張華,何衛(wèi)東,張迎輝

(大連交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0　引言

擺線錐齒輪是一種重要的機械傳動零件，它具有承載能力強，傳動平穩(wěn)，噪聲小的優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于飛機，航空，船舶，汽車等傳動裝置中.目前孫中飛[1]等人對螺旋錐齒輪采用球面漸開線理論實現(xiàn)齒面曲線分段參數(shù)化，并用NURBS方法擬合建模，但沒有考慮實際齒輪加工.許春香[2]等人開發(fā)了擺線錐齒輪幾何尺寸和加工調(diào)整參數(shù)的計算模塊.湯兆平[3]等人結(jié)合齒線長幅外擺線展成線和齒廓球面漸開線推導(dǎo)其曲線方程并建模.張志民[4]等人做模態(tài)分析，得到10階固有頻率.

本文從擺線錐齒輪的切齒加工出發(fā)，結(jié)合齒輪嚙合原理推導(dǎo)出齒面方程，建立三維模型.運用有限元處理軟件對擺線錐齒輪進行模態(tài)分析，計算齒輪嚙合的臨界轉(zhuǎn)速，為擺線錐齒輪進一步進行動力學(xué)研究及結(jié)構(gòu)優(yōu)化打下基礎(chǔ).

1　擺線錐齒輪三維建模

1.1　刀刃方程

克林貝格擺線錐齒輪的加工采用展成法連續(xù)分度雙面銑齒加工，加工時沒有刀盤傾斜，加工出來的齒輪是等高擺線錐齒輪，齒線是標(biāo)準的延伸外擺線.它的加工原理是采用假想平面齒輪原理，刀盤轉(zhuǎn)過一組刀片，產(chǎn)形輪也轉(zhuǎn)過一個齒，刀盤繞自身的軸線自轉(zhuǎn)并且繞產(chǎn)形輪軸線公轉(zhuǎn).現(xiàn)在以大齒輪凸面為例.

刀盤坐標(biāo)系如圖1所示.坐標(biāo)系So固連在刀盤上，面對刀盤，坐標(biāo)系zo軸與刀盤軸重合，并且指向朝為zo軸的正方向，xo-yo平面通過刀齒節(jié)點并垂直于刀盤軸線.由圖中的幾何關(guān)系可以得到刀刃上任意點在坐標(biāo)系So中的矢量方程為：

(1)

其中，齒形角與齒輪法向壓力角相等都是αn，δo是刀齒方向角;m是分度圓平面內(nèi)的參考點;u是刀齒上任意一點到參考點m的距離;θo是刀盤自轉(zhuǎn)角度，規(guī)定逆時針旋轉(zhuǎn)為“+”，則順時針旋轉(zhuǎn)為“-”.

圖1　刀盤坐標(biāo)系

1.2　產(chǎn)形面方程

產(chǎn)形輪坐標(biāo)系如圖2所示.從刀盤坐標(biāo)系So到搖臺坐標(biāo)系Sm的坐標(biāo)變換矩陣為：

(2)

(3)

其中，βm是參考點處的螺旋角;Ex是齒輪徑向刀位;qp是齒輪角向刀位;θp是刀盤公轉(zhuǎn)的角度，與刀盤自轉(zhuǎn)角度θo的關(guān)系是：

(4)

其中，zo是刀盤的刀片組數(shù);zp是冠輪的齒數(shù);ipo是刀盤的刀片組數(shù)與冠輪齒數(shù)之比.

產(chǎn)形輪的產(chǎn)形面的齒面方程為下式：

rp(θo,u)=Mm1M1or(θo,u)

(5)

圖2　產(chǎn)形輪坐標(biāo)系

1.3　銑齒加工坐標(biāo)系及其方程

銑齒加工坐標(biāo)系如圖3所示，銑齒加工右旋大齒輪時，從搖臺正面看過去，搖臺是逆時針轉(zhuǎn)動，從輪坯的小端看過去，輪坯是順時針轉(zhuǎn)動.

圖3　銑齒加工坐標(biāo)系

建立機床固定坐標(biāo)系St，坐標(biāo)系St與機床固連，坐標(biāo)軸zt與搖臺坐標(biāo)軸zm重合并且方向相同.建立輔助固定坐標(biāo)系Sd，坐標(biāo)系通過齒輪頂點，坐標(biāo)軸zd與坐標(biāo)軸zt平行且方向相同.建立輔助固定坐標(biāo)系Se，坐標(biāo)原點Oe輔助坐標(biāo)系Sd的原點Od重合.建立輪坯動坐標(biāo)系S2，坐標(biāo)系可以繞坐標(biāo)軸x2旋轉(zhuǎn).

從搖臺坐標(biāo)系Sm到機床坐標(biāo)系St的坐標(biāo)變換矩陣為：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中，φp是搖臺轉(zhuǎn)過的角度;ERa是軸向輪位;Ep是垂直輪位;TW是床位;δM是輪坯安裝角;zp是冠輪的齒數(shù);z2是被加工齒輪的齒數(shù);i2p是冠輪齒數(shù)與被加工齒輪的齒數(shù)之比;φ2是輪坯轉(zhuǎn)過的角度，與搖臺轉(zhuǎn)過的角度φp的關(guān)系關(guān)系是

(10)

通過空間幾何坐標(biāo)變換得到的銑齒加工的方程數(shù)學(xué)表達式描述為下式：

1.4　齒面方程

在機床坐標(biāo)系St下的產(chǎn)形輪齒面方程為：

rt(φp,θo,u)=Mtm(φp)Mm1M1or(θo,u)

(12)

產(chǎn)形輪的單位法矢量為：

(13)

克林貝格擺線錐齒輪大、小齒輪均采用展成法加工，只需要把相對應(yīng)的機床調(diào)整進行改變就可以得到小齒輪的齒面方程.

由齒輪的嚙合原理得到：

(14)

聯(lián)立方程得到齒面方程為：

(15)

1.5　齒面點計算

擺線錐齒輪的齒輪軸截面作旋轉(zhuǎn)投影平面，如圖4所示.把齒輪旋轉(zhuǎn)投影平面平均劃分為網(wǎng)格，坐標(biāo)原點為齒輪輪坯的分錐頂點.齒面上的任意點坐標(biāo)值為：

(16)

其中，xD，yD是圖中D點的坐標(biāo)值，沿齒線方向(DA方向)分n份，沿齒高方向(DC方向)分m份，網(wǎng)格節(jié)點的序號為：i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，Δxi、Δyi、Δxj、Δyj分別表示任意點在DA方向和DC方向上坐標(biāo)的增量，則：

(17)

其中，h是齒高，b是齒寬.

圖4　齒面旋轉(zhuǎn)投影平面

齒面坐標(biāo)值與旋轉(zhuǎn)投影平面內(nèi)的坐標(biāo)值的關(guān)系為：

(18)

其中，x、y、z就是齒面在空間的點坐標(biāo)值.

由式(17)和式(15)聯(lián)立，運用數(shù)值計算得到輪坯齒面的離散點坐標(biāo)值.

1.6　齒輪三維模型建立

將數(shù)值模擬法得到的齒面離散點坐標(biāo)值導(dǎo)入CAD軟件，由齒面點坐標(biāo)值形成齒面網(wǎng)格線，再由齒面網(wǎng)格線生成齒面曲面，將齒面曲面進行剪切縫，然后進行實體化，得到單個齒，如圖5所示，旋轉(zhuǎn)陣列后建立擺線錐齒輪的實體模型.

圖5　齒面曲面及單齒實體

建立一對嚙合擺線錐齒輪，齒輪的相關(guān)幾何參數(shù)如下：左旋小齒輪齒數(shù)z1=24，為主動齒輪；右旋大齒輪齒數(shù)z2=49，為被動齒輪；中點法向模數(shù)mn=6.5 mm；法向壓力角αn=20°；中點螺旋角βm=35°；齒寬b=75 mm；齒頂高系數(shù)ha*=1；頂隙系數(shù)C*=0.25；切向變位系數(shù)xt=0.05；徑向變位系數(shù)x=0.181 4.建立的三維模型如圖6所示.

圖6　擺線錐齒輪小輪和大輪實體模型

2　擺線錐齒輪模態(tài)分析

2.1　有限元模型及約束施加

將CAD建模軟件中建好的擺線錐齒輪實體模型導(dǎo)入CAE有限元軟件中，進行齒輪模態(tài)分析.在有限元前處理器中設(shè)置實體單元類型為solid187，采取自動劃分網(wǎng)格，小輪劃分的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為8 916 1個，單元數(shù)為5 696 3個，大輪劃分的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為11 210 2個，單元數(shù)為70 738個.定義擺線錐齒輪的材料屬性：彈性模量E=2.06×105MPa，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7 800 kg/m3.

在施加擺線錐齒輪約束時，大齒輪內(nèi)表面與小齒輪軸外表面施約束，在自由振動狀態(tài)下求出齒輪各階的固有特征，不需要施加載荷，有限元約束模型如圖7所示.

圖7　小齒輪和大齒輪有限元約束模型

2.2　求解及結(jié)果分析

在solution下選取modal，在模態(tài)分析的分析選項中選取Block lanczos法進行模態(tài)提取，低階模態(tài)在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中起到比較重要的作用，在進行結(jié)構(gòu)振動特性分析時提取前10階模態(tài)，并且將擴展模態(tài)打開.經(jīng)過有限元計算，獲得擺線錐齒輪前10階模態(tài)的固有頻率及振型，如表1所示.

表1　擺線錐齒輪固有頻率 Hz

由于篇幅原因，列出小齒輪第3、5、7、9階主振型圖如圖8所示，大齒輪第3、5、7、9階主振型圖如圖9所示.

(a) 小齒輪第3、5階主振型

(b) 小齒輪第7、9階主振型

(a) 大齒輪第3、5階主振型

(b) 大齒輪第7、9階主振型

從表1的模態(tài)計算結(jié)果可以看出，小齒輪和大齒輪的固有頻率都是隨著階數(shù)的增加而逐漸增大，小齒輪的固有頻率要比大齒輪的固有頻率大，并且大齒輪固有頻率最小值達到4 000 Hz以上.從模態(tài)仿真的振型圖結(jié)果中可以看到齒輪主振型，在靜止?fàn)顟B(tài)下有扭轉(zhuǎn)振型，傘型振型，對折振型，圓周振型等，以及最大變形量及最大變形產(chǎn)生的位置等.例如在第5階模態(tài)時，頻率是12 138.0 Hz，主振型是對折振型，最大變形量是27.799 4 mm，最大變形量產(chǎn)生在X方向.為了防止系統(tǒng)共振現(xiàn)象的產(chǎn)生，在做齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計時，應(yīng)考慮到主振型并且盡量避開齒輪的固有頻率或者固有頻率的倍數(shù).

從表1可以知道大齒輪及小齒輪的最低固有頻率分別為4 206.6 Hz和7 178 Hz.齒輪副的嚙合頻率計算公式為：

(19)

式中，fm是嚙合頻率;ni是輸入軸轉(zhuǎn)速;zi是齒輪齒數(shù).

根據(jù)公式計算得出，小齒輪臨界最低轉(zhuǎn)速是17 945 r/min，大齒輪臨界最低轉(zhuǎn)速是5 151r/min.該小齒輪在實際工況中的最大轉(zhuǎn)速為1 969 r/min，從計算結(jié)果可以看到小齒輪的臨界最低轉(zhuǎn)速遠大于實際工況中的轉(zhuǎn)速，大齒輪的臨界最低轉(zhuǎn)速較小，但也比其實際工作轉(zhuǎn)速大，因此在正常工作狀態(tài)下兩個齒輪都不會發(fā)生共振.

3　結(jié)論

(1)根據(jù)克林貝格擺線錐齒輪的銑齒加工原理和機床調(diào)整參數(shù)，用數(shù)值模擬的方法得到齒面，從而得到更符合實際的齒輪模型;

(2)對擺線錐齒輪進行模態(tài)分析，得到前10階齒輪固有頻率和對應(yīng)的主振型及變形量，通過齒輪嚙合頻率計算得到可能發(fā)生共振時的理論工作轉(zhuǎn)速，驗證了齒輪在正常工作狀態(tài)下是不會發(fā)生共振.

參考文獻:

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