姚錦寶，夏　禾，胡敬梁

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京　100044)

軌道交通以其客運(yùn)量大、高速便捷、占地少等優(yōu)點(diǎn)，在交通運(yùn)輸中起著越來越重要的作用，但是軌道交通也引發(fā)了越來越嚴(yán)重的環(huán)境振動(dòng)問題，振害已經(jīng)成為七大公害之一[1]。對軌道交通引起的環(huán)境振動(dòng)隔振研究已引起了許多學(xué)者高度重視。

在以往的軌道交通隔振研究中，針對地表振動(dòng)問題的研究較多，并且隔振的方式以屏障為主，常見的有空溝、填充溝以及結(jié)構(gòu)隔振屏障等方式。Woods采用模型試驗(yàn)的辦法，對空溝隔振進(jìn)行了研究[2]。Adam等研究空溝對列車運(yùn)行引起振動(dòng)的影響時(shí)，借助有限元—邊界元耦合法進(jìn)行分析[3]。雷曉燕等研究了空溝尺寸和位置對空溝隔振效果的影響[4]。Jones C對鐵路沿線空溝隔振效果進(jìn)行了測試研究[5]。此外，巴振寧等在層狀場地3維精確動(dòng)力剛度矩陣和層狀半空間中移動(dòng)斜線荷載動(dòng)力格林函數(shù)的基礎(chǔ)上，采用移動(dòng)間接邊界元方法對隔振屏障和沉積谷地進(jìn)行離散求解[6-7]。

瑞利波衰減梯度與體波相比要小得多，在列車引起的土體振動(dòng)中，衰減較大的往往是體波。研究表明[5]，瑞利波成分占到環(huán)境振動(dòng)的67%，剪切波和壓縮波分別占26%和7%。因此，研究空溝對瑞利波隔振的衰減規(guī)律更具有實(shí)際意義。本文進(jìn)行空溝對瑞利波隔振效果規(guī)律的理論推導(dǎo)，并將空溝隔振對運(yùn)行列車引起的環(huán)境振動(dòng)影響進(jìn)行數(shù)值分析。

1　空溝對土體振動(dòng)隔振的理論研究

運(yùn)行列車引起的振動(dòng)在土體表面常以瑞利波的形式向遠(yuǎn)處傳播。

1.1　瑞利波的傳播

瑞利波的傳播有豎向和水平向2個(gè)方向，在均勻各向同性的自由半空間中，瑞利波引起的豎向和水平2個(gè)方向的位移振幅歸一化值[8]可由式(1) 計(jì)算。

(1)

根據(jù)參考文獻(xiàn)[9]，當(dāng)拾振點(diǎn)與振源相距較大時(shí)，在原點(diǎn)處的集中簡諧荷載f(t)=Peiωt(P為幅值、ω為荷載的圓頻率)作用下，瑞利波在傳播過程中，距荷載距離為r點(diǎn)的豎向位移uz和水平向位移uy分別為

(2)

(3)

其中，

運(yùn)行列車引起地表上一點(diǎn)的響應(yīng)可以認(rèn)為由多個(gè)集中簡諧荷載疊加而成，需要考慮時(shí)間和位置2個(gè)因素引起的相位變化，如圖1所示。圖中d為列車前后輪對距離。

圖1　多個(gè)豎向簡諧荷載疊加

若激振點(diǎn)處作用力的時(shí)程曲線呈非周期性變化，可通過快速傅里葉變換轉(zhuǎn)換成一系列周期性集中簡諧荷載的組合。

波在傳播過程中，在2種介質(zhì)分界面上會(huì)產(chǎn)生反射和透射，如圖2所示。圖中：I，R和T分別代表入射波、反射波和透射波。

圖2　入射波在2種介質(zhì)分界面處的反射與透射

波的反射和透射系數(shù)R和T分別為

(4)

其中，

式中：uI，uR，uT分別為入射波、反射波、透射波的位移；α為阻抗比[10]；ρ2，ρ1，c2，c1，A2和A1分別為入射和投射介質(zhì)的密度、波速和面積。

(5)

(6)

式中：Pj和θj分別為第j個(gè)豎向集中簡諧荷載的幅值和相位；λRj和ωj分別為第j個(gè)瑞利波的波長和角頻率。

1.2　瑞利波沿空溝傳播路徑及響應(yīng)

位于遠(yuǎn)場的空溝的尺寸和位置如圖3所示?？諟系慕孛鏋榫匦?，溝深為h，溝寬為w，空溝左側(cè)邊緣與振源距離為dR，則溝的截面邊緣長度s為2h+w。

圖3　位于遠(yuǎn)場的空溝的尺寸和位置示意圖

瑞利波在土體自由表面以下大約1.5倍瑞利波波長范圍內(nèi)隨深度快速衰減。遠(yuǎn)場的瑞利波沿地面及空溝自由表面?zhèn)鞑ヂ窂郊霸诳諟细鬓D(zhuǎn)角處的反射與透射如圖4所示。

oA段傳播的波包括：①來自振源的入射瑞利波I1；②I1經(jīng)過分界面AB反射后產(chǎn)生的反射波R1。

圖4　瑞利波沿地面及空溝傳播二維示意圖

AB段傳播的波包括：①根據(jù)分界面的連續(xù)條件，I1的透射波T1成為沿空溝AB段往下傳播的入射波I2；② I2經(jīng)分界面BE后產(chǎn)生的反射波R2。

BC段傳播的波包括：① I2的透射波T2成為沿BC段傳播的入射波I3；② I3經(jīng)過分界面CF后產(chǎn)生的反射波R3。

CD段傳播的波包括：①I3的透射波T3成為沿CD段傳播入射波I4；② I4經(jīng)過分界面DG后產(chǎn)生的反射波R4。

I4的透射波T4沿自由面上DG段傳播，形成了空溝外側(cè)土體自由表面的入射波I5。

經(jīng)推導(dǎo)，o點(diǎn)的簡諧荷載在DG段距溝右側(cè)邊緣距離為l處的豎向和水平位移為

(7)

(8)

式中：TBE和TCF分別為空溝底部B和C轉(zhuǎn)角處的透射系數(shù)。

由瑞利波沿自由表面的傳播規(guī)律可知，振動(dòng)隨深度快速衰減；當(dāng)深度大于1.5倍波長時(shí)，式(7)和式(8)中大括號(hào)里的第2項(xiàng)與第1項(xiàng)相比可忽略不計(jì)。

2　列車—軌道—土體—空溝隔振系統(tǒng)的有限元模型建立

列車—軌道—土體—空溝系統(tǒng)空間動(dòng)力分析三維模型可分解成列車—軌道和土體—空溝2個(gè)二維子系統(tǒng)模型。

2.1　列車—軌道系統(tǒng)模型

列車—軌道系統(tǒng)模型是由車輛模型、軌道模型按照Hertz輪軌接觸關(guān)系組成的系統(tǒng)。由于列車行進(jìn)過程中，豎向作用力比橫向力要大很多，因此僅考慮豎向作用力。

列車模型中每節(jié)車輛均是由車體、轉(zhuǎn)向架、輪對、二系彈簧和阻尼器組成的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。每個(gè)車體和轉(zhuǎn)向架各考慮沉浮和點(diǎn)頭2個(gè)自由度，每個(gè)輪對考慮沉浮1個(gè)自由度[11]。

將鋼軌、軌枕、道床等參振質(zhì)量都考慮在軌道系統(tǒng)模型內(nèi)，用一個(gè)3層質(zhì)量彈簧阻尼器系統(tǒng)表示。

列車—軌道系統(tǒng)二維模型如圖5所示。圖中:Mci，Jci，Zci和φci分別為第i節(jié)車輛質(zhì)量、點(diǎn)頭慣量、沉浮和點(diǎn)頭位移；Mti和Jti分別為第i節(jié)車輛轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量和點(diǎn)頭慣量；Ztij和φtij分別為第i節(jié)車輛第j個(gè)轉(zhuǎn)向架的沉浮和點(diǎn)頭位移；kti和cti分別為第i節(jié)車輛二系懸掛彈簧剛度和阻尼系數(shù)；kwi和cwi分別為第i節(jié)車輛的一系懸掛彈簧剛度和阻尼系數(shù)；Mwi和zwij分別為第i節(jié)車輛輪對質(zhì)量和第i節(jié)

圖5　列車—軌道系統(tǒng)模型

車輛第j個(gè)輪對的沉浮位移；c1，c2，c3，m1，m2，m3，k1，k2和k3分別為軌道系統(tǒng)3層質(zhì)量彈簧阻尼器的阻尼、質(zhì)量和剛度。

單根鋼軌的質(zhì)量線密度取61.22 kg·m-1，彈性模量取30 G·m-2，單根鋼軌繞垂直鋼軌走向的水平軸截面慣性矩取4×10-5m4。

2.2　土體—空溝系統(tǒng)模型

土體—空溝系統(tǒng)模型的基底為固定約束，側(cè)邊界為線彈性約束，其剛度根據(jù)土層的特性選取。由于軌道交通系統(tǒng)引起土體的振動(dòng)振幅不大，可近似假定地基土為線彈性體材料。模型沿軌道方向長度取120 m，與軌道中心線垂直的水平方向長度取80 m，深度取20 m，如圖6所示。

圖6　土體—空溝系統(tǒng)二維平面模型

將土體視為均勻半空間，故土層選用1種材料，其彈性模量取35 MN·m-2，質(zhì)量密度取1 800 kg·m-3，泊松比取0.4，阻尼比取0.1。

3　空溝隔振數(shù)值分析

數(shù)值分析選取南京輕軌列車以速度90 km·h-1運(yùn)行時(shí)在地基表面產(chǎn)生的豎向動(dòng)荷載作為激勵(lì)荷載，南京地鐵列車參數(shù)見文獻(xiàn)[12]，利用列車—軌道系統(tǒng)模型計(jì)算得到的豎向動(dòng)荷載時(shí)程曲線，如圖7所示。

圖7　豎向動(dòng)荷載時(shí)程曲線

改變空溝的深度、寬度、與振源的位置以及拾振點(diǎn)距空溝右側(cè)邊緣距離等參數(shù)，進(jìn)行運(yùn)行列車引起的土體振動(dòng)規(guī)律數(shù)值分析。

3.1 空溝深度的影響

取空溝寬1 m，動(dòng)荷載加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣25 m，空溝深度分別取0，1，2，3，4，6和8 m，進(jìn)行運(yùn)行列車引起的土體振礬數(shù)值分析。圖8為距空溝右側(cè)邊緣2 m位置處地表拾振點(diǎn)的水平向和豎向加速度頻譜隨空溝深度的變化圖。

圖8距空溝右側(cè)邊緣2 m處地表拾振點(diǎn)加速度頻譜隨空溝深度的變化圖

從圖8可以看出：隨溝深增加，水平向及豎向振動(dòng)的隔振效果均越明顯；空溝對高頻11～40 Hz的隔振效果較低頻1～10 Hz的隔振效果明顯；空溝隔振效果與瑞利波波長有關(guān)，大于瑞利波長時(shí)，隔振效果較好。

3.2　空溝寬度的影響

取空溝深4 m，動(dòng)荷載加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣25 m，空溝寬度分別取0.5，1，1.5和2 m，進(jìn)行運(yùn)行列車引起的土體振動(dòng)數(shù)值分析。圖9為距空溝右側(cè)邊緣2 m位置處地表拾振點(diǎn)的水平向及豎向加速度頻譜隨空溝寬度的變化圖。

從圖9可以看出：空溝寬度的變化對高頻11～40 Hz和低頻1～10 Hz振動(dòng)的隔振效果均不明顯；空溝寬度的變化對水平向振動(dòng)的隔振效果比豎向振動(dòng)明顯。

圖9距空溝右側(cè)邊緣2 m處地表拾振點(diǎn)加速度頻譜隨空溝寬度的變化圖

3.3　動(dòng)荷載加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣距離的影響

取空溝寬度1 m、空溝深度4 m，動(dòng)荷載加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣距離分別取16，20，24和28 m，進(jìn)行運(yùn)行列車引起的土體振動(dòng)數(shù)值分析。圖10為距加載點(diǎn)32 m位置處地表拾振點(diǎn)的水平向及豎向加速度頻譜隨動(dòng)荷載加載點(diǎn)距離的變化圖。

從圖10可以看出：加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣距離的增加，水平向和豎向振動(dòng)的隔振效果均不明顯;加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣距離的增加，高頻11～40 Hz振動(dòng)的隔振效果比低振1～10 Hz振動(dòng)明顯。

3.4　拾振點(diǎn)距空溝右側(cè)邊緣距離的影響

取空溝寬度1 m、空溝深度4 m，動(dòng)荷載加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣距離25 m，拾振點(diǎn)距空溝右側(cè)邊緣距離分別取4，6，8和10 m，進(jìn)行運(yùn)行列車引起的土體振動(dòng)數(shù)值分析。圖11為距空溝右側(cè)邊緣不同距離地表拾振點(diǎn)水平向及豎向加速度頻譜的變化圖。

圖10距加載點(diǎn)32 m處地表拾振點(diǎn)加速度頻譜隨動(dòng)荷載加載點(diǎn)距離變化圖

圖11距溝右側(cè)邊緣不同距離地表拾振點(diǎn)的加速度頻譜圖

從圖11可以看出：隨與距溝右側(cè)邊緣距離增大時(shí)，振動(dòng)總趨勢是降低的，水平向振動(dòng)的降低值比豎向大。由于土體表面發(fā)生反射，在空溝外側(cè)邊緣附近區(qū)域會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)加強(qiáng)現(xiàn)象。

4　理論公式驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文推導(dǎo)公式的有效性，選取仿真分析的空溝深度變化和拾振點(diǎn)距空溝右側(cè)邊緣距離變化工況用理論公式進(jìn)行計(jì)算，將其計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對比。

圖12為圖7的列車激勵(lì)荷載經(jīng)過快速傅里葉變換(FFT)后，疊加得到時(shí)程曲線。將其代入式(7)，得到拾振點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程曲線。

圖12FFT變換后豎向動(dòng)荷載時(shí)程曲線(v=90 km·h-1)

對比圖7與圖12發(fā)現(xiàn)，用于理論計(jì)算的經(jīng)過FFT變換得到的激勵(lì)荷載與用于數(shù)值分析輸入的激勵(lì)荷載相差較小。

圖13給出了空溝寬1 m，動(dòng)荷載加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣25 m，空溝深度分別為1，2，3，4，6和8 m時(shí)，由式(7)計(jì)算和數(shù)值分析得到的距空溝右側(cè)邊緣2 m處地表拾振點(diǎn)的豎向加速度頻譜。

圖14給出了空溝寬1 m，空溝深度4 m，動(dòng)荷載加載點(diǎn)距空溝左側(cè)邊緣25 m，拾振點(diǎn)距空溝右側(cè)邊緣距離分別為4，6，8和10 m時(shí)，由式(7)計(jì)算和數(shù)值分析得到的地表拾振點(diǎn)的豎向加速度頻譜。

從圖13和圖14中可以看出：公式計(jì)算和數(shù)值分析得到的地表拾振點(diǎn)的加速度均隨著溝深的增加而減小，隨拾振點(diǎn)距溝右側(cè)邊緣距離增大，豎向振動(dòng)均有降低趨勢，公式計(jì)算與數(shù)值分析結(jié)果的變化規(guī)律基本一致；理論計(jì)算與數(shù)值分析結(jié)果的量級(jí)相同，但由于理論計(jì)算時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)疊加時(shí)是相互獨(dú)立的，理論計(jì)算略高出數(shù)值分析結(jié)果。

圖13公式計(jì)算和數(shù)值分析得到的距空溝右側(cè)邊緣2 m處地表拾振點(diǎn)加速度頻譜隨空溝深度變化對比圖

圖14公式計(jì)算和數(shù)值分析得到的距溝右側(cè)邊緣不同距離地表拾振點(diǎn)的加速度頻譜對比

5　結(jié)　論

(1) 理論公式計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析計(jì)算結(jié)果基本一致，表明本文理論推導(dǎo)的公式可以用于分析空溝對運(yùn)行列車引起的環(huán)境振動(dòng)影響。

(2) 隨著空溝深度的增大，隔振效果均越明顯；空溝對高頻11～40 Hz的隔振效果比低頻1～10 Hz明顯。

(3) 空溝隔振效果與瑞利波波長有關(guān)，溝深大于瑞利敞長時(shí)，隔振效果較好。

(4) 空溝寬度、空溝位置以及拾振點(diǎn)距溝外側(cè)的距離對隔振效果均不明顯，但對水平向的隔振效果比豎向好。

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