程 暢

（常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，213164，常州∥副教授）

軌道交通車輛運(yùn)行平穩(wěn)性是車輛動(dòng)力學(xué)性能的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)。模態(tài)參數(shù)是軌道交通車輛的固有參數(shù),反映振動(dòng)系統(tǒng)的固有動(dòng)態(tài)特性［1］，由懸掛系統(tǒng)的剛度及阻尼，以及部件的慣量及其在系統(tǒng)中的位置共同確定。車輛一旦設(shè)計(jì)制造完畢，其動(dòng)力學(xué)性能就基本確定。真實(shí)車輛的模態(tài)參數(shù)可在試驗(yàn)臺(tái)或運(yùn)行工況下通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)及振動(dòng)測(cè)試，并采用相應(yīng)的辨識(shí)算法通過(guò)辨識(shí)得出［2］。由于模態(tài)參數(shù)不依賴于線路輸入條件，而試驗(yàn)測(cè)試得到的模態(tài)參數(shù)反映了真實(shí)車輛包括組裝性能在內(nèi)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，故通過(guò)運(yùn)用模態(tài)參數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)軌道交通車輛的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)性能更具有普遍性。

軌道車輛動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的模態(tài)在1 Hz附近較密集，運(yùn)用傳統(tǒng)辨識(shí)算法及工況模態(tài)辨識(shí)算法計(jì)算量較大，并且即使在已知輸入的實(shí)驗(yàn)室條件下，也不能有效辨識(shí)這些密集且大阻尼比的模態(tài)參數(shù)。

子空間辨識(shí)數(shù)值算法（N4SID）是利用新增輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)在線估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)矩陣進(jìn)行的一種辨識(shí)算法。N4SID不關(guān)心被辨識(shí)系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)形態(tài)，僅需給定模型的階數(shù)（該階數(shù)可在辨識(shí)過(guò)程中觀察矩陣的奇異值獲得），無(wú)需求解復(fù)雜非線性優(yōu)化函數(shù)，采用奇異值分解（SVD）和正交三角（QR）分解的線性代數(shù)算法，避免了疊代算法中收斂、局部最小及初始條件敏感等問(wèn)題，從而廣泛應(yīng)用于辨識(shí)領(lǐng)域［3］。

本文主要研究運(yùn)用N4SID算法通過(guò)辨識(shí)直接獲得系統(tǒng)的狀態(tài)方程，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)矩陣進(jìn)行特征值分解獲得模態(tài)參數(shù)，然后運(yùn)用穩(wěn)態(tài)圖來(lái)保留真實(shí)系統(tǒng)的物理極點(diǎn)，運(yùn)用所編制的程序?qū)Ψ抡婺Ｐ瓦M(jìn)行辨識(shí)分析。

1N4SID

N4SID一般包含3個(gè)步驟［4］：①運(yùn)用SVD和QR分解對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)Hankel矩陣進(jìn)行投影運(yùn)算，得到投影矩陣Oi，同時(shí)確定系統(tǒng)的階次n；②估計(jì)求解出拓展可觀測(cè)矩陣Γi、或者卡爾曼濾波狀態(tài)序列估計(jì)i；③確定系統(tǒng)的參數(shù)矩陣A、B、C、D。

當(dāng)m階輸入、l階輸出的n階系統(tǒng)矩陣為線性時(shí)，不變系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型可表示為

式中：

k——采樣時(shí)刻；

A——系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，為n階方陣；

B——輸入分配矩陣，為n×m矩陣；

C——輸出矩陣，為l×n矩陣；

D——直接輸出矩陣，為l×m矩陣；

vk——測(cè)量噪聲，vk∈Rl；

wk——過(guò)程噪聲，wk∈Rn。

當(dāng)輸入未知時(shí)，可假設(shè)確定性輸入為0，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型不包含B、D矩陣，模型退化為隨機(jī)子空間模型。定義輸入數(shù)據(jù)的Hankel矩陣為

式中：

i——矩陣行數(shù)的1/2；

j——矩陣列數(shù)，Hankel矩陣U0|2i-1中，i=j；

Up——過(guò)去輸入矩陣，是U0|2i-1的分塊矩陣；

Uf——將來(lái)輸入矩陣，是U0|2i-1的分塊矩陣。

n×j階狀態(tài)序列Xi為

依據(jù)以上定義，對(duì)

式中：

Ya|b——第1列第1個(gè)元素為a，且第1列最后1個(gè)元素為b的分塊矩陣。

于是，由“將來(lái)”輸入行空間到“過(guò)去”輸出行空間的投影矩陣為

其中

式中：

LUp——L矩陣的過(guò)去輸入矩陣；

LUf——L矩陣的將來(lái)輸入矩陣；

LYp——L矩陣的過(guò)去輸出矩陣。

由式（7）可以求出 LUp、LUf和 LYp。

依據(jù)假設(shè)條件可知

Qi= Γii（8）

式中：

i——卡爾曼濾波狀態(tài)序列Xi的估計(jì)。

對(duì)式（6）右側(cè)第1項(xiàng)進(jìn)行奇異值分解，依據(jù)奇異值分布設(shè)定系統(tǒng)的階數(shù)，然后對(duì)奇異值矩陣進(jìn)行分

塊為S1和S2的直和，其形式如下。

式中，ρw、ρv為殘差矩陣。

2 車輛模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)及分析

由于車輛力學(xué)模型的模態(tài)參數(shù)可通過(guò)理論分析準(zhǔn)確獲得，所以采用仿真模型不僅可驗(yàn)證辨識(shí)算法的有效性，還可方便地模擬量測(cè)噪聲信號(hào)，以便于分析噪聲信號(hào)對(duì)辨識(shí)精度的影響［5］。本文運(yùn)用軌道交通車輛的6自由度垂向動(dòng)力學(xué)模型來(lái)校驗(yàn)算法及所編制辨識(shí)程序的有效性。該6自由度車輛的垂向動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 客車垂向動(dòng)力學(xué)模型圖

根據(jù)圖1模型，結(jié)合上述子空間辨識(shí)算法理論，運(yùn)用影響系數(shù)法建立動(dòng)力學(xué)方程，選取狀態(tài)矢量，將動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)為狀態(tài)方程，依據(jù)采樣時(shí)間對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程離散，即可獲得形如式（1）的狀態(tài)空間模型。在Simulink/Matlab軟件環(huán)境下建立仿真模型如圖2所示。

圖2 車輛自由度數(shù)為6的垂向Simulink模型圖

在辨識(shí)算法研究中，客車動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)選自某典型客車，離散模型的時(shí)間步長(zhǎng)為0.005 s（采樣頻率為200 Hz）。本文分別運(yùn)用帶限白噪聲信號(hào)、軌道譜反演的軌道不平順信號(hào)及確定性的掃頻信號(hào)作為軌道的垂向不平順輸入，并考慮了輪軸輸入的時(shí)延，以車體中部、心盤處，以及每個(gè)構(gòu)架的中部、端部共9個(gè)測(cè)點(diǎn)處的垂向位移作為系統(tǒng)的輸出，對(duì)所編制的程序進(jìn)行了校驗(yàn)。辨識(shí)結(jié)果表明，當(dāng)運(yùn)用不包含噪聲信號(hào)的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)時(shí)，在各種輸入信號(hào)下，均能獲得與理論模態(tài)基本一致的高精度辨識(shí)結(jié)果。

為了分析噪聲對(duì)辨識(shí)精度的影響，當(dāng)輸入為白噪聲信號(hào)時(shí)，在輸出信號(hào)上疊加了均方根值為原信號(hào)1%和5%的零均值、正態(tài)分布噪聲信號(hào)（以下分別簡(jiǎn)為“1%噪聲”及“5%噪聲”）得到辨識(shí)結(jié)果如表1所示。辨識(shí)結(jié)果表明：N4SID算法辨識(shí)精度極高，但噪聲信號(hào)越強(qiáng)，辨識(shí)精度越低。若想提高辨識(shí)精度，必須增加所采用的輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，但計(jì)算時(shí)間隨之增加。表1中在5%噪聲信號(hào)下的分析結(jié)果運(yùn)用了35 s長(zhǎng)的輸出數(shù)據(jù)才能得到與在1%噪聲信號(hào)下、15 s長(zhǎng)數(shù)據(jù)相當(dāng)?shù)谋孀R(shí)精度。

表1 車輛模態(tài)參數(shù)N4SID算法辨識(shí)結(jié)果

圖3 N4SID的穩(wěn)態(tài)圖

圖3為車輛存在1%噪聲和5%噪聲信號(hào)時(shí)，為了挑選穩(wěn)定的系統(tǒng)極點(diǎn)所繪制的穩(wěn)態(tài)圖。繪制穩(wěn)態(tài)圖的準(zhǔn)則是特征頻率的變化率不大于1%、阻尼比不大于8%、振型矢量不大于2%。圖3表明：在1%噪聲信號(hào)辨識(shí)時(shí)，較早獲得穩(wěn)定的極點(diǎn)，并且識(shí)別的精度較高。

在實(shí)驗(yàn)室條件下，雖然構(gòu)架和車體的位移響應(yīng)可通過(guò)測(cè)量獲得，但是位移的測(cè)量往往比加速度的測(cè)量復(fù)雜很多。經(jīng)分析，從軌道不平順至車輛位移及加速度響應(yīng)的狀態(tài)方程中可知，A、B矩陣完全相同，C、D矩陣不同。因此將加速度響應(yīng)作為系統(tǒng)輸出，如能辨識(shí)出系統(tǒng)矩陣A，將獲得位移輸出相同的系統(tǒng)極點(diǎn)，并具有相同的振型頻率和阻尼比。本文運(yùn)用構(gòu)架及車體仿真加速度輸出信號(hào)進(jìn)行辨識(shí)時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)輸出信號(hào)沒(méi)有噪聲時(shí)，仍可精確地辨識(shí)出車輛系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)；但將上述1%噪聲信號(hào)及5%噪聲信號(hào)加入后，無(wú)論是隨機(jī)輸入信號(hào)、軌道譜反演信號(hào)還是掃頻信號(hào)都無(wú)法獲得良好的辨識(shí)效果。在6級(jí)軌道譜反演數(shù)據(jù)輸入時(shí)，沒(méi)有噪聲和有1%噪聲信號(hào)情況下的辨識(shí)結(jié)果見(jiàn)表2。

從表2可以看出：沒(méi)有噪聲信號(hào)時(shí)，辨識(shí)結(jié)果基本與理論模態(tài)精確一致；有1%噪聲信號(hào)時(shí)，雖然辨識(shí)結(jié)果也具有較高精度，但未能辨識(shí)車體的點(diǎn)頭振型；當(dāng)有5%噪聲信號(hào)時(shí)，只能辨識(shí)出構(gòu)架的點(diǎn)頭振型，而不能有效地辨識(shí)車輛的點(diǎn)頭及浮沉振型。

表2 軌道譜反演輸入時(shí)運(yùn)用車輛加速度響應(yīng)的構(gòu)架及車體辨識(shí)結(jié)果

在線路運(yùn)行條件下，軌道不平順測(cè)量比較困難。分析車輛的動(dòng)力學(xué)方程可以看到，車體振動(dòng)完全由構(gòu)架輸入所產(chǎn)生，故可將構(gòu)架作為輸入來(lái)辨識(shí)車體的模態(tài)參數(shù)。由于構(gòu)架位移至車體位移響應(yīng)與構(gòu)架加速度至車體加速度響應(yīng)具有相同的傳遞函數(shù)，因此本文也研究了運(yùn)用構(gòu)架加速度輸入和車體加速度輸出辨識(shí)車體模態(tài)參數(shù)的效果，辨識(shí)結(jié)果如表3所示。

從表3可以看到：當(dāng)噪聲信號(hào)很低時(shí)，以構(gòu)架加速度為輸入可完整地辨識(shí)出車體的振型，并且辨識(shí)精度很高；當(dāng)噪聲信號(hào)增強(qiáng)時(shí)，辨識(shí)精度隨之變差，但比表2分析結(jié)果稍好。此次分析辨識(shí)出了點(diǎn)頭振型，而且辨識(shí)精度稍高。

表3 軌道譜反演輸入時(shí)以構(gòu)架加速度響應(yīng)為輸入的車體辨識(shí)結(jié)果

3 結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用N4SID算法對(duì)軌道車輛垂向仿真模型進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)辨識(shí)研究。如以車體和構(gòu)架的位移響應(yīng)作為系統(tǒng)輸出，并以軌道不平順為隨機(jī)輸入、軌道譜反演時(shí)域不平順輸入及確定性信號(hào)輸入，則即使噪聲信號(hào)較大，仍均能獲得良好的識(shí)別效果。當(dāng)以仿真模型的加速度輸出進(jìn)行辨識(shí)時(shí)，若輸出信號(hào)沒(méi)有受到噪聲污染，則能獲得精確的辨識(shí)結(jié)果；若輸出信號(hào)加入了模擬的噪聲信號(hào)，則只能識(shí)別出較高頻率的模態(tài)參數(shù)，識(shí)別精度也相應(yīng)受到噪聲信號(hào)的影響。如以構(gòu)架加速度作為輸入，以車體振動(dòng)響應(yīng)作為輸出，則在噪聲信號(hào)低于5%時(shí)，仍能有效識(shí)別出車體的振動(dòng)模態(tài)參數(shù)。

［1］ 周勁松，張洪，任利惠.模態(tài)參數(shù)在鐵道車輛運(yùn)行平穩(wěn)性研究中的運(yùn)用［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，36（3）：383.

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