推，其中階梯軸左端面記為l0=0，右端面為ln，各面的橫截面積用Ai（i=1，2，…，n）表示。

階梯軸每一個(gè)均勻軸段在形式上是同步縱向振動(dòng)的。為避免軸系縱向振動(dòng)的能量在傳遞到分界面處時(shí)發(fā)生散失，本文直接利用分界面處的力和位移的連續(xù)條件，推導(dǎo)相鄰的階梯軸段縱向振動(dòng)波幅系數(shù)的傳遞關(guān)系。

任意相鄰軸段分界面處的位移和力滿(mǎn)足的連續(xù)條件為

則傳遞關(guān)系為

式中：Ti為相鄰均勻軸段縱向振動(dòng)波幅系數(shù)的傳遞矩陣；ki為均勻軸系第i階縱向振動(dòng)波數(shù)。

同理，第n個(gè)軸段縱向振動(dòng)波幅系數(shù)傳遞關(guān)系為

分析自由振動(dòng)時(shí)，將邊界條件代入后，軸1和軸n的縱向振動(dòng)波幅系數(shù)滿(mǎn)足如下關(guān)系：

式中，ai和bi為系數(shù)。

將式（6）代入式（7），整理得：

若要得到式（8）的非零解，其系數(shù)行列式的值必為0，即

式（9）是關(guān)于固有頻率的關(guān)系式，可通過(guò)圖解法來(lái)求解。

由于各個(gè)均勻軸段的波幅系數(shù)不同，直接通過(guò)模態(tài)展開(kāi)定理來(lái)求解工作量較大，難以采用統(tǒng)一直觀(guān)的表達(dá)式表示階梯軸系的強(qiáng)迫振動(dòng)，而直接求解則比較簡(jiǎn)單。階梯軸系各均勻軸段的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程為

當(dāng)激勵(lì)為簡(jiǎn)諧函數(shù)時(shí)，階梯軸系各軸段強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的頻率相同，即

式中，Qi(x)和Ui(x)為集中力作用下的第i階強(qiáng)迫振動(dòng)力和位移響應(yīng)的幅值。將式（11）和式（12）代入式（10），整理得

式中，U＂為集中力作用下的第i階強(qiáng)迫振動(dòng)位移響應(yīng)的幅值對(duì)軸向變化的二階導(dǎo)數(shù)。

由Duhamel積分求解式（13），可得

式中：Yi和Zi是通過(guò)階梯軸系分界面連續(xù)條件以及邊界條件確定的常數(shù)；ξ為阻尼比。通常情況下，階梯軸系集中受力，為便于分析，我們可以借助單位脈沖函數(shù)來(lái)表示，即

式中，δ(x-L)為單位脈沖函數(shù)。進(jìn)而可得強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)為

若考慮材料阻尼，可將式（16）中的彈性模量E替換為復(fù)彈性模量E'。直接求解方法的優(yōu)點(diǎn)是省略了在階梯軸系復(fù)雜邊界條件下對(duì)模態(tài)振型表達(dá)式的推導(dǎo)。

推進(jìn)軸系兩端的邊界條件可表示為

式中：Mp為螺旋槳及附連水的質(zhì)量；Mt為推力軸承質(zhì)量；Kt為推力軸承縱向當(dāng)量剛度。將螺旋槳激勵(lì)力作為力的邊界條件，得到主推進(jìn)軸系螺旋槳處的邊界條件表達(dá)式為

式中：m為螺旋槳槳葉數(shù)；ω為主推進(jìn)軸系頻率；Q'為激勵(lì)力幅值。利用式（18）來(lái)校核主推進(jìn)軸系在螺旋槳葉頻激勵(lì)力作用下的動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。將式（18）中的ω替換為諧次葉頻ω'，即可得到諧次葉頻激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。然后，疊加主推進(jìn)軸系頻率和諧次葉頻的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，求解螺旋槳激勵(lì)力作用下主推進(jìn)軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

2 推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)有限元模型仿真分析

表1所示為某型號(hào)潛艇的推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立的有限元模型如圖4所示。螺旋槳及推力軸承作為集中質(zhì)量單元布置在軸系兩端，中間軸承與艉軸承用彈簧代替。有限元模型的網(wǎng)格劃分如圖5所示。施加邊界條件進(jìn)行模態(tài)仿真分析，前3階模態(tài)分析結(jié)果如圖6所示，變形云圖可以表示推進(jìn)軸系各點(diǎn)縱向振動(dòng)的位移情況。文獻(xiàn)［15］表明第1階模態(tài)為參與推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)的最主要的模態(tài)。現(xiàn)將前兩階模態(tài)的有限元模型分析結(jié)果與推進(jìn)軸系理論求解值及實(shí)驗(yàn)測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。由表可見(jiàn)，三者的第1階固有頻率接近，驗(yàn)證了建立的有限元模型在分析推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)問(wèn)題上的可靠性。

表1 模型結(jié)構(gòu)Table 1 Model structural parameters

表2 推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)固有頻率對(duì)比Table 2 Comparison of natural frequencies of longitudinal vibration of the propulsion shafting

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響分析

為了便于預(yù)測(cè)推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)的固有頻率，分析軸系的質(zhì)量與螺旋槳的質(zhì)量比和軸系的剛度與推力軸承的剛度比等參數(shù)對(duì)其的影響。在上述分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)適用于推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)第1階固有頻率的無(wú)量綱方程。

為減小工作量，將階梯軸系簡(jiǎn)化成連續(xù)的均勻軸系，即左端為螺旋槳及其附連水的集中質(zhì)量，右端為推力軸承質(zhì)量且與船體彈性連接，中間為均勻軸，如圖7所示。

中間均勻軸的尺寸可通過(guò)等效思想，由實(shí)際復(fù)雜軸系的質(zhì)量及縱向剛度換算獲得，得到等效面積Ad和等效長(zhǎng)度Ld的表達(dá)式為：

式中：Li為各均勻軸段長(zhǎng)度；Ai為各均勻軸段截面面積。通過(guò)表1中的參數(shù)，結(jié)合式（19）和式（15），求解得到上述模型的推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)第1階固有頻率為14.93 Hz，與階梯軸系解析值相比，誤差較小?？梢?jiàn)，通過(guò)上述簡(jiǎn)化模型對(duì)推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)第1階固有頻率進(jìn)行估算具有一定的準(zhǔn)確性。

由邊界條件關(guān)系式（17）推導(dǎo)出頻率方程為

式中：A為橫截面面積的特征量；L為軸段長(zhǎng)度的特征量。進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)第1階固有頻率f的無(wú)量綱方程為

4 結(jié) 論

1）建立了潛艇推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)連續(xù)體簡(jiǎn)化模型，基于彈性波理論，根據(jù)各軸段之間力和位移的連續(xù)條件，得到集中應(yīng)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)；根據(jù)推進(jìn)軸系兩端的邊界條件，得到推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分析了潛艇推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)的振動(dòng)特性。

2）建立了推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)有限元模型，并進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果表明，采用該模型得到的理論值與仿真值及實(shí)驗(yàn)測(cè)量值之間的誤差較小，證明了簡(jiǎn)化模型的準(zhǔn)確性，表明彈性波分析法可以較好地描述推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)的傳遞特性。

3）進(jìn)一步簡(jiǎn)化了階梯軸系模型，通過(guò)等效思想轉(zhuǎn)化為均勻軸，推導(dǎo)了估算縱向振動(dòng)第1階固有頻率的無(wú)量綱方程，分析了對(duì)固有頻率的影響，為推進(jìn)軸系動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了參考，并為下一步進(jìn)行推進(jìn)軸系縱向振動(dòng)的控制研究打下了理論基礎(chǔ)。

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