虞松濤，鄧紅衛(wèi)，張亞南

(中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

隨著地下工程的日益延伸，地溫逐漸升高，巖石表現(xiàn)出不同于常溫狀態(tài)下的力學(xué)性質(zhì)和變形破壞機(jī)制。Wanne等[1?3]認(rèn)為，在一定的溫度范圍內(nèi)，由于溫度作用下巖石內(nèi)部各成分之間的線性膨脹系數(shù)不同，導(dǎo)致顆粒間產(chǎn)生熱應(yīng)力，當(dāng)熱應(yīng)力超過(guò)顆粒間的鍵的強(qiáng)度時(shí)，產(chǎn)生新的缺陷，巖石內(nèi)部的熱損傷也因此孕育、產(chǎn)生和發(fā)展。溫度作用下巖石的損傷演化規(guī)律及其本構(gòu)關(guān)系一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。Keshavaez等[4?6]研究了高溫下巖石單軸壓縮的基本力學(xué)性質(zhì)；尹光志等[7?8]研究了高溫下巖石在三軸條件下的力學(xué)性質(zhì)；付文生等[9]用內(nèi)時(shí)標(biāo)度衡量損傷變化規(guī)律，建立考慮溫度效應(yīng)的巖石損傷本構(gòu)方程；尹土兵[10]基于溫壓耦合沖擊試驗(yàn)，構(gòu)建了溫壓耦合作用下的巖石一維動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型；許錫昌[11]在Lemaitre損傷模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了一維 TM 耦合彈脆性損傷本構(gòu)方程；張慧梅等[12?13]依據(jù)巖石損傷力學(xué)與統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論，基于Misses準(zhǔn)則構(gòu)建了考慮溫度效應(yīng)的巖石損傷演化方程和本構(gòu)模型。雖然學(xué)界已經(jīng)提出了不少考慮溫度因素的損傷演化方程和本構(gòu)模型，但學(xué)者們基本上局限于一維條件下，且選取的統(tǒng)計(jì)分布變量及強(qiáng)度準(zhǔn)則較為單一。本文依據(jù)損傷力學(xué)和統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論，基于 H?B準(zhǔn)則，考慮溫度與載荷的作用，構(gòu)建常規(guī)三軸條件下的巖石損傷演化方程和本構(gòu)模型，推導(dǎo)出模型參數(shù)，并利用前人的試驗(yàn)參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)證了模型的合理性與可靠性，以期豐富考慮溫度與載荷作用的巖石損傷模型，進(jìn)一步揭示巖石在溫度和壓力共同作用下的損傷、破壞規(guī)律。

1 考慮溫度與荷載的巖石損傷本構(gòu)模型

1.1 受荷巖石的損傷

巖石由不同形狀、大小的礦物顆粒組成，其內(nèi)部空隙、微裂隙和夾層等缺陷隨機(jī)分布，簡(jiǎn)單、單一的特征值對(duì)其構(gòu)成組分的力學(xué)性質(zhì)難以進(jìn)行描述。本文在分析時(shí)將巖石介質(zhì)離散成一定尺度的微元體，微元體滿足2點(diǎn)要求：一是微元體的尺度大到可以包含足夠的礦物晶體膠結(jié)物晶體和缺陷，并在該尺度內(nèi)可以認(rèn)為巖石是含有均勻缺陷的材料；二是微元體要充分小，小到可以視為連續(xù)介質(zhì)中的一點(diǎn)[12]。這樣，微元體的強(qiáng)度符合某種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。

在此基礎(chǔ)上，不考慮巖石的初始損傷，對(duì)巖石做如下假設(shè)：

1) 巖石符合廣義胡克定律；

2) 巖石的破壞符合H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則；

3)微元體強(qiáng)度符合 Weibull統(tǒng)計(jì)規(guī)律[13]W(m,ε0)，即

式中：ε為外部載荷作用下微元體的應(yīng)變；φ(ε)為微元體在應(yīng)變?chǔ)畔碌膹?qiáng)度概率；m，ε0分別為Weibull分布標(biāo)度和形態(tài)函數(shù)。

在外部荷載作用下，巖石的損傷過(guò)程是巖石內(nèi)部孔隙萌生、發(fā)展和累積的過(guò)程，與損傷的微元體數(shù)量直接相關(guān)，因此，損傷變量D可定義為損傷微元體總體積VP和巖石的總體積V總之比[14]：

由于ε=0時(shí)，D=0，結(jié)合式(1)和式(2)，荷載作用下的損傷可表示為：

1.2 溫度與荷載共同下的巖石損傷

實(shí)際上，應(yīng)力只是引起巖石損傷的一個(gè)方面，溫度對(duì)巖石的損傷也有重要影響。因此，要構(gòu)建溫度與載荷共同作用下的巖石損傷演化方程，必須引入一個(gè)與溫度有關(guān)的函數(shù)。

根據(jù)宏觀損傷力學(xué)理論，溫度對(duì)巖石的損傷可以通過(guò)宏觀力學(xué)參數(shù)進(jìn)行表征，熱損傷變量[15]可定義為：

式中：ET為溫度T下的彈性模量。

由于巖石在溫度與載荷作用下，巖石表現(xiàn)出不同的損傷特性，溫度?壓力耦合作用下的巖石總損傷不是簡(jiǎn)單的損傷疊加。文獻(xiàn)[12]基于應(yīng)變等價(jià)原理對(duì)總損傷變量進(jìn)行了推導(dǎo)，表達(dá)式為：

式中：DS為巖石在溫度?壓力耦合作用下的總損傷變量。

將式(4)和式(5)代入式(3)，得到溫度與荷載作用下巖石的總損傷演化方程如式(6)所示：

1.3 溫度與荷載共同作用下的巖石本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)Lemaitre 教授應(yīng)變等效假說(shuō)，損傷巖石的本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

式中：σ為名義應(yīng)力；σ~為有效應(yīng)力；E為無(wú)損彈性模量；ε為名義應(yīng)變。

在常規(guī)三軸壓縮條件下，巖石的 σ2=σ3，ε2=ε3，將式(3)代入式(7)，由廣義胡克定律得到荷載作用下?lián)p傷巖石的本構(gòu)關(guān)系為：

同樣的，將式(6)代入式(7)，得到溫度與荷載作用下巖石損傷的本構(gòu)關(guān)系為：

2 模型參數(shù)的確定

2.1 不同圍壓作用下巖石的損傷模型參數(shù)確定方法

在上文的損傷演化方程和本構(gòu)關(guān)系中，由2個(gè)Weibull分布參數(shù)m和ε0作為模型的未知參量，本文引入巖石應(yīng)力應(yīng)變曲線的峰值點(diǎn)(σp，εp)作為特定宏觀參量來(lái)確定模型參數(shù)。在巖石應(yīng)力應(yīng)變曲線中，峰值應(yīng)力σp與所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?chǔ)舙滿足2個(gè)幾何條件：1)ε= εp，σ= σp；2) ε= εp，=0。將2個(gè)幾何條件代入損傷巖石的本構(gòu)關(guān)系式(8)，得到2個(gè)關(guān)于參數(shù)m和ε0的關(guān)系式，最終得出模型參數(shù)。

將條件(1)代入式(8a)，得到第1個(gè)關(guān)于2個(gè)參數(shù)的關(guān)系式為：

在損傷巖石的本構(gòu)關(guān)系中，σ3，σ1是 ε3，ε1的函數(shù)，根據(jù)全微分法則有：

對(duì)(8-a)微分，得到：

對(duì)(8-b)微分，得到：

由于巖石的屈服符合 Hoek?Brown(H?B)強(qiáng)度準(zhǔn)則，有：

式中：σc為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度；mi為巖石量綱的參數(shù)，反映巖石的軟硬程度，由單軸壓縮試驗(yàn)和常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)、直接拉伸試驗(yàn)和間接拉伸試驗(yàn)等方法確定[16]。本文采用單軸壓縮試驗(yàn)和常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)的方法，得到mi的表達(dá)式為：

結(jié)合廣義胡克定律和式(14)，得到式(8)的應(yīng)變表達(dá)式：

式(8a)的應(yīng)變表達(dá)式為：

其全微分為：

式(8b)的應(yīng)變表達(dá)式為：

其全微分為：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以假設(shè)參數(shù)ε0和m僅僅是圍壓的參數(shù)[17]，則有：

將式(17)，(19)，(20)，(21)代入式(12)，(13)中，得：

解上式(22)，2式聯(lián)立消去dσ3后，與式(11)結(jié)合，則有：

將幾何條件(2)代入上式(23)，在峰值應(yīng)力點(diǎn)(εp，σp)處有：

解上式(24)，得到第2個(gè)關(guān)于2個(gè)參數(shù)的關(guān)系式為：

其中：

L′的值見(jiàn)式(24)。

聯(lián)立式(10)和式(25)，得到參數(shù)的表達(dá)式為：

在單軸受力狀態(tài)下(σ3=0時(shí))，模型參數(shù)為：

這與張惠梅等[18]從單軸受力狀態(tài)下推導(dǎo)的模型參數(shù)的表達(dá)式一致。

由式(26)和式(27)可知，模型參數(shù)m和ε0均包含 εp和 σp，(εp，σp)只是某一圍壓下的巖石應(yīng)力應(yīng)變曲線的峰值點(diǎn)，只有建立不同圍壓下εp和σp的關(guān)系式，才能提高本構(gòu)模型的普遍適用性。由于 σp為某圍壓下巖石的三軸強(qiáng)度，它服從 H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則，因此，其表達(dá)式即為式(14)中 σ1的表達(dá)式。εp為σp對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)變，大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明εp與圍壓成良好的線性關(guān)系[19]，因此，εp的表達(dá)式可以表示為：

式中：a，b是常數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，將a，

b代入式(26)和式(27)即可得到反映不同圍壓情況的模型參數(shù)。

2.2 不同溫度作用下巖石的損傷模型參數(shù)確定方法

溫度作用引起的巖石損傷以熱損傷的形式表現(xiàn)，與荷載造成的巖石損傷共同導(dǎo)致巖石劣化。本文以ET定義巖石的熱損傷變量，通過(guò)彈性模量的變化表征巖石在不用溫度作用下的損傷，式(9)表明

ET直接與巖石的損傷模型相關(guān)，因此，只有建立不同溫度下ET的關(guān)系式，才能進(jìn)一步提高本構(gòu)模型的普遍適用性。大量的高溫下巖石力學(xué)特性研

究[6?7,13,18]表明巖石的彈性模量總體上隨著溫度的增加而降低，這種變化趨勢(shì)可以用多項(xiàng)式進(jìn)行高度擬合。對(duì)于少數(shù)的彈性模量隨溫度變化起伏較大的巖石，需要兩次以上的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，對(duì)于大多數(shù)巖石而言，可用2次多項(xiàng)式擬合彈性模量隨溫度變化的趨勢(shì)，因此，ET的表達(dá)式可以表示為：

式中：c，d和e是常數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到。

按照上述方法，將 ET，m和 ε0代入式(9)，即得到考慮溫度與圍壓的巖石本構(gòu)模型，該模型可模擬不同溫度及圍壓條件下的巖石變形過(guò)程，具有較強(qiáng)的普適性。

3 巖石損傷本構(gòu)模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的考慮溫度與圍壓作用的巖石損傷演化方程、本構(gòu)模型和參數(shù)確定方法的合理性，采用文獻(xiàn)[20]中大理巖的的實(shí)測(cè)參數(shù)對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，大理巖的原始物理力學(xué)參數(shù)如下表1所示。

表 1 大理巖的原始物理力學(xué)參數(shù)表[20]Table 1 Original physical and mechanical parameters of marble

將表1中的數(shù)據(jù)代入式(15)，算出mi為8.506，依照式(29)和式(30)，對(duì)15 MPa圍壓下的ET和200℃下的 εp擬合，得到參數(shù) a=0.462×10?3MPa?1，b=4.95×10?3，c=1.28×10?5GPa℃?2，d=0.038 3 GPa℃?1，e=39.2 GPa，ET和 εp的擬合曲線如圖 1。

圖1 15 MPa圍壓下不同溫度的彈性模量擬合曲線Fig. 1 Fitting curve of elastic modulus of various temperature under 15 MPa

由圖1和圖2可知，2次多項(xiàng)式擬合的大理石彈性模量隨溫度變化的曲線擬合優(yōu)度(R2)為0.974，線性擬合的大理石軸向峰值應(yīng)變隨圍壓變化的曲線擬合優(yōu)度為 0.967，說(shuō)明擬合曲線的擬合程度很高。將表1中的力學(xué)參數(shù)和圖1~2中的參數(shù)a-e分別代入巖石試樣的本構(gòu)模型式(9a)中，得到不同溫度和圍壓下的本構(gòu)關(guān)系。通過(guò)origin軟件對(duì)本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行擬合，得到該大理巖在不同圍壓和溫度下應(yīng)力應(yīng)變曲線，并與實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比圖如圖3~7所示。

圖2 200 ℃不同圍壓下的峰值應(yīng)變擬合曲線Fig. 2 Fitting curve of strain under various pressure at 200 ℃

圖3 20 ℃，單軸下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 3 Contrast curve of stress?strain under 0 MPa at 20 ℃

圖4 20 ℃，圍壓15 MPa下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 4 Contrast curve of stress?strain under 15 MPa at 20 ℃

圖5 200 ℃，圍壓15 MPa下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 5 Contrast curve of stress?strain under 15 MPa at 200 ℃

圖6 400 ℃，圍壓15 MPa下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 6 Contrast curve of stress?strain under 15 MPa at 400 ℃

圖7 600℃，圍壓15 MPa下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 7 Contrast curve of stress?strain under15 MPa at 600 ℃

圖3 為單軸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖，圖4~6為圍壓為15 MPa時(shí)20，200，400和600 ℃作用下的應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖。從上列各圖可知，由本文本構(gòu)關(guān)系所擬合的應(yīng)力應(yīng)變曲線與試驗(yàn)所得應(yīng)力應(yīng)變曲線均較為吻合，楊氏模量、峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也一致，這表明本文構(gòu)建的巖石損傷演化方程和損傷本構(gòu)模型在單軸作用下及特定圍壓、不同溫度作用下是合理的。

圖8 圍壓10 MPa，200 ℃下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 8 Contrast curve of stress?strain under 10 MPa at 200 ℃

圖9 圍壓20 MPa，200 ℃下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 9 Contrast curve of stress?strain under 20 MPa at 200 ℃

圖10 圍壓30 MPa，200 ℃下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 10 Contrast curve of stress?strain under 30 MPa at 200 ℃

圖11 圍壓40 MPa，200 ℃下應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比圖Fig. 11 Contrast curve of stress?strain under 40 MPa at 200 ℃

圖8 ~11為200 ℃時(shí)10，20，30和40 MPa圍壓下對(duì)應(yīng)的巖石本構(gòu)關(guān)系擬合的應(yīng)力應(yīng)變曲線與實(shí)驗(yàn)所得應(yīng)力應(yīng)變曲線的對(duì)比圖。從上列各圖可知，楊氏模量、峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，本構(gòu)關(guān)系所擬合的應(yīng)力應(yīng)變曲線與試驗(yàn)所得應(yīng)力應(yīng)變曲線的吻合程度也很高，這表明本文構(gòu)建的巖石損傷演化方程和損傷本構(gòu)模型在特定溫度、不同圍壓作用下也是可靠的。綜上所述，本文所構(gòu)建的考慮溫度與圍壓作用的損傷本構(gòu)模型是合理的、可靠的。

4 結(jié)論

1) 根據(jù)統(tǒng)計(jì)力學(xué)原理和應(yīng)變等價(jià)原理，推導(dǎo)考慮溫度與圍壓作用的巖石損傷演化方程，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合有效應(yīng)力的方法，構(gòu)建考慮溫度與圍壓共同作用下?lián)p傷巖石的本構(gòu)關(guān)系。

2) 以Hoek?Brown準(zhǔn)則為巖石的破壞準(zhǔn)則，采用理論推導(dǎo)與力學(xué)試驗(yàn)相結(jié)合的方法，得出常規(guī)三軸應(yīng)力狀態(tài)和單軸應(yīng)力狀態(tài)下模型參數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其中，單軸受力狀態(tài)下的模型參數(shù)的表達(dá)式與前人的推導(dǎo)結(jié)果一致。

3) 對(duì)比分析所構(gòu)建的考慮溫度與圍壓作用的損傷本構(gòu)模型在不同圍壓和溫度下的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果，所建模型能較好的反映大理巖在溫度與荷載作用的損傷力學(xué)特性，驗(yàn)證了本文提出的損傷本構(gòu)模型的合理性、可靠性。

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