王智明, 任麗娜, 段紅燕, 楊海魚

(蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院, 730050, 蘭州)

金屬切削刀具作為機床的重要組成部分,其可靠性對整個機床工藝系統(tǒng)的加工效率和穩(wěn)定性有顯著的影響。量化評估刀具的可靠性,及時更換不合格刀具[1-3],不僅可以降低生產(chǎn)成本,提高經(jīng)濟效益,而且還可以保證工件表面加工質(zhì)量,因此準(zhǔn)確評估刀具的可靠性具有重要的經(jīng)濟價值。

刀具壽命是刀具可靠性評估的主要指標(biāo)之一,主要影響因素有切削速度v、進給量f、切削深度a等切削用量,因此以切削用量為主要模型參數(shù)的Taylor刀具壽命指數(shù)方程多元線性回歸法為常見的刀具壽命評估方法之一[4-5]。但是,影響刀具壽命的因素眾多,除切削用量外,還有刀具幾何形狀、刀具材料、工件材料、切削液及操作者的經(jīng)驗水平等。

概率統(tǒng)計法常用來評估刀具壽命及其可靠性。該方法認(rèn)為刀具壽命為隨機變量,且當(dāng)?shù)毒吣p形式為月牙洼磨損時,其壽命服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布;當(dāng)磨損形式為刀面附著磨損時,壽命服從Gamma分布;大多數(shù)情況下,刀具壽命服從Weibull分布。其中,Iakovou等解決了刀具壽命為Gamma分布時的加工經(jīng)濟問題[6],Kwon等研究了金屬陶瓷刀具壽命正態(tài)分布時的切削特性[7],Galante等給出了刀具壽命逆正態(tài)分布下的Taloy公式近似解法[8],樊寧等分析了刀具壽命服從對數(shù)正態(tài)分布時的可靠性[9],陳保家等提出了一種基于Logistic回歸模型和刀具振動信號的可靠性評估方法[10],Letot等根據(jù)車削惡化指標(biāo)預(yù)測了刀具的剩余壽命及可靠性[11]。

單一的統(tǒng)計分布模型未考慮切削用量等物理因素對刀具使用壽命及可靠性的影響,文獻(xiàn)[12-13]綜合統(tǒng)計分布模型和切削用量等可靠性主要影響因素,應(yīng)用刀具壽命統(tǒng)計分布比例危險模型分析了刀具的可靠性。比例危險模型是Cox在1972年提出的生存數(shù)據(jù)分析的主要模型,認(rèn)為對生存數(shù)據(jù)的建模需要考慮個體的異質(zhì)性影響,因該模型在Weibull等統(tǒng)計分布模型的基礎(chǔ)上綜合了影響個體差異的協(xié)變量,后來被推廣應(yīng)用于可靠性分析領(lǐng)域[14]。李常有等分析了刀具在恒定加工及定期補償條件下的刀具漸變狀態(tài)可靠性[15-16]。然而,在機械加工中,為了滿足工件不同的粗、精加工和表面質(zhì)量等加工工藝要求,同一把刀具除切削用量不斷變化外,加工部位及零部件類型亦不斷變化[17-21]。如45°外圓車刀,不僅能車削軸類零件外圓面,也可以車削盤類零件端面或倒角?？梢?由于刀具加工條件的變化,不能直接用不同加工條件下的工作時間進行可靠性分析,因此如何評價切削刀具在變加工條件下的可靠性便成為一個難題。

兩參數(shù)Weibull分布可靠性模型可用常見的最小二乘法和極大似然法進行求解,且當(dāng)其形狀參數(shù)為1時,退化為更為簡單的指數(shù)分布模型。因此,兩參數(shù)Weibull分布模型具有參數(shù)估計簡單和靈活性較強的特點,在可靠性分析中被廣泛應(yīng)用。當(dāng)用該模型分析刀具的可靠性時,表示刀具在任意時間內(nèi)均有可能發(fā)生故障。然而,根據(jù)工程實踐經(jīng)驗可知,許多刀具在投入使用后的某一時間段內(nèi)是不會發(fā)生故障的,且故障數(shù)據(jù)經(jīng)雙對數(shù)變換后在概率圖上不是一條直線,此時用三參數(shù)Weibull分布模型分析刀具故障更為合適。這是由于三參數(shù)Weibull分布模型因位置參數(shù)的存在,可用來描述刀具在某一使用時間段內(nèi)不發(fā)生故障的情況,且變換后的故障數(shù)據(jù)不在一條直線上[22-23]。

本文綜合考慮切削用量等主要因素,建立刀具可靠性評估的三參數(shù)Weibull比例危險模型。模型含有6個參數(shù),用常見的極大似然法求解時會產(chǎn)生含有6個變量的復(fù)雜方程組,且方程組沒有封閉的解析解,需借助如迭代法的某一數(shù)值解法,計算量偏大。另一方面,根據(jù)Nelson[24]累積失效原理可知,刀具失效是在不同加工條件下累積失效的結(jié)果。據(jù)此,可以把刀具在不同加工條件下的工作時間折合在同一加工條件下對其進行可靠性分析。所以,本文基于Nelson累積失效原理,采用貝葉斯仿真方法估計模型參數(shù),可避免求解復(fù)雜的方程組,減少了計算量。最后,結(jié)合實際案例給出了刀具變加工條件下的可靠度及故障率,解決了刀具在變加工條件下的可靠性分析難題,為刀具置換提供了理論指導(dǎo)。

1　刀具三參數(shù)Weibull比例危險模型

若刀具故障時間t服從三參數(shù)Weibull分布,則基準(zhǔn)故障率和可靠度函數(shù)分別為

h0(t)=λβ(t-γ)β-1

(1)

R0(t)=exp[-λ(t-γ)β]

(2)

式中:λ、β、γ分別為Weibull分布尺度參數(shù)、形狀參數(shù)及位置參數(shù)。

式(1)和式(2)未包含切削速度v、進給量f、切削深度a等參數(shù),即三參數(shù)Weibull分布模型未考慮刀具切削用量等主要因素對刀具故障率及可靠性的影響。Cox比例危險模型[25-26]以單一統(tǒng)計分布模型的故障率或可靠度為基準(zhǔn),并結(jié)合了其他物理因素,克服了這種單一統(tǒng)計分布模型的上述缺點。因此,以三參數(shù)Weibull分布模型的故障率為基準(zhǔn)故障率h0(t),綜合考慮刀具切削用量等協(xié)變量Z=(v,f,a)的影響,用Cox比例危險模型描述故障時,刀具故障率為

h(t)=h0(t)exp(k,Z)=λβ(t-γ)β-1exp(k,Z)

(3)

式中:k=(k1,k2,k3)為模型參數(shù),且

exp(k,Z)=exp(k1lnv+k2lnf+k3lna)=vk1fk2ak3

(4)

由比例危險模型可靠度和基準(zhǔn)可靠度關(guān)系R(t)=R0(t)exp(k,Z)及式(2)、式(4)可知,刀具可靠度為

R(t)=exp[-λ(t-γ)βexp(k,Z)]=

exp[-λ(t-γ)βvk1fk2ak3]

(5)

相應(yīng)的分布函數(shù)為

F(t)=1-R(t)=1-exp[-λ(t-γ)βvk1fk2ak3]

(6)

因此,由式(3)、式(5),得刀具壽命概率密度函數(shù)為

f(t)=h(t)R(t)=

λβ(t-γ)β-1vk1fk2ak3exp[-λ(t-γ)βvk1fk2ak3]

(7)

所以,不同切削用量下刀具故障時間ti(i=1,2,…,n)的似然函數(shù)為

(8)

式(8)兩邊取自然對數(shù),得對數(shù)似然函數(shù)為

(9)

式(9)含有λ、β、γ、k1、k2、k3等6個未知變量,對式(9)各變量求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0,會產(chǎn)生含有6個參數(shù)的方程組。該方程組通常沒有封閉的解析解,常用數(shù)值方法求解,計算量較大,因此可結(jié)合模型參數(shù)的先驗分布用貝葉斯仿真方法估計[13,27-28]。該仿真方法的思想如下:為了估計模型參數(shù),可結(jié)合模型參數(shù)的先驗分布及似然函數(shù),應(yīng)用貝葉斯原理,從參數(shù)滿足后驗分布中重復(fù)抽樣產(chǎn)生所估計參數(shù),直至找到穩(wěn)定的馬爾科夫鏈,然后舍棄過渡期抽樣值,取收斂抽樣均值即為參數(shù)估計值。貝葉斯仿真方法結(jié)合參數(shù)驗前經(jīng)驗,消除了模型的不確定性,所得結(jié)果更加接近真實值,同時也避免了方程組的求解,減少了計算量。

2　刀具變加工條件下的可靠度及故障率

如前所述,在機床切削過程中,刀具切削用量及加工零部件不斷變化,使得刀具的加工條件并非恒定不變,因此不能直接用不同加工條件下的工作時間進行可靠性分析。設(shè)刀具開始加工時間為t0,在m個不同加工條件末的加工時間分別為t1,t2,…,tm(m≥2,t0=0),則刀具在第m個加工條件末,順序經(jīng)歷了m個加工條件,那么在第m個加工條件下的工作時間Δtm=tm-tm-1。若刀具在此時失效,則其失效是在m個不同加工條件下累積失效的結(jié)果。所以,用Nelson提出的累積失效模型[24],可以把刀具在m個不同加工條件下的工作時間折合在同一加工條件下對其進行可靠性分析。

圖1　累積失效模型分布函數(shù)

累積失效模型廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品的加速壽命試驗中,該模型假設(shè)產(chǎn)品的剩余壽命僅依賴于當(dāng)時已累積失效部分和當(dāng)時的應(yīng)力水平,與累積方式無關(guān)。因此,刀具在第1個加工條件下工作t1時間的累積失效概率F1(t1)應(yīng)與在第2個加工條件下工作某一段時間τ1的累積失效概率F2(τ1)相等,即F1(t1)=F2(τ1),如圖1所示。換言之,刀具在第1個加工條件下的工作時間t1相當(dāng)于在第2個加工條件下的工作時間τ1。所以,刀具在經(jīng)歷了2個不同的工作條件下的累積工作時間,相當(dāng)于刀具只在第2個加工條件下的工作時間為Δt2+τ1,該時間折合到第3個加工條件下的工作時間τ2可由F2(Δt2+τ1)=F3(τ2)給出。不失一般性,前m-1個加工條件下的所有工作時間折合到只在第m個加工條件下的工作時間τm-1可由Fm-1(Δtm-1+τm-2)=Fm(τm-1)(τ0=0)遞推獲得。

可見,在整個加工過程中,刀具的分布函數(shù)F(t)為分段函數(shù),其表達(dá)式如下

(10)

不失一般性,結(jié)合式(6)和式(10)最后一項,得

式中:Δtm-1=tm-1-tm-2(m≥2,t0=0)。令j=m-1,則化簡后得刀具在第j(j=1,2,…,m)個變加工條件下的折合工作時間τj為

τj=γ+(tj-tj-1+τj-1-γ)·

(11)

式中:τ0=0。因此,由式(5)和式(10)最后一項,得刀具在第j個加工條件下的可靠度為

Rj(t)=R(t-tj-1+τj-1)=

tj-1≤t≤tj,t0=0,τ0=0,j=1,2,…,m

(12)

由式(3)得相應(yīng)的故障率為

hj(t)=h(t-tj-1+τj-1)=

tj-1≤t≤tj,t0=0,τ0=0,j=1,2,…,m

(13)

3　案例分析

文獻(xiàn)[18-19]分析了表1所示刀具壽命數(shù)據(jù),認(rèn)為刀具壽命服從兩參數(shù)Weibull分布,但經(jīng)分析計算發(fā)現(xiàn),該組數(shù)據(jù)服從三參數(shù)Weibull分布。文獻(xiàn)[18-19]中切削速度v、進給量f及切深a的單位分別為英尺/分鐘(fpm),英寸/轉(zhuǎn)(ipr),英寸(inches),結(jié)合金屬機械加工工程背景,現(xiàn)將其分別改為m/min、mm/r、mm。

AIC、BIC信息準(zhǔn)則是可靠性評估模型選擇的常用標(biāo)準(zhǔn)[29],其值分別為

vAIC=-2max lnL+2m

vBIC=-2max lnL+mlnn

表1　機床刀具切削用量及刀具壽命

式中:m為模型參數(shù)個數(shù);n為故障數(shù)據(jù)個數(shù);lnL為對數(shù)似然函數(shù)。不同模型的刀具壽命如表2所示,vAIC、vBIC越小表明模型的擬合度越高。

表2　刀具壽命統(tǒng)計分布選擇比較

從表2可見,在兩參數(shù)Weibull分布等眾多分布模型中,三參數(shù)Weibull分布模型的vAIC、vBIC值均最小,表明三參數(shù)Weibull分布模型是描述刀具故障的最佳模型。因此,應(yīng)用三參數(shù)Weibull比例危險模型,綜合切削用量等協(xié)變量對刀具壽命的影響,采用貝葉斯仿真方法得到模型參數(shù)點估計和區(qū)間估計及各種誤差如表3所示。

表3　切削刀具可靠性模型參數(shù)的貝葉斯估計

表4為變加工條件下刀具的順序加工時間及切削用量。應(yīng)用所提方法,根據(jù)式(11)得折合的等量切削時間分別為τ1=21.07 min,τ2=38.49 min,τ3=40.69 min。4個不同加工條件下的累積分布函數(shù)如圖2所示。

在變加工條件下,刀具的可靠度及故障率均為分段函數(shù),如在最后一個加工條件末t=80 min處,由式(12)和式(13)知其可靠度和故障率分別為

表4　變加工條件順序加工時間及切削用量

圖2　變加工條件下刀具累積分布函數(shù)

可見,在最后一個加工條件末刀具可靠度已很低。此時,若不能滿足生產(chǎn)要求,應(yīng)根據(jù)最小可靠度或最高故障率進行置換。

所有不同加工條件下的刀具可靠度及故障率分別如圖3和圖4所示。圖3顯示在不同加工時間分界點,即上一加工時間末和下一加工時間開始點,刀具的可靠度相同,如R1(30)=R2(30)。在整個加工過程中,刀具可靠度函數(shù)分段連續(xù)單調(diào)下降,但刀具故障率在分界時間點表現(xiàn)為突變上跳,其函數(shù)為分段不連續(xù)單調(diào)增加。該特點和恒定加工條件下刀具可靠度單調(diào)非分段連續(xù)下降及故障率連續(xù)單調(diào)遞增有所不同,表現(xiàn)出不同加工條件對刀具故障率的顯著影響。如在本案例中的第4、第3兩個不同加工條件下的時間分界點t=70 min處,刀具故障率之比為

刀具在其他分界點的故障率之比分別為h2(30)/h1(30)=1.494、h3(55)/h2(55)=1.213 5。可見,刀具在30、55、70 min 3個不同加工時間分界點的故障率分別增長49.40%、21.35%、33.94%,表現(xiàn)出刀具加工條件受切削用量、加工部位及不同類型等因素的影響。事實上,由式(5)、式(11)和式(12)可得

(14)

同樣,直接由式(5)和式(12),得

Rj(tj)=R(tj-tj-1+τj-1)=

(15)

比較式(14)和式(15),有

Rj(tj)=Rj+1(tj),j=1,2,…,m

可見,在不同加工時間分界點上可靠度相等,即其可靠度函數(shù)是連續(xù)的。

對于故障率,有

(16)

由于切削用量的變化,式(16)顯然不相等。本案例中hj+1(tj)/hj(tj)(j=1,2,3)均大于1,其故障率在3個不同加工分界點均為突變上跳,但需要指出的是,式(16)有可能小于1,即故障率在時間分界點也有可能突變下跳。

圖3　所有不同加工條件下的刀具可靠度的規(guī)律

圖4　所有不同加工條件下的刀具故障率的規(guī)律

4　結(jié)　論

綜合統(tǒng)計分布模型和影響刀具壽命的切削用量等物理因素,在分析兩參數(shù)Weibull分布等單一統(tǒng)計分布概率模型的基礎(chǔ)上,建立了刀具可靠性評估的三參數(shù)Weibull比例危險模型。基于該模型,利用Nelson累積失效原理,確定了不同加工時間在同一加工條件下的折合時間。結(jié)合貝葉斯仿真模型參數(shù)估計方法,揭示了刀具在變加工條件下的可靠度和故障率的變化規(guī)律,為更換不合格刀具提供了理論依據(jù)。與恒定加工條件下刀具的可靠性(故障率)為單調(diào)連續(xù)下降(上升)不同,在變加工條件下,刀具可靠度及故障率函數(shù)均為分段函數(shù),前者為分段連續(xù)單調(diào)遞減,后者因受切削用量等的影響,表現(xiàn)為分段不連續(xù)單調(diào)遞增,且在不同加工條件時間分界點突變上跳或下跳。

參考文獻(xiàn):

[1]CHEN J S. Optimization models for the tool change scheduling problem [J]. Omega, 2008, 36(5): 888-894.

[2]LETOT C, SERRA R, DOSSEVI M, et al. Cutting tools reliability and residual life prediction from degradation indicators in turning process [J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2016, 86(1/2/3/4): 495-506.

[3]SALONITIS K, KOLIOS A. Reliability assessment of cutting tool life based on surrogate approximation methods [J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014, 71(5/6/7/8): 1197-1208.

[4]CHOUDHURY S K, APPA RAO I V K. Optimization of cutting parameters for maximizing tool life [J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 1999, 39(2): 343-353.

[5]ORABY S E, HAYHURST D R. Tool life determination based on the measurement of wear and tool force ratio variation [J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2004, 44(12): 1261-1269.

[6]IAKOVOU E, IP C M, KOULAMAS C. Optimal solutions for the machining economics problem with stochastically distributed tool lives [J]. European Journal of Operational Research, 1996, 92(1): 63-68.

[7]KWON W T, PARK J S, KANG S. Effect of group IV elements on the cutting characteristics of Ti(C, N) cermet tools and reliability analysis [J]. Journal of Materials Processing Technology, 2005, 166(1): 9-14.

[8]GALANTE G, LOMBARDO A, PASSANNANTI A. Tool-life modelling as a stochastic process [J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 1998, 38(10/11): 1361-1369.

[9]樊寧, 艾興, 鄧建新. 陶瓷刀具的磨損壽命可靠性 [J]. 機械工程學(xué)報, 2002, 38(4): 30-35.

FAN Ning, AI Xing, DENG Jianxin. Reliability of ceramic cutting tool life by wear [J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2002, 38(4): 30-35.

[10] 陳保家, 陳雪峰, 李兵, 等. Logistic回歸模型在機床刀具可靠性評估中的應(yīng)用 [J]. 機械工程學(xué)報, 2011, 47(18): 158-164.

CHEN Baojia, CHEN Xuefeng, LI Bing, et al. Reliability estimation for cutting tool based on logistic regression model [J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(18): 158-164.

[11] LETOT C, SERRA R, DOSSEVI M, et al. Cutting tools reliability and residual life prediction from degradation indicators in turning process [J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2016, 86(1): 495-506.

[12] DING Feng, HE Zhengjia. Cutting tool wear monitoring for reliability analysis using proportional hazards model [J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2011, 57(5/6/7/8): 565-574.

[13] 張石平, 王智明, 楊建國. 機床刀具可靠性及壽命評估 [J]. 計算機集成制造系統(tǒng), 2015, 21(6): 1579-1584.

ZHANG Shiping, WANG Zhiming, YANG Jianguo. Tool reliability and life assessment for machine tools [J]. Computer Integrated Manufacturing Systems, 2015, 21(6): 1579-1584.

[14] CAI Gaigai, CHEN Xuefeng, LI Bing, et al. Operation reliability assessment for cutting tools by applying a proportional covariate model to condition monitoring information [J]. Sensors, 2012(12): 12964-12987.

[15] 李常有, 張義民, 王躍武. 恒定加工條件及定期補償下的刀具漸變可靠性靈敏度分析方法 [J]. 機械工程學(xué)報, 2012, 48(12): 162-168.

LI Changyou, ZHANG Yimin, WANG Yuewu. Gradual reliability and its sensitivity analysis approach of cutting tool in invariant machining condition and periodical compensation [J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(12): 162-168.

[16] LI Changyou, ZHANG Yimin. Time-variant reliability assessment and its sensitivity analysis of cutting tool under invariant machining condition based on Gamma process [J]. Mathematical Problems in Engineering, 2012(1): 542-551.

[17] ORAL A, CAKIR M C, GONEN D, et al. Experimental investigation of a novel machining strategy for rough turning using variable feed rate [J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2016, 87(1): 779-787.

[18] LIU H, MAKIS V. Cutting-tool reliability assessment in variable machining conditions [J]. IEEE Transactions on Reliability, 1996, 45(4): 573-581.

[19] LIU H, MAKIS V, JARDINE A K S. Scheduling of the optimal tool replacement times in a flexible manufacturing system [J]. IIE Transactions, 2001, 33(6): 487-495.

[20] RODRIGUEZ C E P, SOUZA G F M. Reliability concepts applied to cutting tool change time [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2010, 95(8): 866-873.

[21] ARAMESH M, SHABAN Y, YACOUT S, et al. Survival life analysis applied to tool life estimation with variable cutting conditions when machining titanium metal matrix composites (Ti-MMCs) [J]. Machining Science & Technology, 2016, 20(1): 132-147.

[22] 鄭銳. 三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計及在可靠性分析中的應(yīng)用 [J]. 振動與沖擊, 2015, 34(5): 78-81.

ZHENG Rui. Parameter estimation of three-parameter Weibull distribution and its application in reliability analysis [J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(5): 78-81.

[23] DJEDDI A Z, HAFAIFA A, SALAM A. Operational reliability analysis applied to a gas turbine based on three parameter Weibull distribution [J]. Mechanika, 2015, 21(3): 187-192.

[24] NELSON W. Accelerated life testing-step-stress models and data analyses [J]. IEEE Transactions on Reliability, 1980, 29(2): 103-108.

[25] COX D R. Regression models and life tables (with discussion) [J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series BMethodological, 1972, 34(2): 187-220.

[26] MERRICK J R W, SOYER R, MAZZUCHI T A. A Bayesian semiparametric analysis of the reliability and maintenance of machine tools [J]. Technometrics, 2003, 45(1): 58-69

[27] JIANG H, XIE M, TANG L C. Markov chain Monte Carlo methods for parameter estimation of the modified Weibull distribution [J]. Journal of Applied Statistics, 2008, 35(6): 647-658.

[28] JAHEEN Z F, HARBI M M A. Bayesian estimation for the exponentiated Weibull model via Markov chain Monte Carlo simulation [J]. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 2011, 40(4): 532 -543.

[29] 王智明, 楊建國, 王國強, 等. 多臺數(shù)控機床的時間截尾可靠性評估 [J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 2011, 43(3): 85-89.

WANG Zhiming, YANG Jianguo, WANG Guoqiang, et al. Reliability evaluation of multiple NC machine tools with time truncation [J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2011, 43(3): 85-89.