王　嶸，余祖俊，朱力強(qiáng)，許西寧

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京　100044；2.北京交通大學(xué) 載運(yùn)工具先進(jìn)制造與測(cè)控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京　100044)

因?yàn)橄塑壙p，無(wú)縫鋼軌在長(zhǎng)度方向上不能自由伸縮。當(dāng)鋼軌溫度發(fā)生變化時(shí)，其內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生巨大的溫度應(yīng)力，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致脹軌、跑道及斷軌等事故的發(fā)生，直接威脅行車安全。所以，在線監(jiān)測(cè)無(wú)縫鋼軌內(nèi)部縱向溫度應(yīng)力，在應(yīng)力超過(guò)安全門限前及時(shí)預(yù)警，對(duì)于保證軌道結(jié)構(gòu)性能及列車運(yùn)行安全有著重要意義?，F(xiàn)有成熟的鋼軌溫度應(yīng)力在線監(jiān)測(cè)技術(shù)主要利用應(yīng)變法，在初始應(yīng)力或鎖定軌溫已知的條件下，可以計(jì)算出縱向應(yīng)力的絕對(duì)值。由于鎖定軌溫在鋼軌長(zhǎng)期服役過(guò)程中是經(jīng)常發(fā)生變化的，這種方法并不可靠。雖然可以利用橫向加力法[1]等其他離線手段定期測(cè)量鎖定軌溫，但需要在天窗時(shí)間、且滿足一定條件下解除一定長(zhǎng)度的扣件約束才能進(jìn)行，比較繁瑣。為此，目前國(guó)內(nèi)外都在研究能夠準(zhǔn)確監(jiān)測(cè)鋼軌溫度應(yīng)力絕對(duì)值的新方法。

相比于巴克豪森法、X射線法、超聲體波法等檢測(cè)鋼軌殘余應(yīng)力的方法，由于超聲導(dǎo)波在鋼軌中傳播時(shí)可以覆蓋鋼軌的全部橫截面，受鋼軌表面的殘余應(yīng)力影響較小，超聲導(dǎo)波法更能準(zhǔn)確檢測(cè)出鋼軌的縱向溫度應(yīng)力。與超聲體波法類似，超聲導(dǎo)波法也是基于聲彈性原理，即當(dāng)波導(dǎo)體應(yīng)力發(fā)生變化時(shí)，超聲導(dǎo)波傳播的速度會(huì)發(fā)生微小變化。例如，Chen[2]針對(duì)桿和平板的研究發(fā)現(xiàn)，隨著應(yīng)力增大，導(dǎo)波的相速度增大，群速度減少，通過(guò)測(cè)量群速度或相速度即可對(duì)應(yīng)力進(jìn)行檢測(cè)。

在實(shí)際應(yīng)用中，群速度的檢測(cè)設(shè)備相對(duì)簡(jiǎn)單、換能器體積小，因此目前對(duì)應(yīng)力在線監(jiān)測(cè)技術(shù)研究主要通過(guò)測(cè)量群速度實(shí)現(xiàn)。劉增華[3]獲得了鋼絞線低頻率段模態(tài)的群速度與拉應(yīng)力標(biāo)定曲線，通過(guò)測(cè)定鋼絞線中該模態(tài)的群速度計(jì)算出鋼絞線承載應(yīng)力值。對(duì)于鋼軌這類具有復(fù)雜截面的波導(dǎo)體，存在較多可以傳播的模態(tài)，因而容易發(fā)生多模態(tài)混疊現(xiàn)象，導(dǎo)致群速度測(cè)量不準(zhǔn)確。例如，許西寧[4]選取了一種對(duì)應(yīng)力敏感的35 kHz導(dǎo)波模態(tài)，獲得了該模態(tài)在不同應(yīng)力下的群速度標(biāo)定曲線，通過(guò)測(cè)定鋼軌中該導(dǎo)波的群速度計(jì)算出鋼軌溫度應(yīng)力值。然而由于35 kHz鋼軌導(dǎo)波模態(tài)過(guò)多，目前能夠?qū)崿F(xiàn)的群速度檢測(cè)精度仍無(wú)法滿足實(shí)際需求。

目前導(dǎo)波相速度的測(cè)量大多用于辨識(shí)導(dǎo)波模態(tài)，例如Alleyne[5]采用二維傅里葉變換處理信號(hào)，將模態(tài)分離并計(jì)算各模態(tài)相速度，通過(guò)理論計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，辨識(shí)模態(tài)的類型。由于相速度檢測(cè)需要利用相控陣技術(shù)，設(shè)備相對(duì)復(fù)雜，換能器體積也較大，目前在應(yīng)力檢測(cè)、監(jiān)測(cè)領(lǐng)域的研究較少。另一方面，應(yīng)力檢測(cè)對(duì)相速度測(cè)量精度的要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于模態(tài)識(shí)別對(duì)相速度測(cè)量精度的要求，而利用二維傅里葉變換等現(xiàn)有方法的相速度測(cè)量精度受到換能器陣列單元數(shù)量的限制，也無(wú)法滿足實(shí)際需求。

迄今為止，基于導(dǎo)波的鋼軌縱向溫度應(yīng)力檢測(cè)技術(shù)仍然處于實(shí)驗(yàn)室研究階段，將其應(yīng)用到實(shí)際工程中還需要解決導(dǎo)波模態(tài)選取、目標(biāo)模態(tài)激勵(lì)和特征參數(shù)計(jì)算等一系列關(guān)鍵問(wèn)題。為此，本文借助半解析有限元法，進(jìn)行基于超聲導(dǎo)波群速度和相速度的鋼軌應(yīng)力檢測(cè)方法研究。

1　基于導(dǎo)波的鋼軌應(yīng)力檢測(cè)原理

由聲彈性原理可知，導(dǎo)波在波導(dǎo)體中傳播的速度會(huì)受到傳播路徑上波導(dǎo)體應(yīng)力狀態(tài)的影響而發(fā)生變化。因此，可以通過(guò)測(cè)量導(dǎo)波在鋼軌內(nèi)部的傳播速度，依據(jù)鋼軌的應(yīng)力—導(dǎo)波傳播速度標(biāo)定曲線，間接檢測(cè)鋼軌的應(yīng)力。

鋼軌中的導(dǎo)波具有多模態(tài)和頻散特性，分析各個(gè)導(dǎo)波模態(tài)的傳播特性、選取目標(biāo)模態(tài)并設(shè)計(jì)其速度測(cè)量方法是研究基于導(dǎo)波的鋼軌應(yīng)力檢測(cè)技術(shù)的基礎(chǔ)。導(dǎo)波在波導(dǎo)體中的傳播特性一般用頻散曲線c-f進(jìn)行描述，其中f為導(dǎo)波信號(hào)的頻率，c為導(dǎo)波相速度cp或群速度cg。對(duì)于鋼軌這類具有復(fù)雜不規(guī)則截面的波導(dǎo)體，頻散曲線無(wú)法通過(guò)解析式描述，但可借助仿真方法獲得數(shù)值解，如半解析有限元法[6-8]。這里以我國(guó)高速鐵路廣泛使用的60 kg·m-1鋼軌(CHN60)為例[9]，定義其橫截面為y-z平面，導(dǎo)波沿鋼軌縱向傳播方向?yàn)閤方向，采用三角形單元對(duì)橫截面進(jìn)行有限元離散，如圖1所示。

在半解析有限元建模中，鋼軌橫截面上每個(gè)離散節(jié)點(diǎn)在x方向的振動(dòng)被假設(shè)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因此無(wú)限長(zhǎng)三維鋼軌模型可以簡(jiǎn)化為二維模型。對(duì)于任意導(dǎo)波頻率f，可以通過(guò)求解半解析有限元模型的特征方程得到一組關(guān)于波數(shù)ξ的解，其中每一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)一個(gè)可在鋼軌中傳播的導(dǎo)波模態(tài)。根據(jù)f及ξ，可以進(jìn)一步獲得此導(dǎo)波模態(tài)的理論相速度和群速度。圖2給出了零應(yīng)力狀態(tài)下CHN60鋼軌的導(dǎo)波理論相速度和群速度頻散曲線，其中，鋼軌彈性模量為E=210 GPa，泊松比為ν=0.3，密度ρ=7 800 kg·m-3。由圖2可以看出：在低頻段，鋼軌中主要存在4個(gè)導(dǎo)波模態(tài)，隨著頻率的增大，在鋼軌中傳播的導(dǎo)波模態(tài)的數(shù)量也越來(lái)越多；鋼軌中的導(dǎo)波具有頻散特性，即對(duì)于1個(gè)導(dǎo)波模態(tài)，頻率變化時(shí)，導(dǎo)波的速度也發(fā)生變化，這將造成含有多個(gè)頻率成分的波形在傳播過(guò)程中會(huì)不斷發(fā)生變化。鋼軌導(dǎo)波的多模態(tài)與頻散特性容易引起模態(tài)混疊、波形畸變等現(xiàn)象的發(fā)生，是制約相速度或群速度測(cè)量精度的重要因素。

圖1　CHN60鋼軌半解析有限元模型示意圖

圖2　零應(yīng)力狀態(tài)下CHN60鋼軌頻散曲線

當(dāng)鋼軌受到拉應(yīng)力或壓應(yīng)力時(shí)，導(dǎo)波的傳播速度將發(fā)生改變。圖3給出了0～1 kHz頻率范圍內(nèi)， CHN60鋼軌在零應(yīng)力和100 MPa拉應(yīng)力作用下導(dǎo)波的相速度和群速度頻散曲線。由圖3中的局部放大曲線可以看出，鋼軌在受到100 MPa拉應(yīng)力時(shí)，相速度和群速度都發(fā)生了微小變化。

圖3　零應(yīng)力和100 MPa拉應(yīng)力作用下的頻散曲線

表1給出了200 Hz導(dǎo)波在零應(yīng)力和100 MPa拉應(yīng)力作用的鋼軌中傳播的相速度和群速度變化對(duì)比。由表1可以看出，模態(tài)1速度變化率最大，說(shuō)明在4個(gè)模態(tài)中模態(tài)1對(duì)應(yīng)力最敏感，理論上應(yīng)該選取此模態(tài)檢測(cè)應(yīng)力。但在工程應(yīng)用中，由于受到換能器安裝位置、可靠性、經(jīng)濟(jì)性等因素的限制，還需要綜合考慮此模態(tài)是否便于激勵(lì)和接收、是否容易受到其他模態(tài)干擾。

表1　200 Hz導(dǎo)波在零應(yīng)力和100 MPa拉應(yīng)力作用下的鋼軌中傳播的相速度和群速度對(duì)比

2　鋼軌導(dǎo)波群速度與相速度測(cè)量方法

2.1　群速度

群速度的測(cè)量最少需要3個(gè)換能器，其中1個(gè)用于激勵(lì)，2個(gè)用于接收。激勵(lì)信號(hào)為包含若干周期的單一頻率正弦信號(hào)，激勵(lì)出的導(dǎo)波信號(hào)以波包的形式在鋼軌中傳播，接收信號(hào)通常包含多種頻率成分。群速度定義為多頻率合成波包的波峰的傳播速度，因此群速度也可認(rèn)為是能量和信息傳播的速度。為便于群速度的測(cè)量，激勵(lì)信號(hào)通常經(jīng)過(guò)漢寧窗調(diào)制，接收信號(hào)經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后可求解波包峰值時(shí)刻，利用時(shí)差法即可求解群速度[10-11]。

假設(shè)u(t)為采集到的單一導(dǎo)波模態(tài)的振動(dòng)波形，h(t)為u(t)的希爾伯特變換，則解析信號(hào)a(t)為

a(t)=u(t)+jh(t)

(1)

a(t)的包絡(luò)線e(t)為

(2)

由包絡(luò)線幅值的最大值e(t)max可以推出波峰到達(dá)的時(shí)刻t。利用上述方法可以分別求解2個(gè)接收換能器輸出信號(hào)的波包峰值時(shí)刻t1和t2，如圖4所示。如果已知2個(gè)接收換能器的位置x1和x2，可以求解相應(yīng)模態(tài)的群速度為

(3)

圖4　位置x1和位置x2的時(shí)域波形及包絡(luò)線

需要指出的是，如果在鋼軌中激勵(lì)出的導(dǎo)波模態(tài)數(shù)量超過(guò)1個(gè)，則波包可能含有多個(gè)模態(tài)成分，上述群速度的計(jì)算方法將失效。當(dāng)然，如果這些模態(tài)的群速度相差較大、波包又較短，則可通過(guò)合理調(diào)整激勵(lì)與接收換能器的間距，使得在接收位置不同模態(tài)的波包發(fā)生分離，形成多個(gè)具有單一模態(tài)的波包。此時(shí)，針對(duì)每個(gè)波包對(duì)即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)模態(tài)的群速度。由于導(dǎo)波信號(hào)受到頻散、衰減以及溫度和應(yīng)力變化等因素影響，保持具有足夠信噪比的單一模態(tài)波包在鋼軌中難以穩(wěn)定控制，通常只對(duì)群速度最快的模態(tài)存在測(cè)量的可能性。因此，在應(yīng)用中更為可行的方式是選取合適的激勵(lì)接收位置和振動(dòng)方向，使得目標(biāo)模態(tài)在此位置的振動(dòng)幅值遠(yuǎn)大于其他模態(tài)，接收到的波包可近似看做單一模態(tài)。此時(shí)，群速度的測(cè)量精度將在很大程度上取決于目標(biāo)模態(tài)與干擾模態(tài)的幅值比。通常來(lái)講，導(dǎo)波頻率越低，測(cè)量群速度所需的單一模態(tài)條件越容易滿足，測(cè)量精度也越高。但同時(shí)，頻率越低，導(dǎo)波激勵(lì)換能器體積越大，越不適合在鋼軌上進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)。

2.2　相速度

相速度的測(cè)量至少需要1個(gè)激勵(lì)換能器和1個(gè)陣列式接收換能器，激勵(lì)信號(hào)為連續(xù)正弦波激勵(lì)。設(shè)在沿鋼軌縱向的x方向采用陣列換能器采集的位移信號(hào)u(x,t)為

(4)

式中：uij(i=1, 2, …,n;j=1, 2, …,m)為采集點(diǎn)xj在時(shí)刻ti的位移幅值；n為時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)；m為空間采樣點(diǎn)數(shù)。

對(duì)u(x,t)進(jìn)行二維傅里葉變換[5]，可得

(5)

式中：ω為角頻率，ω=2πf，ξ=ω/cp。

通過(guò)分析H(ξ,f)，可以辨識(shí)存在的導(dǎo)波模態(tài)，并求解相應(yīng)模態(tài)的相速度，常規(guī)的處理方法如下。首先，尋找激勵(lì)中心頻率f附近的幅值等高線的峰值點(diǎn)集，如圖5所示的A，B，C，D，E。將峰值點(diǎn)的位置進(jìn)行一次線性最小二乘法擬合，得到ξ=af+b，其中，a和b為擬合系數(shù)。將激勵(lì)中心頻率f代入式中計(jì)算出該頻率下的波數(shù)ξ，利用公式cp=ω/ξ即可求出此模態(tài)的相速度。

圖5　頻率—波數(shù)峰值點(diǎn)位置示意圖

圖6　頻率—波數(shù)加權(quán)點(diǎn)位置示意圖

(6)

(7)

如此得到了頻率—波數(shù)圖上2個(gè)估計(jì)點(diǎn)sⅠ(fⅠ，ξⅠ)和sⅡ(fⅡ，ξⅡ)。當(dāng)需要估計(jì)任意頻率f處的ξ*時(shí)，可利用如下線性關(guān)系式。

(8)

2.3　任意目標(biāo)模態(tài)的速度測(cè)量

在測(cè)量任意模態(tài)的群速度或相速度時(shí)，為了避免其他模態(tài)的干擾，激勵(lì)與接收位置應(yīng)該設(shè)置在目標(biāo)模態(tài)與其他模態(tài)的振型位移相差較大的區(qū)域。例如，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)頻率為200 Hz時(shí)，鋼軌中存在4種導(dǎo)波模態(tài)，其振型如圖7所示，其中模態(tài)1為橫向彎曲模態(tài)，模態(tài)2為垂直彎曲模態(tài)，模態(tài)3為扭轉(zhuǎn)模態(tài)，模態(tài)4為伸展模態(tài)。如果在軌腰處施加垂直于鋼軌表面橫向(y方向)激勵(lì)，因?yàn)槟B(tài)2和4在此位置的y方向振幅為零，所以只能激勵(lì)出模態(tài)1和模態(tài)3。對(duì)于激勵(lì)出的模態(tài)1和模態(tài)3，在軌腰的x方向上，模態(tài)1的振幅遠(yuǎn)大于模態(tài)3，因此如果采用極化方向?yàn)閤方向的壓電換能器在此區(qū)域進(jìn)行接收，則模態(tài)3的影響可以忽略。

圖7　200 Hz下的4種鋼軌導(dǎo)波模態(tài)

由此可見(jiàn)，如果選取模態(tài)1作為應(yīng)力檢測(cè)的目標(biāo)模態(tài)，可以在軌腰處(如圖1的56號(hào)節(jié)點(diǎn))垂直于鋼軌表面進(jìn)行激勵(lì)，運(yùn)用極化方向?yàn)殇撥壙v向的陣列式換能器同步采集軌腰處的位移信號(hào)，則采集到的信號(hào)主要來(lái)自于模態(tài)1。采用二維傅立葉變換對(duì)采集的信號(hào)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)這里只接收到一個(gè)模態(tài)，其波峰位置的波數(shù)為3.142 m-1，頻率為199.219 Hz，對(duì)應(yīng)的相速度為398.440 m·s-1，對(duì)照?qǐng)D2中相速度的理論頻散曲線，確認(rèn)此模態(tài)為模態(tài)1(模態(tài)1的理論相速度為400.518 m·s-1)。采用本文提出的二次加權(quán)算法，可計(jì)算出此模態(tài)的相速度測(cè)量值約為400.922 m·s-1，與理論值相差0.404 m·s-1。另外，利用相同的激勵(lì)方法，通過(guò)時(shí)差法可求得群速度約為755.331 m·s-1，與模態(tài)1群速度的理論值757.291 m·s-1相差1.960 m·s-1。類似地，在軌腰施加沿鋼軌縱向激勵(lì)，將主要激勵(lì)出模態(tài)4，但最終的測(cè)量精度劣于模態(tài)1的結(jié)果。

圖8　零應(yīng)力下200 Hz導(dǎo)波模態(tài)1的2D-FFT結(jié)果

3　基于導(dǎo)波波速的應(yīng)力檢測(cè)精度

由以上的討論可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)波頻率、激勵(lì)與接收方式、檢測(cè)參數(shù)(相速度或群速度)等的選取對(duì)鋼軌應(yīng)力檢測(cè)精度都有影響。為了系統(tǒng)地分析這些因素對(duì)鋼軌溫度應(yīng)力檢測(cè)的影響規(guī)律，選取200 Hz，2 kHz和20 kHz低、中、高3個(gè)典型頻率進(jìn)行仿真研究。在每個(gè)頻率，針對(duì)相速度或者群速度，首先挑選對(duì)應(yīng)力最為敏感的模態(tài)，然后通過(guò)模態(tài)的振型分析，確定每個(gè)模態(tài)的最佳激勵(lì)與接收位置、方式。最后利用半解析有限元仿真獲取不同應(yīng)力條件下導(dǎo)波接收信號(hào)，計(jì)算珊速度或相速度及其應(yīng)力標(biāo)定曲線，并測(cè)試應(yīng)力檢測(cè)精度。

3.1　基于200 Hz導(dǎo)波的應(yīng)力檢測(cè)精度

由表1可以發(fā)現(xiàn)，200 Hz下4個(gè)模態(tài)中群速度與相速度變化率最大、即對(duì)應(yīng)力最為敏感的是模態(tài)1，其波長(zhǎng)約為2 m。通過(guò)振型分析，選擇在軌腰56號(hào)節(jié)點(diǎn)施加y方向的激勵(lì)，激勵(lì)信號(hào)設(shè)置成以200 Hz為中心頻率、漢寧窗調(diào)制的5個(gè)周期正弦波，56號(hào)節(jié)點(diǎn)x方向設(shè)置信號(hào)接收點(diǎn)。從距離激勵(lì)位置100 m處開(kāi)始，每間隔0.5 m設(shè)置1個(gè)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)，共有138個(gè)同步采集點(diǎn)。每個(gè)采集點(diǎn)的采樣頻率為8 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為4 096個(gè)。為了獲取應(yīng)力—速度標(biāo)定曲線，一共設(shè)置了21種應(yīng)力狀態(tài)，在-100～100 MPa，每間隔10 MPa為1個(gè)狀態(tài)點(diǎn)。對(duì)于相速度測(cè)量，在每種應(yīng)力狀態(tài)下，由138個(gè)采集點(diǎn)中依次抽取128個(gè)點(diǎn)構(gòu)成1次陣列測(cè)量數(shù)據(jù)，如此可構(gòu)成11組測(cè)量結(jié)果；對(duì)于群速度測(cè)量，由138個(gè)采集點(diǎn)中依次抽取2個(gè)點(diǎn)構(gòu)成1組測(cè)量數(shù)據(jù)，如此可構(gòu)成137組測(cè)量結(jié)果。將0，±20，±40，±60，±80和±100 MPa記為第1組應(yīng)力狀態(tài)，將±10，±30，±50，±70和±90 MPa記為第2組應(yīng)力狀態(tài)。第1組應(yīng)力狀態(tài)下求解的相速度和群速度結(jié)果將作為速度—應(yīng)力標(biāo)定曲線的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，第2組應(yīng)力狀態(tài)及求解的相速度和群速度數(shù)據(jù)將作為檢驗(yàn)應(yīng)力檢測(cè)精度的測(cè)試數(shù)據(jù)。

圖9給出了激勵(lì)信號(hào)頻率為200 Hz下，利用第1組應(yīng)力數(shù)據(jù)獲得的相速度與應(yīng)力、群速度與應(yīng)力的標(biāo)定曲線。

圖9　200 Hz下速度—應(yīng)力標(biāo)定曲線

由圖9可以看出，隨著應(yīng)力增加，模態(tài)1的相速度逐漸增大，群速度逐漸減小。

表2給出了2個(gè)標(biāo)定曲線在第1組應(yīng)力值下的標(biāo)定精度，其中，基于相速度的最小標(biāo)定誤差在100 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.099 MPa，最大標(biāo)定誤差在20 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.374 MPa；基于的群速度的最小標(biāo)定誤差在80 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.016 MPa，最大標(biāo)定誤差在20 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.057 MPa。利用上述標(biāo)定曲線和第2組應(yīng)力數(shù)據(jù)測(cè)試應(yīng)力估計(jì)精度，基于相速度的應(yīng)力估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差為0.767 MPa，基于群速度的應(yīng)力估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差為0.219 MPa。

表2　200 Hz導(dǎo)波相速度、群速度估計(jì)應(yīng)力的標(biāo)定精度

3.2　基于2 kHz導(dǎo)波的應(yīng)力檢測(cè)精度

表3給出了2 kHz導(dǎo)波在零應(yīng)力和100 MPa拉應(yīng)力作用的鋼軌中傳播的相速度和群速度變化對(duì)比。分析表3中相速度、群速度的變化率，可以發(fā)現(xiàn)：2 kHz下4個(gè)模態(tài)中相速度變化率最大的仍然是模態(tài)1，波長(zhǎng)約為0.531 m；群速度變化率最大的是模態(tài)3，波長(zhǎng)約為1.091 m。

表3　2 kHz導(dǎo)波在零應(yīng)力和100 MPa拉應(yīng)力作用下的鋼軌中傳播的相速度和群速度對(duì)比

按照選擇模態(tài)的方法，針對(duì)相速度測(cè)量的目標(biāo)模態(tài)選取模態(tài)1，在軌腰56號(hào)節(jié)點(diǎn)施加以2 kHz為中心頻率漢寧窗調(diào)制的y方向正弦激勵(lì)信號(hào)，并在56號(hào)節(jié)點(diǎn)x方向設(shè)置信號(hào)接收點(diǎn)。針對(duì)群速度測(cè)量的目標(biāo)模態(tài)選取模態(tài)3，在軌頂16號(hào)節(jié)點(diǎn)施加以2 kHz為中心頻率漢寧窗調(diào)制的z方向正弦激勵(lì)信號(hào)，并在16號(hào)節(jié)點(diǎn)x方向設(shè)置信號(hào)接收點(diǎn)。在59和16號(hào)節(jié)點(diǎn)，從鋼軌縱向30 m處開(kāi)始，每間隔0.1 m設(shè)置一個(gè)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)。圖10給出了二維傅立葉變換后模態(tài)1和模態(tài)3處理結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)頻率和波數(shù)計(jì)算2個(gè)模態(tài)的相速度大約為1 062.5和1 593.75 m·s-1，與理論計(jì)算的模態(tài)速度相符。

為了獲得速度—應(yīng)力標(biāo)定曲線，與200 Hz情況一樣，共設(shè)置了21種應(yīng)力狀態(tài)。圖11給出了在激勵(lì)信號(hào)頻率為2 kHz下，利用第1組應(yīng)力數(shù)據(jù)獲得的相速度與應(yīng)力、群速度與應(yīng)力的標(biāo)定曲線?？梢钥闯?，隨著應(yīng)力增加，模態(tài)1的相速度逐漸增大，模態(tài)3的群速度單調(diào)遞增。

圖10　零應(yīng)力下2 kHz導(dǎo)波模態(tài)1和模態(tài)3的2D-FFT結(jié)果

圖11　2 kHz下速度—應(yīng)力標(biāo)定曲線

表4給出了基于相速度、群速度估計(jì)應(yīng)力的標(biāo)定精度，其中基于相速度的最小標(biāo)定誤差在-100 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.095 MPa，最大標(biāo)定誤差在80 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.883 MPa；基于群速度的最小標(biāo)定誤差在0 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.084 MPa，最大標(biāo)定誤差在40 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.261 MPa。利用上述標(biāo)定曲線和第2組應(yīng)力數(shù)據(jù)測(cè)試應(yīng)力估計(jì)精度，基于相速度的應(yīng)力估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差為0.638 MPa，基于群速度的應(yīng)力估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差為0.740 MPa。

表4　2 kHz導(dǎo)波相速度、群速度估計(jì)應(yīng)力的標(biāo)定精度

3.3　基于20 kHz導(dǎo)波的應(yīng)力檢測(cè)精度

表5給出了2 kHz導(dǎo)波在零應(yīng)力和100 MPa拉應(yīng)力作用下的相速度和群速度變化對(duì)比?？梢园l(fā)現(xiàn)：20 kHz下共有13個(gè)模態(tài)，其中相速度變化率最大的是模態(tài)1，波長(zhǎng)約為0.083 m；群速度變化率最大的是模態(tài)6，波長(zhǎng)約為0.126 m。但分析模態(tài)1的振型可以發(fā)現(xiàn)，模態(tài)1不便于激勵(lì)，因此在應(yīng)力檢測(cè)中由敏感度次之的模態(tài)3代替。

表5　20 kHz導(dǎo)波在零應(yīng)力和100 MPa拉應(yīng)力作用下的鋼軌中傳播的相速度和群速度對(duì)比

按照選擇模態(tài)的方法，針對(duì)相速度測(cè)量的目標(biāo)模態(tài)選取模態(tài)3，在軌腰56號(hào)節(jié)點(diǎn)施加y方向的以20 kHz為中心頻率漢寧窗調(diào)制的正弦激勵(lì)信號(hào)，并在56號(hào)節(jié)點(diǎn)x方向設(shè)置信號(hào)接收點(diǎn)；針對(duì)群速度的測(cè)量目標(biāo)模態(tài)選取模態(tài)6，在軌頂64號(hào)節(jié)點(diǎn)施加y方向的以20 kHz為中心頻率漢寧窗調(diào)制的正弦激勵(lì)信號(hào)，并在64號(hào)節(jié)點(diǎn)y方向設(shè)置信號(hào)接收點(diǎn)。在56和64號(hào)節(jié)點(diǎn)，從鋼軌縱向3 m處開(kāi)始，每間隔0.02 m設(shè)置1個(gè)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)。圖12給出了二維傅立葉變換后模態(tài)3和模態(tài)6處理結(jié)果。2個(gè)模態(tài)的相速度分別為2 040.000和2 549.991 m·s-1，與理論計(jì)算的模態(tài)速度相符。

圖12　零應(yīng)力下20 kHz導(dǎo)波模態(tài)3與模態(tài)6的2D-FFT結(jié)果

為了獲得速度—應(yīng)力標(biāo)定曲線，與200 Hz和2 kHz情況一樣，共設(shè)置了21種應(yīng)力狀態(tài)。圖13給出了在激勵(lì)信號(hào)頻率為20 kHz時(shí)，利用第1組應(yīng)力數(shù)據(jù)獲得的相速度與應(yīng)力、群速度與應(yīng)力的標(biāo)定曲線。

圖13　20 kHz下速度—應(yīng)力標(biāo)定曲線

由圖13可見(jiàn)，隨著應(yīng)力增加，模態(tài)3相速度逐漸增大，模態(tài)6的群速度單調(diào)遞增。表6給出了相速度、群速度估計(jì)應(yīng)力的標(biāo)定精度，其中基于相速度的最小標(biāo)定誤差在-80 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.038 MPa，最大標(biāo)定誤差在0 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.832 MPa；基于群速度的最小標(biāo)定誤差在80 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.214 MPa，最大標(biāo)定誤差在40 MPa處，標(biāo)準(zhǔn)差為0.535 MPa。利用上述標(biāo)定曲線和第2組應(yīng)力數(shù)據(jù)測(cè)試應(yīng)力估計(jì)精度，基于相速度的應(yīng)力估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差為0.012 MPa，基于群速度的應(yīng)力估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差為3.430 MPa。

表6　2 kHz導(dǎo)波相速度、群速度估計(jì)應(yīng)力的標(biāo)定精度

3.4　不同檢測(cè)參數(shù)的應(yīng)力檢測(cè)精度對(duì)比

從以上3個(gè)典型激勵(lì)頻率下的仿真結(jié)果可以看出，隨著導(dǎo)波頻率的增大，基于相速度的應(yīng)力估計(jì)誤差基本保持不變，但是基于群速度的應(yīng)力估計(jì)誤差逐漸增大，特別是到了20 kHz高頻區(qū)，應(yīng)力估計(jì)誤差過(guò)大。目前，在現(xiàn)有基于導(dǎo)波的鋼軌應(yīng)力檢測(cè)、監(jiān)測(cè)技術(shù)研究中，20～60 kHz的導(dǎo)波信號(hào)由于在鋼軌中衰減率低而被廣泛使用，同時(shí)由于群速度檢測(cè)設(shè)備復(fù)雜度低、造價(jià)低、體積小，便于現(xiàn)場(chǎng)安裝使用，因此群速度測(cè)量已經(jīng)成為鋼軌應(yīng)力檢測(cè)的主要手段。然而，上述研究結(jié)果表明，基于高頻段導(dǎo)波的應(yīng)力檢測(cè)應(yīng)該以相速度，而不是群速度，作為檢測(cè)參數(shù)。

另外，雖然利用常規(guī)的峰值坐標(biāo)擬合法可由二維傅里葉變換直接計(jì)算相速度，但與本文提出的二次加權(quán)修正的相速度相比，最終的應(yīng)力估計(jì)誤差相差很大。表7給出了不同激勵(lì)頻率下，基于峰值坐標(biāo)擬合相速度與基于二次加權(quán)修正相速度的應(yīng)力估計(jì)誤差。由表7可見(jiàn)：二次加權(quán)修正相速度估計(jì)結(jié)果比峰值坐標(biāo)擬合相速度的整體要好，且隨著頻率的增大，基于后者的應(yīng)力估計(jì)誤差越來(lái)越大，這是由波數(shù)的分辨率不夠所導(dǎo)致的。例如在采用峰值坐標(biāo)擬合法求取2 kHz下各個(gè)應(yīng)力狀態(tài)相速度時(shí)，由于二維傅里葉變換分辨率的限制，提取出的20和40 MPa下的5個(gè)峰值坐標(biāo)是一樣的，導(dǎo)致在不同應(yīng)力條件下的相速度測(cè)量值一樣，產(chǎn)生很大的應(yīng)力估計(jì)誤差。

圖14給出了在2 kHz為激勵(lì)頻率下，不同應(yīng)力狀態(tài)下峰值坐標(biāo)擬合相速度與二次加權(quán)修正相速度對(duì)比效果圖。可以看出，使用二次加權(quán)修正后的相速度計(jì)算值在不同的應(yīng)力狀態(tài)下能夠均勻變化，有利于對(duì)應(yīng)力進(jìn)行辨識(shí)，減少估計(jì)誤差。

表7基于峰值坐標(biāo)擬合法與基于二次加權(quán)修正法的應(yīng)力估計(jì)誤差

頻率峰值坐標(biāo)擬合法標(biāo)準(zhǔn)差/MPa二次加權(quán)修正法標(biāo)準(zhǔn)差/MPa200Hz1 6040 5922kHz11 0510 75120kHz42 6700 603

圖142 kHz不同應(yīng)力狀態(tài)下峰值坐標(biāo)擬合相速度與二次加權(quán)修正相速度對(duì)比

4　結(jié)　語(yǔ)

本文采用半解析有限元方法分析了鋼軌導(dǎo)波在縱向應(yīng)力作用下的變化規(guī)律，提出了最優(yōu)導(dǎo)波模態(tài)選取、激勵(lì)和接收方法。針對(duì)二維傅里葉變換分辨率受限的難題，提出了基于二次加權(quán)的相速度修正方法，解決了陣列換能器單元數(shù)量有限情況下的相速度高精度計(jì)算問(wèn)題?；谡撐奶岢龅姆椒?，利用仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了對(duì)于不同頻率段的導(dǎo)波信號(hào)，需要選擇不同類型的速度作為檢測(cè)參數(shù)來(lái)估計(jì)應(yīng)力。在低頻段，相速度和群速度有著相似的檢測(cè)精度，考慮到群速度檢測(cè)設(shè)備結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、造價(jià)低、體積小，便于現(xiàn)場(chǎng)安裝使用，應(yīng)當(dāng)選取群速度為特征量檢測(cè)應(yīng)力。但隨著頻率的增加，導(dǎo)波模態(tài)的數(shù)量也明顯增加，群速度的計(jì)算誤差增大，而相速度計(jì)算受到的影響較小，應(yīng)該選取相速度為特征量檢測(cè)應(yīng)力。因此，如果在未來(lái)的應(yīng)用中，選取低頻段作為導(dǎo)波激勵(lì)信號(hào)時(shí)，應(yīng)該選取群速度為特征量檢測(cè)應(yīng)力；如果選取20 kHz以上的超聲導(dǎo)波作為導(dǎo)波激勵(lì)信號(hào)，則應(yīng)該選取相速度為特征量檢測(cè)應(yīng)力。

需要指出的是，當(dāng)超聲導(dǎo)波在實(shí)際鋼軌中傳播時(shí)，由于鋼軌材料的阻尼特性，導(dǎo)波信號(hào)的能量會(huì)隨著傳播距離的增加而逐漸減小，造成信噪比降低，進(jìn)而影響相速度或群速度的測(cè)量精度。但由于在應(yīng)力監(jiān)測(cè)應(yīng)用中，超聲導(dǎo)波發(fā)射與接收換能器距離較近，阻尼特性對(duì)信噪比影響較小，對(duì)兩者測(cè)量精度的影響差異更是可以忽略不計(jì)。因此，雖然本文在研究中未考慮鋼軌的阻尼特性，論文的整體結(jié)論并不受影響。

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