吳文軍 黃中烈 岳寶增

摘 要：本文建立了帶多充液圓柱箱航天器姿-軌-液耦合系統(tǒng)的全模態(tài)化動(dòng)力學(xué)模型和一階狀態(tài)微分方程，構(gòu)建了一種具有較高計(jì)算精度的半解析計(jì)算體系.針對(duì)該類耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程為典型非線性時(shí)變系統(tǒng)的特點(diǎn)，且考慮運(yùn)用理論分析方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析時(shí)所存在的困難，利用數(shù)值差分法，對(duì)帶多充液柱箱航天器的姿-軌-液耦合系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析，并提出了利用幅值包絡(luò)圖描述系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)靈敏度的方法.依據(jù)計(jì)算結(jié)果，給出耦合系統(tǒng)中各類參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響因子，為指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)分析和實(shí)際工程設(shè)計(jì)與計(jì)算提供一定的理論參考.

關(guān)鍵詞：多充液圓柱箱航天器；姿-軌-液耦合；全模態(tài)化模型；參數(shù)靈敏度分析；幅值包絡(luò)圖

中圖分類號(hào)：V211.5 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2018.01.005

0 引言

航天器中的液體晃動(dòng)問(wèn)題長(zhǎng)期以來(lái)均是航天動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)科中具有挑戰(zhàn)卻又亟待解決的研究熱點(diǎn)問(wèn)題之一.在現(xiàn)有的相關(guān)研究成果中，針對(duì)傳統(tǒng)的液體晃動(dòng)等效力學(xué)模型均存在不能完整描述晃動(dòng)特性的缺點(diǎn)，部分學(xué)者基于模態(tài)疊加法理論，研究了充液航天器系統(tǒng)剛-液耦合工況下的動(dòng)力學(xué)建模與分析方法.其中， Peterson等[1] 研究了僅考慮橫向耦合效應(yīng)工況下的低重力環(huán)境下圓柱貯箱內(nèi)液體非線性剛-液耦合晃動(dòng)特性，但其與實(shí)際工況不符.Huang等[2]系統(tǒng)的研究了當(dāng)航天器中卡西尼貯箱內(nèi)部分填充氦2號(hào)超流體時(shí)，在因重力梯度力或航天器姿態(tài)調(diào)整引發(fā)的干擾力和力矩的作用下，液體晃動(dòng)與航天器軌道之間的耦合效應(yīng)及在低重力環(huán)境下設(shè)置防晃板對(duì)液體晃動(dòng)的影響.賀元軍等[3]利用變分原理和拉格朗日方法，研究了耦合系統(tǒng)的響應(yīng)頻率隨邦德數(shù)的變化規(guī)律.呂敬等[4]利用H-O原理分別建立充液柔性航天器剛-液-彈耦合系統(tǒng)平動(dòng)和俯仰運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，并采用伽遼金法離散，將動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為常微分方程組，提示了充液柔性航天器剛-液-彈耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和靜態(tài)分岔行為.岳寶增[5]基于特征模態(tài)疊加方法，采用變分原理和拉格朗日方法推導(dǎo)了微重力環(huán)境下貯箱中液體與航天器結(jié)構(gòu)耦合的動(dòng)力學(xué)方程組，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算研究了非線性耦合系統(tǒng)自由度隨時(shí)間的變化歷程.

然而現(xiàn)代航天器往往需安裝形狀、尺寸和充液比均各不相同的多個(gè)貯箱用于攜帶大量的液體燃料、氧化劑、液態(tài)冷卻劑和輔助劑等[6-7]，現(xiàn)有大多數(shù)文獻(xiàn)中通常采用的以中心剛體帶單個(gè)充液貯箱的動(dòng)力學(xué)模型將不能適用于所有的現(xiàn)代帶多充液貯箱航天器動(dòng)力學(xué)特性及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的研究[8-11].雖然，對(duì)于小幅值外界干擾下穩(wěn)定運(yùn)行的航天器，非平衡的晃動(dòng)干擾可以簡(jiǎn)化為有界、規(guī)則的外力，相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)與控制模型對(duì)應(yīng)于受有界干擾作用的剛體.但當(dāng)航天器進(jìn)行大幅的姿態(tài)或軌道機(jī)動(dòng)時(shí)，貯箱內(nèi)的液體部分模態(tài)晃動(dòng)將與航天器的姿態(tài)和軌道運(yùn)動(dòng)同時(shí)產(chǎn)生復(fù)雜的姿-軌-液耦合效應(yīng)，如果此時(shí)依然將非平衡的晃動(dòng)干擾簡(jiǎn)化為有界、規(guī)則的外力，輕者影響航天器控制系統(tǒng)的執(zhí)行效率和效果，重者會(huì)導(dǎo)致飛行任務(wù)的失敗，故對(duì)帶多充液貯箱航天器系統(tǒng)的耦合動(dòng)力學(xué)建模與分析將具有重要的理論意義和工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

文中將以在低重力環(huán)境下受小幅值外界干擾作用時(shí)穩(wěn)定運(yùn)行的帶多充液圓柱箱航天器為主要研究對(duì)象，基于勢(shì)流理論和模態(tài)疊加法，考慮貯箱內(nèi)液體多階、多向晃動(dòng)模態(tài)與航天器姿態(tài)、軌道三項(xiàng)耦合效應(yīng)的影響，運(yùn)用傅立葉-貝賽爾級(jí)數(shù)展開法和準(zhǔn)坐標(biāo)系下的拉格朗日方法等相關(guān)理論，推導(dǎo)帶多充液柱箱航天器的姿-軌-液耦合動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程，并通過(guò)對(duì)該耦合系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析，得到耦合系統(tǒng)中各參數(shù)或參數(shù)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響因子，為指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)分析和實(shí)際工程設(shè)計(jì)與計(jì)算提供一定的理論參考.

1 理論推導(dǎo)

1.1 坐標(biāo)體系的建立

以攜帶4個(gè)部分充液圓柱箱的航天器為例，圖1中，OXYZ為以地心為原點(diǎn)的慣性坐標(biāo)系；oxyz為以航天器主體質(zhì)心為原點(diǎn)的隨體坐標(biāo)系（或簡(jiǎn)稱為主體坐標(biāo)系）.假設(shè)其坐標(biāo)軸與航天器主體的主慣性軸平行；d1和d2分別為貯箱沿ox和oy方向的分布距離；h0為貯箱底面與主體坐標(biāo)原點(diǎn)的垂直距離.在第i個(gè)貯箱中：fi（ri）為靜液面形狀；ζi （ri ，θi ，ti）為液面總波高函數(shù)；ηi （ri ，θi ，t）為自由液面外的相對(duì)晃動(dòng)波高函數(shù)；Ri 為貯箱半徑；hi為貯箱內(nèi)液深代表值；取彎曲靜液面的中心點(diǎn)為柱坐標(biāo)系oi ri θi zi和直角坐標(biāo)系oi xi yi zi的坐標(biāo)原點(diǎn)，為使得兩坐標(biāo)軸間的轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣，假設(shè)oi xi yi zi與oxyz坐標(biāo)軸方向平行.故roi=[rxi，ryi，rzi]T為貯箱隨體坐標(biāo)系的原點(diǎn)坐標(biāo)在oxyz坐標(biāo)系下的矢徑.設(shè)航天器主體相對(duì)于主體坐標(biāo)系的速度和角速度分別為v=[vx，vy，vz]T和ω=[ωx，ωy，ωz]T.若規(guī)定坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣以ox→oy→oz的轉(zhuǎn)動(dòng)順序得到，以慣性坐標(biāo)向主體坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為例，其形式為[12]：

2 系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)的參數(shù)靈敏度仿真分析

以圖1所示的帶4個(gè)部分充液圓柱箱航天器為例，依據(jù)各參數(shù)的性質(zhì)，可歸納為固有參數(shù)、系統(tǒng)α參數(shù)和系統(tǒng)β參數(shù)，其具體分類和標(biāo)稱值分別詳見表1.

考慮篇幅限制，文中將僅分別給出航天器軌道速度和姿態(tài)角速度響應(yīng)對(duì)貯箱整體布置參數(shù)h0，d1和d2的靈敏度曲線.由于原始的靈敏度曲線為時(shí)變的且零散無(wú)序的，為了更直觀地分析參數(shù)的影響因子，將給出靈敏度曲線的幅值包絡(luò)圖，其計(jì)算結(jié)果分別見圖2（a）、圖2（b）和圖2（c）.

由圖2可知：航天器相對(duì)速度對(duì)貯箱縱向布置參數(shù)h0的影響因子最大，而對(duì)橫向布置參數(shù)d1和d2的影響因子之間的差異較??；反之，航天器姿態(tài)角速度和貯箱內(nèi)的晃動(dòng)波高對(duì)h0的影響因子最小，而對(duì)貯箱前后布置參數(shù)d1的影響因子最大.

3 結(jié)論

文中建立了帶多充液柱箱航天器系統(tǒng)姿-軌-液耦合的全模態(tài)化動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)了相應(yīng)的非線性時(shí)變耦合狀態(tài)方程，編制出相應(yīng)的模塊化計(jì)算程序，運(yùn)用數(shù)值差分法，對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析，并提出利用幅值包絡(luò)圖對(duì)比研究系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)靈敏度的方法，較直觀的得到耦合系統(tǒng)中各類參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響因子.計(jì)算結(jié)果表明：航天器貯箱的位置分布對(duì)軌道、姿態(tài)和貯箱內(nèi)的液體晃動(dòng)均有顯著影響，實(shí)際工程中應(yīng)充分考慮各貯箱尺寸、充液深度對(duì)耦合系統(tǒng)整體的影響，進(jìn)一步對(duì)貯箱的位置的分布和燃料消耗比例進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，盡量提高航天器軌道與姿態(tài)控制系統(tǒng)的執(zhí)行效率和控制精度，保證航天器在軌運(yùn)行的穩(wěn)定性.

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Abstract：Firstly， a full modal dynamic model and the first order differential state equation of the attitude-orbit-liquid coupled system of a spacecraft with multiple liquid-filled cylindrical tanks are deduced. And a semi analytical system with higher computational accuracy is obtained. Then， according to the fact that the characteristics of the coupling dynamic equation is a typical nonlinear time-varying system and that it is difficulty to complete the parameter sensitivity analysis using the theoretical analysis method， the amplitude envelope diagram of the sensitivity of system response function of a spacecraft with multiple liquid-filled cylindrical tanks is presented by means of numerical difference method. Finally， the influence factors of the system parameters on the coupling dynamic performance of the spacecraft are given， which provides a theoretical reference for the experimental analysis and practical engineering design and calculation.

Key words：spacecraft with multiple liquid-filled cylindrical tanks； attitude-orbit-liquid coupled； full modal dynamic model； parameter sensitivity analysis； amplitude envelope diagram

（學(xué)科編輯：張玉鳳）