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高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題分析及應(yīng)對(duì)策略

2018-04-24 13:01王安拓張華
報(bào)刊薈萃(上) 2018年3期
關(guān)鍵詞:壓軸題導(dǎo)數(shù)應(yīng)對(duì)策略

王安拓 張華

摘 要:在當(dāng)前的高考?jí)狠S題當(dāng)中函數(shù)導(dǎo)數(shù)是其主要的考點(diǎn)之一,近些年在各個(gè)地區(qū)的高考題當(dāng)中不斷創(chuàng)新,并且在這當(dāng)中,從歷屆高考數(shù)學(xué)實(shí)際的得分情況來看函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的得分情況不是很高,大部分考生的得分往往都比較低,通過近些年的考試總結(jié)分析,在這當(dāng)中主要有兩個(gè)方面的問題,第一,解題的思路不是很清楚;第二,對(duì)于函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)題目在實(shí)際的解答當(dāng)中對(duì)于其方法的掌握不是很清楚,雖然對(duì)方法平時(shí)掌握很多,但是在實(shí)際的問題當(dāng)中往往不知如何應(yīng)用,因此本文主要就選取近些年若干道壓軸題,對(duì)高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題分析及應(yīng)對(duì)策略進(jìn)行分析和探討。

關(guān)鍵詞:高考函數(shù);導(dǎo)數(shù);壓軸題;應(yīng)對(duì)策略

一、運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的方式解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)問題

對(duì)于等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,其主要就是對(duì)于一些未知的問題有效的轉(zhuǎn)變?yōu)楫?dāng)前已經(jīng)有的可以處理問題的范圍之內(nèi)的一種解題思想,采用合理的轉(zhuǎn)化,將一些比較復(fù)雜以及不規(guī)范的問題合理的轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^熟悉的問題。通過歷屆高考試題可以發(fā)現(xiàn),等價(jià)轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的非常多。其轉(zhuǎn)化方式主要有以下幾個(gè)方面:①等價(jià)轉(zhuǎn)化;②將空間圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形;③實(shí)現(xiàn)整體和局部之間的有效轉(zhuǎn)變;④一般和特殊之間的轉(zhuǎn)變;⑤非等價(jià)轉(zhuǎn)變;⑥代換以及換元等方式的有效應(yīng)用;⑦正反之間的轉(zhuǎn)變;⑧數(shù)形之間的轉(zhuǎn)變;⑨相等和不等之間的轉(zhuǎn)化;⑩常量和變量之間的轉(zhuǎn)化;?對(duì)數(shù)學(xué)問題和實(shí)際的問題之間的有效轉(zhuǎn)變。

例1已知函數(shù)f(x)=2x3-3x。若過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍。

解:曲線y=f(x)和點(diǎn)P(1,t)的直線相切點(diǎn)為(x0,y0),則y0=2x03-3x0,即切線的斜率為k=6x02-3,所以該方程主要是y-y0=(6x02-3)(x-x0)。將點(diǎn)P(1,t)代入,得t-y0=(6x02-3)(1-x0),整理得4x03-6x02+t+3=0。這樣其就有效的換變使得這個(gè)方程有三個(gè)不相同的解題方式。設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3,則“過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價(jià)于“函數(shù)g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”。

因?yàn)間'(x)=12x2-12x=12x(x-1),當(dāng)x變化時(shí),g(x)與g'(x)的變化情況如下:

所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值。

當(dāng)g(0)>0且g(1)<0,即-30,由于g(x)在區(qū)間(-∞,0),(0,1),(1,+∞)上單調(diào),因此g(x)分別在區(qū)間(-1,0),(0,1)和(1,2)上各有1個(gè)零點(diǎn),即g(x)分別在區(qū)間(-∞,0),(0,1),[1,+∞)上各有1個(gè)零點(diǎn)。

由此可以知道,在過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時(shí),t的取值范圍是(-3,-1)。

在對(duì)于這類問題進(jìn)行實(shí)際的研究和處理當(dāng)中,應(yīng)用科學(xué)合理的方式,能夠使得相應(yīng)的問題從相關(guān)的狀態(tài)當(dāng)中轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗獾膗昂太,即在完成轉(zhuǎn)化之后實(shí)現(xiàn)其他情形的相關(guān)問題能夠獲得合理的處理,采用這種方式對(duì)于問題的處理非常良好,并且也是一種科學(xué)合理的思想解題方式。在轉(zhuǎn)變當(dāng)中其通常特點(diǎn)主要就是多樣性以及層次性和重復(fù)性等,同時(shí),在這當(dāng)中,按照相應(yīng)的解題原則實(shí)現(xiàn)函數(shù)的解答。對(duì)于上文中的題目轉(zhuǎn)化,能夠使得切線自身的條數(shù)有效的轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的零點(diǎn)數(shù)量,從而為函數(shù)題的處理奠定基礎(chǔ)。

二、運(yùn)用分類與整合思想解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)問題

對(duì)于分類和整合思想的應(yīng)用也是非常主要的一種數(shù)學(xué)解題思想方式,在問題相對(duì)應(yīng)的對(duì)象很難實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一處理時(shí),在這當(dāng)中,通常就需要對(duì)對(duì)象有效的分類處理,并且對(duì)于相關(guān)的類別實(shí)現(xiàn)研究,從而在此基礎(chǔ)上獲得這一類的結(jié)果,最終將各個(gè)結(jié)果有效的綜合起來,使得整體問題能夠?qū)崿F(xiàn)解答。從近些年高考試題當(dāng)中可以看出,對(duì)于分類以及整合思想在考察中主要有以下幾個(gè)方面:①對(duì)分類意識(shí)加強(qiáng)考察,在遇到相應(yīng)的分類問題時(shí),需要確保對(duì)分類的目的以及問題合理的獲得;②采用何種方式實(shí)現(xiàn)分類,也就是對(duì)分類科學(xué)的實(shí)現(xiàn),對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)需要確保其相同;③在完成分類之后對(duì)題目怎樣開展,加強(qiáng)討論,逐次開展,不能跳級(jí);④如何整合。

例2已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx-2的圖像過點(diǎn)(-1,-6),且函數(shù)g(x)=f'(x)+6x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;

若a>0,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)的極值。

錯(cuò)解:一些學(xué)生認(rèn)為極值點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)該在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi),這樣就會(huì)出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。因此對(duì)于這一類問題,通常,相對(duì)于動(dòng)區(qū)間的問題很多學(xué)生往往接觸不到,對(duì)于極值點(diǎn)的確定通常都需要有效的探討。

正解:運(yùn)用分類與整合思想由上式得:m=-3,n=0,f(x)=x3+3x2-2,故f'(x)=3x(x-2),令f'(x)=0得x=0或x=2。當(dāng)x變化時(shí),f′(x)、f(x)的變化情況如下表:

由此可得:當(dāng)0

當(dāng)a=1,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值;

當(dāng)1

當(dāng)a≥3時(shí),f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值。

綜上得:當(dāng)0

在這當(dāng)中,因?yàn)閰^(qū)間(a-1,a+1)是動(dòng)區(qū)間,f(x)的極值是否在區(qū)間(a-1,a+1)不能確定,所以相對(duì)于a∈R很難獲得f(x)的極值,這就需要對(duì)a實(shí)施分類,這樣才能夠?qū)τ趂(x)的極值點(diǎn)是否在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)有效確定,以此來對(duì)題目實(shí)現(xiàn)解答,在這當(dāng)中,對(duì)于分類的標(biāo)準(zhǔn)主要就是0和2是否屬于區(qū)間(a-1,a+1)。

三、結(jié)語(yǔ)

總而言之,在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)當(dāng)中導(dǎo)數(shù)以及應(yīng)用是非常重要的內(nèi)容,是學(xué)生在大學(xué)階段學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在現(xiàn)階段高考試卷當(dāng)中其通常主要就是以壓軸題的方式所存在的,所以一般其信息量以及思維方式和運(yùn)算量都很大,這就需要采用比較高的數(shù)學(xué)分析以及處理問題方式,因此在實(shí)際的問題處理中,一般就需要采用多個(gè)方式共同結(jié)合來處理,在這當(dāng)中,對(duì)其只要應(yīng)用科學(xué)合理就能夠獲得很高的效果。

參考文獻(xiàn):

[1]孫昕.導(dǎo)數(shù)壓軸題中的分類討論攻略[J].中學(xué)生理科應(yīng)試,2017,(Z1):1-4.

[2]趙珂譽(yù),劉成龍.導(dǎo)數(shù)定義法求高考?jí)狠S題中一類0/0型函數(shù)極限[J].理科考試研究,2017.

作者簡(jiǎn)介:王安拓,山東省德州市第一中學(xué)。

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