王慶朋, 張力, 陳斌, 耿楊濤

(1.重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院, 400044, 重慶; 2.河南農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 450002, 鄭州)

在機(jī)械系統(tǒng)中,粗糙表面的接觸特性是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性、摩擦與磨損、疲勞與失效以及全壽命周期等分析的基礎(chǔ),并且將日益廣泛地成為關(guān)鍵科學(xué)技術(shù)問題,與之相應(yīng)地,如何考慮微凸體相互作用也變得愈加重要。

目前,研究粗糙表面接觸的方法主要有概率統(tǒng)計(jì)、分形理論、數(shù)值計(jì)算和確定性理論等。在概率統(tǒng)計(jì)方法中,常將微凸體視為比較簡(jiǎn)單的幾何模型,然后利用特定的概率密度函數(shù)將其拓展到整個(gè)粗糙表面,如經(jīng)典的GW[1]和BGT[2]等模型。在已有研究中更多地是處理為單個(gè)球體簡(jiǎn)單地疊加,忽略相互作用的影響,這顯然不符合實(shí)際接觸情況。Ciavarella等基于GW模型,通過改變名義接觸壓力來考慮微凸體相互作用,該方法等價(jià)于增加兩作用面間的間隔,文中也指出,只適用于中等載荷的分析[3]。Afferrante等利用高斯曲率的一階和二階近似,當(dāng)微凸體發(fā)生相互作用時(shí),將相鄰兩個(gè)微凸體曲率的幾何平均值視為新生成微凸體的曲率,由于要采用坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)曲率進(jìn)行計(jì)算,這將需要更多的計(jì)算成本[4]。在分形理論中,利用具有尺度獨(dú)立性的分形參數(shù)來表征粗糙表面以及相應(yīng)的接觸特性,忽略微凸體間的相互作用[5]。在數(shù)值計(jì)算方法中,楊楠等利用有限元方法對(duì)多粗糙峰進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)中心接觸區(qū)的變形受到相鄰一定數(shù)目粗糙峰的影響[6]。Hyun等采用同樣的方法對(duì)粗糙表面建立精確的彈性、無摩擦接觸模型,小至離散尺度,對(duì)接觸面積和接觸壓力進(jìn)行分析,事實(shí)上,接觸面積被過高地估計(jì)[7]。文獻(xiàn)[8]利用離散位錯(cuò)塑性的方法考慮微凸體相互作用,對(duì)一個(gè)等間距正弦表面壓縮,結(jié)果表明,考慮相互作用的微凸體發(fā)生平坦化所需要的接觸壓力要比未考慮的大。數(shù)值方法可以最大程度地逼近真實(shí)接觸情況,Persson對(duì)此指出,如果考慮宏觀器件到微觀原子,可能包括約7個(gè)數(shù)量級(jí),對(duì)應(yīng)1021個(gè)自由度,進(jìn)行計(jì)算顯然是不現(xiàn)實(shí)的[9]。對(duì)于確定性接觸模型,作者對(duì)已有微凸峰確定準(zhǔn)則進(jìn)行總結(jié),指出等效峰中可能存在不連續(xù)、重疊、丟失和半徑過小而被“吞沒”等問題,并且提出“谷-峰-谷”模式的確定準(zhǔn)則[10]。在已有的確定性接觸模型中未考慮微凸體相互作用。

目前,在接觸問題的研究中存在的主要限制是:①在接觸過程中,微凸峰的曲率半徑始終保持不變,事實(shí)是否如此;②如何考慮相鄰微凸體間的相互作用。事實(shí)上,在兩粗糙表面相互作用過程中,微凸體的大小和分布不可能是一成不變的,它們之間發(fā)生著物理的、化學(xué)的和力學(xué)的等綜合作用,必然會(huì)引起相應(yīng)狀態(tài)的變化。再者,從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來看,未包含微凸體相互作用的接觸模型是不完整的。鑒于此,本文在“谷-峰-谷”模式微凸峰確定性接觸模型的基礎(chǔ)上,通過引入幾何重疊和固體表面能來考慮微凸體相互作用,并且根據(jù)材料體積守恒原理對(duì)其進(jìn)行合并,在此基礎(chǔ)上分析粗糙表面接觸特性的變化規(guī)律。

1　模型的建立

1.1　單個(gè)微凸體接觸模型

對(duì)于單個(gè)微凸體的接觸,作者在文獻(xiàn)[11]中將微凸體的彈性和塑性接觸狀態(tài)拓展到整個(gè)接觸過程,提出混合彈塑性接觸模型。單個(gè)球體的接觸面積和接觸力分別為

A=f1(δ)(πrδ)+f2(δ)(2πrδ)

(1)

(2)

式中:E和r分別為等效彈性模量和球體半徑;δ為法向變形量;p0為塑性狀態(tài)下的平均接觸應(yīng)力;f1(δ)和f2(δ)分別為彈性和塑性狀態(tài)的比例系數(shù)(詳細(xì)證明過程見文獻(xiàn)[11])

(3)

其中n為Meyer硬度指數(shù),δy和δp分別為初始屈服點(diǎn)和完全塑性屈服點(diǎn)對(duì)應(yīng)的法向變形量。

1.2　粗糙表面輪廓

采用分形理論獲得一組二維粗糙表面輪廓,采樣長(zhǎng)度為800 μm、采樣間隔為0.5 μm時(shí)的粗糙度(算術(shù)平均偏差Ra和均方根偏差Rq)如表1所示。

表1　表面輪廓的粗糙度

利用文獻(xiàn)[10]中提出的“谷-峰-谷”模式的微凸峰確定準(zhǔn)則得到單個(gè)球體,進(jìn)而得到連續(xù)等效粗糙表面輪廓,如圖1所示。

圖1　粗糙表面輪廓及其等效峰

1.3　微凸體相互作用

粗糙界面作為一個(gè)系統(tǒng),其各尺度對(duì)應(yīng)的組成部分如零件表面結(jié)構(gòu)、微凸體、材料晶體、分子和原子等,無不處于運(yùn)動(dòng)和變化之中,這將引起表面形貌的重構(gòu)。固體表面能是由于表面分子間化學(xué)鍵遭到破壞,使表層原子朝向體相外側(cè)的鍵能無法得到補(bǔ)償而使其具有額外的能量。雖然固體表面能和表面張力的涵義不同,但是具有相等的數(shù)值,對(duì)于二維表面輪廓,也可以理解為改變單位長(zhǎng)度所需要的力。

固體介質(zhì)表面形貌的變化與地球板塊運(yùn)動(dòng)有著相似的變化規(guī)律,只是尺度上存在差異。地球上的板塊并不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地漂移,而是包括碰撞、擠壓和俯沖等相互作用。如果能夠理解青藏高原是由歐亞板塊和印度洋板塊相互作用造成的,那么相鄰微凸體間必然發(fā)生同樣的作用。事實(shí)上,相鄰微凸體在壓縮過程中發(fā)生平坦化,結(jié)合在一起就如形成一個(gè)大的微凸體,進(jìn)而承受更大的外載荷。

為了使分析得以簡(jiǎn)化,當(dāng)出現(xiàn)幾何重疊和超過固體表面能時(shí)將導(dǎo)致“大山峰”的形成。為了有效地表征相鄰微凸體間的合并,增加如下約束條件

(4)

式中:xc為等效圓圓心的橫坐標(biāo)值;rc為接觸圓半徑;μ為摩擦系數(shù);xol為重疊長(zhǎng)度;γsv為固體表面能。

當(dāng)滿足條件時(shí),利用面積相等將發(fā)生相互作用的等效圓進(jìn)行合并,有

π(r′(k))2=π(r(k))2+π(r(k+1))2

(5)

式中:r′為新生成圓的半徑。

圖2為等效粗糙峰及其重疊后合并的示意圖。計(jì)算得到新生成圓的半徑后,再利用合并前相鄰兩圓變形后的左右端點(diǎn)A、B,構(gòu)成三角形AO′B,如圖2中粗實(shí)線所示,利用三角形外接圓可確定新生成圓的圓心位置和峰高度,這為下一個(gè)壓縮步長(zhǎng)提供了一個(gè)新的表面輪廓。

圖2　等效粗糙峰及其重疊后合并的示意圖

1.4　計(jì)算流程

對(duì)于二維粗糙表面輪廓,根據(jù)GW建模方法[1],將兩個(gè)粗糙表面的接觸視為等效粗糙表面與剛性光滑平面接觸,主要的計(jì)算步驟如下:

(1)利用“谷-峰-谷”模式的微凸峰確定準(zhǔn)則,得到一連續(xù)的等效表面輪廓;

(2)在步驟(1)的基礎(chǔ)上,剛性平面的位置從等效粗糙表面的最高點(diǎn)開始,取一定的壓縮步長(zhǎng),利用1.1節(jié)中單個(gè)球體的接觸理論,計(jì)算發(fā)生接觸微凸體的接觸面積、接觸力和接觸圓半徑;

(3)通過步驟(2)中的計(jì)算結(jié)果,判斷相鄰微凸體接觸半徑是否重疊以及單位長(zhǎng)度上界面處球體與剛性平面之間的摩擦力是否大于固體表面能,當(dāng)條件成立時(shí),根據(jù)材料守恒原理,將這兩個(gè)微凸體合并為一個(gè)大的微凸體。

具體計(jì)算流程如圖3所示。

圖3　考慮微凸體相互作用的接觸特性計(jì)算流程

2　結(jié)果的比較

為了分析微凸體相互作用對(duì)接觸面積、微凸峰數(shù)量、平均峰半徑和峰高度等的影響,采用不同法向變形量、采樣間隔和粗糙度等方案,同時(shí)與未考慮微凸體相互作用的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

利用文獻(xiàn)[12]中金剛砂平板對(duì)一鋁合金球進(jìn)行壓縮的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示,取鋁合金材料的表面能γsv為77.8 mJ/m2,摩擦系數(shù)μ為0.06。

2.1　不同法向變形量的接觸特性

在壓縮過程中采用表面輪廓4,采樣間隔取為0.5 μm,壓縮量終值δe為等效粗糙峰中的最大峰值,取60個(gè)計(jì)算步長(zhǎng)。事實(shí)上,步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果也是有影響的,正如在變形過程中總應(yīng)變不等于各個(gè)階段應(yīng)變之和一樣。通過對(duì)比分析,取60和70個(gè)步長(zhǎng)時(shí)的接觸面積分別為1.361 6×10-2和1.360 0×10-2mm2,誤差已經(jīng)很小。

表2　鋁合金球壓縮實(shí)驗(yàn)中測(cè)試試件的參數(shù)[12]

2.1.1接觸面積接觸面積與法向參量之間的關(guān)系如圖4所示。從圖4a中可以看出,不論是否考慮微凸體相互作用,接觸面積與法向接觸力均為線性關(guān)系。對(duì)于經(jīng)典的接觸理論,如GW[1]、BGT[2]和Persson理論[9],數(shù)值仿真分析[7,13-14]以及文獻(xiàn)[15]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明,接觸面積與載荷的關(guān)系為線性或近似線性。由此可見,本文的分析結(jié)果與已有結(jié)論是吻合的。

(a)接觸面積和法向接觸力的關(guān)系

(b)接觸面積和法向變形量的關(guān)系圖4　接觸面積與法向參量之間的關(guān)系

從圖4b中可以看出,粗糙表面的接觸面積與法向變形量為類二次冪曲線關(guān)系,文獻(xiàn)[3]中也有類似的結(jié)果,但本文在水平方向上微凸體的合并使接觸面積增加,而在文獻(xiàn)[3]中發(fā)生接觸的微凸體使相鄰微凸體的原始基準(zhǔn)下降,導(dǎo)致接觸面積減小。此外,這與單個(gè)微凸體的結(jié)果還是有所差別的[11]。當(dāng)存在微凸體相互作用時(shí),曲線并不是光滑的,其主要原因是:①相鄰微凸體在滿足給定條件時(shí)出現(xiàn)合并;②新的微凸體參與接觸。當(dāng)變形量較小時(shí),微凸體相互作用較弱,隨著變形量的增加,所造成的影響也變得明顯。在工程應(yīng)用上,影響最大的就是密封問題,通過變形量并不能夠真實(shí)地反映接觸面積的變化,并且隨著零件表面積的增大,微凸體相互作用變得更為重要,從實(shí)際情況也可以得到,密封一個(gè)大的面積顯然要比密封一個(gè)小的困難得多。

2.1.2微凸峰的接觸特性對(duì)于特定的微凸峰形狀,一個(gè)粗糙表面最重要的參數(shù)是微凸峰數(shù)量、平均峰半徑和峰高度。微凸峰接觸特性與法向變形量的關(guān)系如圖5所示。在圖5a中,當(dāng)未考慮微凸體相互作用時(shí),微凸峰數(shù)量保持不變,為59個(gè);當(dāng)考慮相互作用時(shí),峰數(shù)量在初始?jí)嚎s時(shí)保持為59個(gè),隨著變形量的增加,峰數(shù)量逐漸減少,直到最后的38個(gè)。在圖5b中,未考慮相互作用時(shí),平均峰半徑為8.26 μm;考慮相互作用時(shí),平均峰半徑的變化與峰數(shù)量的變化正好相反,隨著法向變形量的增加而變大,最后達(dá)到10.01 μm。從圖5c可以看出,當(dāng)存在相互作用時(shí),平均峰高度的變化與峰半徑的變化類似,只是在數(shù)值上存在差異。

(a)微凸峰數(shù)量

(b)平均峰半徑

(c)平均峰高度圖5　不同法向變形量的微凸峰接觸特性

當(dāng)法向變形量較小時(shí),微凸體相互作用對(duì)接觸特性的影響不大,相應(yīng)的參數(shù)保持不變。隨著變形量增加,相鄰微凸體間的作用也逐漸明顯,小的微凸體合并為大的,與之相應(yīng),粗糙表面上的微凸峰數(shù)量減少,峰半徑和峰高度變大。考慮一種極端情況,所有的微凸體都發(fā)生完全塑性變形,最終的結(jié)果將只有一個(gè)微凸體,峰半徑和峰高度都趨向于無窮大,實(shí)現(xiàn)完全光滑平面。

2.2　不同采樣間隔的接觸特性

下面分析不同采樣間隔對(duì)接觸特性的影響,取法向變形量和計(jì)算步長(zhǎng)與2.1節(jié)的一致,采樣間隔分別為0.05、0.1、0.3 μm,并在0.5～5 μm之間每隔0.5 μm進(jìn)行一次取值。

2.2.1接觸面積接觸面積隨著采樣間隔的變化規(guī)律如圖6所示。接觸面積隨著采樣間隔的減小而變小,中間的波動(dòng)主要是由于不同的表面形貌信息造成的。對(duì)于考慮和未考慮相互作用的兩種方式,在較大的采樣間隔時(shí),兩者是重合的,微凸體間的相互作用不明顯。當(dāng)采樣間隔小于3 μm時(shí),相互作用開始變得明顯,使接觸面積變大,隨著采樣間隔的進(jìn)一步減小,在粗糙表面上有更多的微凸體發(fā)生相互作用,導(dǎo)致兩者之間的差距變得更大。在工程應(yīng)用上,采用高質(zhì)量的加工表面往往可以獲得更好的密封效果,這主要是因?yàn)楸砻婢哂懈嗑?xì)的微觀結(jié)構(gòu),在工作過程中將有更多的微凸體發(fā)生相互作用。

圖6　不同采樣間隔的接觸面積

2.2.2微凸峰的接觸特性微凸峰的接觸特性隨著采樣間隔的變化規(guī)律如圖7所示。

從圖7a中可以看出,微凸峰數(shù)量隨著采樣間隔的減小而增多,對(duì)于未考慮相互作用的微凸峰數(shù)量,從最少的10個(gè)增加到最多的65個(gè),這就如同在一定區(qū)域內(nèi)等效球體、晶胞和原子數(shù)的變化規(guī)律一樣[10],而考慮相互作用時(shí),從最少的10個(gè)增加到最多的41個(gè)。

平均峰半徑的變化如圖7b所示,隨著采樣間隔的減小,其變化趨勢(shì)與峰數(shù)量的變化正好相反。當(dāng)未考慮相互作用時(shí),平均峰半徑從最大的94.73 μm逐漸減小到采樣間隔為0.05 μm時(shí)對(duì)應(yīng)的7.55 μm,而考慮相互作用時(shí),兩者的差距從采樣間隔為3 μm開始逐漸增加,直到采樣間隔為0.05 μm時(shí)達(dá)到最大,對(duì)應(yīng)的峰半徑為9.34 μm。

(a)微凸峰數(shù)量

(b)平均峰半徑

(c)平均峰高度圖7　不同采樣間隔的微凸峰接觸特性

平均峰高度的變化如圖7c所示,對(duì)于未考慮相互作用的微凸體來說,其變化趨勢(shì)與平均峰半徑的變化類似,隨著采樣間隔的減小而減小。但是,當(dāng)考慮相互作用時(shí),同樣地,從采樣間隔為3 μm開始,微凸峰高度發(fā)生明顯的變化,與平均峰半徑不同的是,當(dāng)采樣間隔大于1.5 μm時(shí),平均峰高度基本上穩(wěn)定在4 μm,當(dāng)采樣間隔小于1.5 μm時(shí),平均峰高度出現(xiàn)較大的波動(dòng),這主要是由于微凸體相互作用造成的,在1 μm處存在一個(gè)最大值,為5.41 μm。

當(dāng)采樣間隔減小時(shí),粗糙表面上呈現(xiàn)出更多的微小結(jié)構(gòu),在外載荷的作用下微凸體間更容易發(fā)生相互作用。在分析過程中當(dāng)相鄰微凸體滿足給定條件時(shí),將兩個(gè)較小的微凸體合并為一個(gè)大的,這就造成總的微凸峰數(shù)量減少,峰半徑和峰高度變大,從圖7中也可以看出,越能反映粗糙表面上的微觀結(jié)構(gòu),微凸體間的相互作用越明顯。

2.3　不同粗糙度的接觸特性

2.3.1接觸面積為了分析不同粗糙度對(duì)接觸面積的影響,采用采樣間隔為0.5 μm對(duì)7個(gè)表面輪廓進(jìn)行分析。接觸面積隨著粗糙度的變化規(guī)律如圖8所示。兩種作用方式對(duì)應(yīng)的接觸面積均隨著粗糙度的減小而增大,基本上呈現(xiàn)為兩條平行線,這說明微凸體的作用方式與采樣間隔有著一定的聯(lián)系。

圖8　不同粗糙度的接觸面積

2.3.2微凸峰的接觸特性微凸峰特性與粗糙度之間的關(guān)系如圖9所示,與文獻(xiàn)[10]中的分析結(jié)果一致。不同作用方式下的接觸特性與法向變形量和采樣間隔對(duì)應(yīng)的結(jié)果類似。對(duì)于微凸峰數(shù)量和平均峰半徑,均為隨著粗糙度的減小而變大,而平均峰高度的變化,與前兩者正好相反,并且不同作用方式下的差距在縮小,這主要是因?yàn)檩^小粗糙度的原始峰高度較低。

(a)微凸峰數(shù)量

(b)平均峰半徑

(c)平均峰高度圖9　不同粗糙度的微凸峰接觸特性

3　結(jié)　論

本文在確定性接觸模型的基礎(chǔ)上,考慮微凸體間的相互作用,分析了粗糙表面在接觸過程中微凸體相互作用對(duì)接觸特性的影響,得到的主要結(jié)論如下。

(1)不論是否考慮微凸體相互作用,接觸面積與法向載荷的關(guān)系均為線性,這與理論、數(shù)值分析以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果是吻合的,驗(yàn)證了本文方法的有效性。

(2)在較小的法向變形量和較大的采樣間隔下,微凸體相互作用不明顯,接觸特性與獨(dú)立微凸體的一致。

(3)隨著法向變形量的增加、采樣間隔的減小,不同粗糙度下相互作用的影響變得愈加明顯,與未考慮微凸體相互作用的結(jié)果相比,微凸峰數(shù)量減少,而接觸面積、平均峰半徑和峰高度增大。

參考文獻(xiàn):

[1]GREENWOOD J A, WILLIAMSON J B P. Contact of nominally flat surfaces [J]. Proceedings of the Royal Society of London, 1966, 295: 300-319.

[2]BUSH A W, GIBSON R D, THOMAS T R. The elastic contact of a rough surface [J]. Wear, 1975, 35(1): 87-111.

[3]CIAVARELLA M, GREENWOOD J A, PAGGI M. Inclusion of “interaction” in the Greenwood and Williamson contact theory [J]. Wear, 2008, 265(5/6): 729-734.

[4]AFFERRANTE L, CARBONE G, DEMELIO G. Interacting and coalescing Hertzian asperities: a new multiasperity contact model [J]. Wear, 2012, 278/279(5): 28-33.

[5]MAJUMDAR A, BHUSHAN B. Fractal model of elastic-plastic contact between rough surfaces [J]. ASME Journal of Tribology, 1991, 113(1): 1-11.

[6]楊楠, 陳大融, 孔憲梅. 多粗糙峰彈塑性接觸的有限元分析 [J]. 摩擦學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 20(3): 202-206.

YANG Nan, CHEN Darong, KONG Xianmei. Elastic-plastic finite element analysis of multi-asperity contacts [J]. Tribology, 2000, 20(3): 202-206.

[7]HYUN S, PEI L, MOLINARI J F, et al. Finite-element analysis of contact between elastic self-affine surfaces [J]. Physical: Review EStatistical Nonlinear and Soft Matter Physics, 2004, 70(2): 188-206.

[8]SUN F W, GIESSEN E V, NICOLA L. Interaction between neighboring asperities during flattening: a discrete dislocation plasticity analysis [J]. Mechanics of Materials, 2015, 90: 157-165.

[9]PERSSON B N J. Contact mechanics for randomly rough surfaces: on the validity of the method of reduction of dimensionality [J]. Tribology Letters, 2015, 58(1): 1-4.

[10] 王慶朋, 張力, 杜寶程, 等. 粗糙表面確定性接觸模型中峰的再定義 [J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 50(11): 115-120.

WANG Qingpeng, ZHANG Li, DU Baocheng, et al. Re-definition of asperity-peak for deterministic contact model on rough surfaces [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2016, 50(11): 115-120.

[11] 王慶朋, 張力, 尚會(huì)超, 等. 考慮應(yīng)變硬化的混合彈塑性接觸模型 [J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 50(2): 132-137.

WANG Qingpeng, ZHANG Li, SHANG Huichao, et al. Mixed elastic-plastic contact model considering strain hardening [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2016, 50(2): 132-137.

[12] JAMARI J, SCHIPPER D J. Experimental investigation of fully plastic contact of a sphere against a hard flat [J]. ASME Journal of Tribology, 2006, 128: 230-235.

[13] CARBONE G, BOTTIGLIONE F. Asperity contact theories: do they predict linearity between contact area and load [J]. Journal of the Mechanics and Physics Solids, 2008, 56(8): 2555-2572.

[14] PAGGI M, CIAVARELLA M. The coefficient of proportionalityκbetween real contact area and load with new asperity models [J]. Wear, 2010, 268(7/8): 1020-1029.

[15] 張斌, 徐錦芬, 高志, 等. 摩擦過程中真實(shí)接觸面積的灰色分析 [J]. 摩擦學(xué)學(xué)報(bào), 1996, 16(1): 61-69.

ZHANG Bin, XU Jinfen, GAO Zhi, et al. Grey model analysis on real contact area during friction process [J]. Tribology, 1996, 16(1): 6169.