劉韓

深度和廣度是思維的兩個特性，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度要強化一題多解，重視一題多變。訓(xùn)練學(xué)生思維的深度要培養(yǎng)學(xué)生追根溯源的習(xí)慣，強調(diào)多解歸一，并注重知識的系統(tǒng)性。從思維的發(fā)展來看，二者維度不同，方向不一，但從知識形成的過程來看，二者相輔相成，不可割裂。思維的廣度和深度之間有著怎樣的聯(lián)系呢？

拓展思維的廣度，強化一題多解，達(dá)到熟練

在人教版四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”雞兔同籠問題的教學(xué)中，有這樣一道例題：

籠子里有若干只雞、兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳，雞和兔各有幾只？

解法1：列表求解

解法2：

假設(shè)全都是雞，那么這時腳的數(shù)量是：2×8=16（只）

與題目中的腳數(shù)相差：26-16=10（只）

一只雞替換成一只兔腳會增加：4-2=2（只）

所以一共要替換：10÷2=5（只）

所以兔的數(shù)量就是5只，雞的數(shù)量為：8-5=3（只）

我們知道，一題多解訓(xùn)練的目的，不是單純地解題，而是為了培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的智力，提高學(xué)生的解題能力。所以，在實際訓(xùn)練中，我們不能滿足于學(xué)生會用幾種一般方法來分析解決。實踐證明，學(xué)生的解法越多，表明學(xué)生的思維越靈活，思路越開闊。學(xué)生能夠根據(jù)題意和數(shù)量關(guān)系，運用所掌握的知識打破常規(guī)地思考，用心探求各種解題方法，有利于促進(jìn)其思維的發(fā)展，提高其創(chuàng)造能力。對于學(xué)生“別出心裁”、“獨辟蹊徑”的解題方法，我總是給予表揚和鼓勵。這對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動一題多解的積極性是很有好處的。

例如上面的雞兔同籠問題，有的孩子的策略也許是這樣的：

解法3：列表求解

解法4：

假設(shè)全部都是兔，那么這時腳的數(shù)量是：4×8=32（只）

與題目中的腳數(shù)相差：32-26=6（只）

一只兔替換成一只雞腳會減少：4-2=2（只）

所以一共要替換：6÷2=3（只）

所以雞的數(shù)量就是3只，兔的數(shù)量為：8-3=5（只）

解法5：

假設(shè)有4只雞，4只兔，那么這時腳的數(shù)量就是4×2+4×4=24（只）

還需要增加2只腳就可以了，因此把1只雞換成1只兔，所以雞的數(shù)量是3只，兔的數(shù)量是5只。

學(xué)生能夠在方法上做到舉一反三，運用多種策略解決問題，表明他們的思路很開闊，思維很靈活。在拓展思維廣度的過程中，全班同學(xué)都進(jìn)入積極的思考狀態(tài)，互相啟發(fā)，不甘落后。教學(xué)到這個程度，可以說學(xué)生已經(jīng)能夠熟練地運用列表法和假設(shè)法來解決雞兔同籠問題了。

挖掘思維的深度，多解歸一，求得共性

接著上面的例題，有的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)，這里任意假設(shè)的雞或兔的數(shù)量，只要它們頭數(shù)之和為8，再根據(jù)腳數(shù)調(diào)整就可以了。因此可以總結(jié)出一種解決雞兔同籠的一般方法，就是先假設(shè)，再調(diào)整。

再比如，人教版六年級數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)除法中有一道例題：根據(jù)測定，兒童體內(nèi)的水分約占體重的五分之四，小明體內(nèi)有28千克的水分，問小明重多少千克？

放手讓學(xué)生自己解決，可能會出現(xiàn)如下兩種解法：

解法1：

28÷ [45]=35（千克）

解法2：

設(shè)：小明的體重為x千克。

[45]x=28

x=35

解法1是利用算式計算，解法2利用了方程。如果問為什么用28÷[45]就是小明的體重呢？列算式的同學(xué)會解釋說，因為根據(jù)題意可以得出，小明的體重×[45]=小明體內(nèi)的水分，那么小明體內(nèi)的水分÷[45]=小明的體重。同樣的，如果問為什么設(shè)小明的體重為x千克，那么就可以列方程[45]x=28呢？此時列方程的同學(xué)也會解釋說，根據(jù)題意，小明的體重×[45]=小明體內(nèi)的水分，這里小明的體重是未知，小明體內(nèi)的水分是已知，所以可以根據(jù)這個等量關(guān)系來設(shè)未知數(shù)列方程。看來兩種方法的共同點都是使用了“小明的體重×[45]=小明體內(nèi)的水分”這個等量關(guān)系式。從而發(fā)現(xiàn)，不管是列算式，還是列方程，解決這個問題的關(guān)鍵都在于分析題目中的數(shù)量關(guān)系。

與追求一題多解相比，有經(jīng)驗的教師往往會引導(dǎo)學(xué)生思考“多解歸一”，即這個問題為什么會有不同的解法，這些不同的思路之間存在著怎樣的共同點，并在此基礎(chǔ)上揭示出問題的深層結(jié)構(gòu)，從而得到一般性的方法。多堅持這樣的訓(xùn)練，學(xué)生就會形成“解一題，通一類，連一片”的思維。

提升思維的靈活性，在多題歸一中尋找規(guī)律

人教版五年級數(shù)學(xué)上冊的“數(shù)學(xué)廣角”植樹問題中，有道習(xí)題是這樣的：一張桌子坐6人，兩張桌子并起來坐10人，三張桌子并起來坐14人……照這樣，10張桌子并成一排可以坐多少人？乍一看，這道題跟植樹問題好像風(fēng)馬牛不相及，為何會出現(xiàn)在植樹問題的課后習(xí)題中呢？這就要從例題說起。

例1：同學(xué)們在全長100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？

分析：100m太長，我們可以用簡單數(shù)來試試。

假設(shè)只有20m，5m一個間隔，一共有4個間隔，通過畫圖，我們發(fā)現(xiàn)需要栽5棵樹。

如果是25m，5m一個間隔，一共有5個間隔，通過畫圖，我們發(fā)現(xiàn)需要栽6棵樹。

進(jìn)而發(fā)現(xiàn)栽樹的棵樹和間隔數(shù)之間有著一定的聯(lián)系。再經(jīng)過思考和論證，發(fā)現(xiàn)兩端都栽，栽樹的棵數(shù)就比間隔數(shù)多1。

列式：100÷5=20

有20個間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。

例2：大象館和猴山相距60m，綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3m。一共要栽多少棵？

分析：由于兩端不栽，棵樹與段數(shù)的關(guān)系跟例1可能會不同。全長60m，3m一個間隔，一共有20個間隔，數(shù)據(jù)比較大，因此我們還是可以先將大數(shù)據(jù)化為小數(shù)據(jù)試一試。如果只有3個間隔，通過畫圖我們發(fā)現(xiàn)要栽2棵樹。如果是4個間隔，那么就需要栽3棵樹。經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)兩端都不栽，栽的棵數(shù)比間隔數(shù)少1，所以這里20個間隔，一邊就要栽19棵，兩邊就是19×2=38（棵）。

例3：張伯伯準(zhǔn)備在圓形池塘周圍栽樹，池塘的周長是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵樹？

分析：繼續(xù)研究棵樹與段數(shù)之間的關(guān)系，如果周長是40米，4個間隔，通過畫圖發(fā)現(xiàn)能栽4棵樹。再舉例，如果周長是30米，3個間隔，那么能栽3棵樹。經(jīng)過思考我們發(fā)現(xiàn)，這里間隔數(shù)與棵數(shù)相等。

列式：120÷10=12

有12個間隔，所以一共要栽12棵樹。

整理這個三個解決問題的過程，都經(jīng)歷了這么幾步：一，把大數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)據(jù)；二，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并驗證規(guī)律；三，運用規(guī)律，并總結(jié)形成數(shù)學(xué)思考的方法。將這三種植樹問題歸結(jié)到一起，我們會發(fā)現(xiàn)，雖然三個植樹問題總結(jié)的規(guī)律不同，但都運用了化繁為簡的數(shù)學(xué)思考方法。

例4：一張桌子坐6人，兩張桌子并起來坐10人，三張桌子并起來坐14人……照這樣，10張桌子并成一排可以坐多少人？

分析：一開始想10張桌子坐多少人，不知道如何下手。我們先來看看小一些的數(shù)據(jù)信息，兩張桌子和一張桌子相比，桌子數(shù)增加了1，人數(shù)增加了4，三張桌子和兩張桌子相比，桌子數(shù)增加1，人數(shù)也是增加4，因此，我們發(fā)現(xiàn)，只要桌子數(shù)增加1，人數(shù)就會增加4。10張桌子比6張桌子增加了9張桌子，所以人數(shù)就增加4×9=36（人）。36+6=42，所以，10張桌子可以坐42人。

這種解題過程，正是化繁為簡在練習(xí)中的運用，而化繁為簡又正是四道例題的共性所在。因此，將這種同類但不同型的例題做對比時，不光要體現(xiàn)區(qū)別，更要注重多題歸一，尋找解題規(guī)律。

（作者單位：武漢經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗小學(xué)）