張元亨，張 森，普杰信，楊婷婷，金 超

（河南科技大學信息工程學院，河南 洛陽 471023）

0 引言

輪式移動機器人具有運動穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)簡單，控制較易等優(yōu)點，已經(jīng)廣泛應用于工業(yè)、運輸業(yè)、探測、國防等領(lǐng)域。然而，作為典型的非完整約束系統(tǒng)，輪式移動機器人不滿足Brockett必要條件［1］，線性系統(tǒng)理論中的一些經(jīng)典方法無法應用到其控制中，如何對輪式移動機器人進行較為精確的軌跡跟蹤控制是近些年來學者們研究較多的方向。文獻［2］提出了一種改進的PID控制器用于移動機器人的軌跡跟蹤控制，得到了較好的跟蹤效果。但這種控制器的魯棒性較差，對外界干擾不敏感。文獻［3］利用積分反演方法和Lyapunov直接法設(shè)計軌跡跟蹤控制器，完成了對滿足特定條件的參考模型的全局指數(shù)跟蹤。文獻［4-5］提出了一種有限輸入轉(zhuǎn)矩下移動機器人軌跡跟蹤控制器，但在設(shè)計時未考慮未知參數(shù)的問題。文獻［6］將自適應控制和模糊控制結(jié)合，設(shè)計了軌跡跟蹤控制率，實現(xiàn)對移動機器人位姿的跟蹤。文獻［7］將力矩控制和反演方法結(jié)合，設(shè)計出了具有全局穩(wěn)定性的軌跡跟蹤控制率。文獻［8］根據(jù)移動機器人的側(cè)向誤差和角度誤差設(shè)計出引導角，并將該引導角作為虛擬輸入，結(jié)合反演方法設(shè)計了基于機器人運動學模型的軌跡跟蹤控制率。文獻［9-11］將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)應用到了移動機器人控制器的設(shè)計中。

上述文獻的研究中，多數(shù)是將輪式移動機器人假設(shè)為剛體，運動過程未考慮因車體負載不均或生產(chǎn)瑕疵導致的輪子半徑變化問題，而移動機器人實際運動過程中，由于負載不均導致的左右輪半徑形變和大小不一都會對軌跡跟蹤控制的精度造成較大的影響。本文針對這一問題，在輪式移動機器人運動學模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合反演方法提出了一種新型的自適應軌跡跟蹤控制器，通過自校正率對移動機器人的輪子半徑進行估計，最后通過計算機仿真實驗對所提出的控制器的有效性和穩(wěn)定性進行驗證。

1 問題提出

本文以兩輪差分驅(qū)動的輪式移動機器人為研究對象，兩后輪各由一個獨立電機驅(qū)動，前輪為導向輪。當機器人運動時，左右兩個電機轉(zhuǎn)速不同，兩驅(qū)動輪會產(chǎn)生差動，進而實現(xiàn)車體的轉(zhuǎn)彎。移動機器人的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

rL和rR分別為左右兩輪的半徑，b為車體中心到驅(qū)動輪間的距離，為左右兩輪的角速度，φ為運動方向與X軸的夾角，輪式移動機器人的運動狀態(tài)可表示為表示移動機器人在笛卡爾全局坐標系中的位置，V，ω為機器人前進的線速度和角速度。移動機器人的運動學方程為：

由式（2）得：

將式（3）代入式（1）中，得：

假設(shè)局部坐標系與笛卡爾全局坐標系的夾角為φ，根據(jù)坐標變換公式，得到移動機器人的位姿誤差方程為：

位姿誤差微分方程為：

2 自適應反演軌跡跟蹤控制器設(shè)計

本部分的設(shè)計目標是基于反演方法設(shè)計自適應軌跡跟蹤控制器，在左右輪形變未知的情況下完成對參考軌跡的跟蹤任務，并使跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂，即尋找控制輸入，式（6）在該輸入下，有界，且。由于式（6）中不存在實際控制輸入，可采用反演方法，取移動機器人線速度V和角速度ω為虛擬控制量，其期望值記為。

步驟1為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，根據(jù)式（6）定義Lyapunov函數(shù)：

其中，k2為正的設(shè)計常數(shù)，式（7）的微分形式為

選取控制率：

將式（9）代入式（8）中，得：

步驟2由于左右輪半徑未知，上述設(shè)計的控制率無法直接用作軌跡跟蹤，需要基于反演法設(shè)計自適應控制器對未知的左右輪半徑進行估計。

控制目標可描述為：

定義Lyapunov函數(shù)：

對V2求導，得：

期望控制率為：

參數(shù)自適應率為：

將式（17）、式（18）代入式（16）整理得：

3 穩(wěn)定性分析

定理1考慮輪式移動機器人系統(tǒng)式（1）～式（3），控制率式（17）和參數(shù)自適應率式（18），對任意的初始誤差，系統(tǒng)在控制輸入的作用下跟蹤誤差有界，且。

證明 根據(jù)式（19），由 Barbalat引理［12］知，當 t→∞ 時，xe，φe收斂到零。用 ωd替換式（6）中的 ω，得：

因 t→∞ 時，φe收斂，式（20）可變?yōu)椋?/p>

Vr為常值，則t→∞時，收斂到零，有：

由式（21）、式（22）得：

因 t→∞ 時，φe→0，由 Barlalat引理，即為不為零的常量，則ye→0。

4 仿真驗證

利用matlab軟件對所提出算法的有效性進行仿真驗證。仿真參數(shù)設(shè)置如下：初始值，，跟蹤線速度和角速度均為勻速運動的圓軌跡，，半徑，初始位姿為［0 0 0］，仿真結(jié)果如下。

由以上仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)在所設(shè)計的控制率的作用下，對x軸，y軸和方向角的跟蹤效果良好，并且在較短時間內(nèi)跟蹤誤差收斂到零，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)，左右輪的估計值也能在短時間內(nèi)收斂到真實值，對參考軌跡跟蹤時取得了滿意的效果，表明了控制率的有效性和正確性。

5 結(jié)論

針對運動學模型描述的差分驅(qū)動輪式移動機器人系統(tǒng)，考慮生產(chǎn)瑕疵或不確定負載對輪子半徑的影響，將反演方法與自適應控制策略結(jié)合，設(shè)計了一種新型的軌跡跟蹤控制器，實現(xiàn)了在半徑未知情況下對給定參考軌跡的精確跟蹤控制，對圓形軌跡進行跟蹤的實驗結(jié)果表明，該算法能夠有效解決因車輪形變造成的無法對特定軌跡進行跟蹤的問題，并且跟蹤誤差收斂的時間較短，為特定情況下的輪式移動機器人的行業(yè)應用提供了理論依據(jù)。

參考文獻：

［1］BROCKETT R W.Asymptotic stability and feedback stabilization in differential geometric control theory［M］.Berlin：Spring-Verlag，1983：181-191.

［2］ABDALLA T Y，ABDULKAREM A A.PSO-based optimum design of PID controller for mobile robot trajectory tracking［J］.International Journal of Computer Applications，2012，47（23）：30-35.

［3］吳衛(wèi)國.移動機器人全局軌跡跟蹤控制［J］.自動化學報，2001，27（3）：326-331.

［4］LEE T C，SONG K T，LEE C H，et al.Tracking control of unicyclemodeled mobile robots using a saturation feedback controller ［J］.IEEE Transacions on Control Systems Technology，2001，9（1）：305-318.

［5］JIANG Z，LEFEBER E，NIJMEIJER H.Saturated stabilization and tracking of a nonholonomic mobile robot［J］.Systems and Control Letters，2001，42（1）：327-332.

［6］DAS T，KAR I N.Design and implementation of an adaptive fuzzy logic-based controller for wheeled mobile robots［J］.IEEE Trans on Control Systems Technology，2006,14（3）：501-510.

［7］BOLOGNANIS，TUBIANAL，ZIGLIOTTOM.Extend kalman filter tuning in sensorless PMSM drives［J］.IEEE Trans on Industry Applications，2003，39（6）：1741-1747.

［8］于浩，宿浩.基于引導角的輪式移動機器人軌跡跟蹤控制［J］.控制與決策，2015，30（4）：635-639.

［9］FIERRO R，LEWIS F L.Control of a nonholonomic mobile robot using neural networks［J］.IEEE Transaction on Neural Networks 1998，9（4）：589-600.

［10］HU T，YANG S X.An efficient neural controller for a nonholonomic mobile robot［C］//Proceeding of IEEE International Conference on Robotics and Automation.Piscataway：IEEE Press，2001：461-466.

［11］牛玉剛，楊成梧，陳雪如.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不確定機器人自適應滑膜控制［J］.控制與決策，2001，16（1）：79-82.

［12］POPOV V M.Hyperstability of control systems［M］.Berlin：Spring-Verlag，1973：372-373.