黃振明

（蘇州市職業(yè)大學 數(shù)理部，江蘇 蘇州，215104）

在由物理學、力學和工程技術(shù)等學科推出的微分方程（組）特征值問題中，人們常需找出最小特征值或次小特征值，因為這些低階特征值在實際問題中有著明顯的物理指征，常與物體的主要振動頻率、物體彎曲變形的臨界值等有關(guān)，盡管一般情形下很難求得其精確值，但對低階特征值的分析和估計仍是很具實際意義的一個研究方向，近年來，國內(nèi)外許多數(shù)學工作者從不同角度，運用分析、算子、嵌入數(shù)估計等方法在此領(lǐng)域進行了大量研究，取得了一系列成果[1-13]，其中文[1]給出了有界開區(qū)間（a，b）上僅由兩個方程構(gòu)成的六階微分系統(tǒng)特征值問題：

并得到了用主特征值λ1來估計次特征值λ2的上界不等式：

其中正實數(shù) σi，τi（i=1,2）滿足：對任意的實數(shù) ξ1，ξ2有

本文考慮從兩個方面將文[1]中的方程組（1）進行推廣，一、方程個數(shù)為任意多個，二、方程階數(shù)為任意偶數(shù)階，即如下形式的微分系統(tǒng)：

則可將系統(tǒng)（3）寫成如下等價的矩陣形式

且滿足如下正定或半正定條件：對任意 n 維向量有 ξ=(ξ1,ξ2,…，ξn）T∈Rn

上述 σi，τi（i=1,2)均為正常數(shù)，T 為轉(zhuǎn)置符號。

筆者參照并改進文[1]中的討論方法，將[1]中的結(jié)論（2）推廣至如下的一般情形。

定理 1設(shè) λ1,λ2分別是問題（4）的主、次特征值（0＜λ1≤λ2），則有

2 定理的證明

設(shè)問題（4）的主、次特征值分別為λ1,λ2在上述假定條件下，根據(jù)微分算子特征值理論知，λ1,λ2不僅是實的，而且是非負的，即0＜λ1≤λ2，又記主特征值λ1對應(yīng)的特征向量為u，且滿足

對式（9）運用分部積分，有

由式（10）和（6），得

從問題（4），利用分部積分和式（9），并注意到問題（4）中的邊界條件可推得

利用式（5）、（7）和（12），得

利用分部積分、φ的定義和式（10），計算得

由此可知，φ與u廣義正交，同時φ滿足奇次邊界條件：

根據(jù)變分法中的Rayleigh原理知，對所有與最小特征向量u廣義正交、且滿足奇次邊界條件的連續(xù)函數(shù)φ所得瑞利商的最小值是次小特征值，由此得到下列不等式

利用φ的定義和式（4），計算可得

將恒等式(x-q)R1(D)u=R1(D)φ-u代入式（16）右端可得

再由式（15）和（17）可得

于是，利用式（14）、（18），有

即

引理1設(shè)u是問題（4）對應(yīng)于主特征值λ1的特征向量，則

證明：先證明下列不等式

假設(shè) m=k≤t-2 時，不等式（21）成立，即

則當m=k+1≤t-1時，利用分部積分，Schwarz不等式和上式，并注意到問題（4）中的邊界條件得

整理上式，即得

即當m=k+1時，不等式（21）也成立，所以不等式（21）成立。

即證得引理1的式（20）成立。

引理2設(shè)λ1是問題（4）的主特征值，則當t≥3時，下列兩不等式成立。

證明：利用式（11）、分部積分和Schwarz不等式得

由式（24）和引理1可得

由式（6）和（25）即得引理 2 中的（22）。

利用 P（x）的正定性、式（5）、（12）和引理 1 得

即得引理2中的（23）。

引理3對于上述I，有如下估計上界

證明：利用φ的定義和分部積分法，逐項計算可得

合并式（27）和（28），恰好消去其中的不可控項，得

再根據(jù)引理 1、引理 2、（26）和（29）有

即得引理3。

引理4對于本文定義的試驗函數(shù)φ，成立著不等式

證明：利用φ的定義和分部積分，

有

由式（30）得

利用式（11）、（31）、Schwarz不等式、（6）和引理 1，

有

化簡即得引理4。

利用引理3和引理4，從式（19）可得

化簡便得定理1中的式（8）。

3 結(jié)語

本文在六階微分系統(tǒng)（1）的低階特征值估計基礎(chǔ)上，推廣考慮了偶數(shù)階微分系統(tǒng)（4）的特征值估計，獲得了主、次特征值之比的下界估計不等式，其估計系數(shù)與所論區(qū)間的度量無關(guān)，特別地，文[1]討論的系統(tǒng)（1）僅是本文系統(tǒng)（4）當 t=3，n=2，Q(x)=0時的特例，此時按本文的結(jié)論（8）對（1）成立著

與文[1]作者對（1）的估計結(jié)論（2）相比可知，本文用λ1估計λ2的上界比文[1]的相同估計減小了，或者說至少減小了λ1，因此，本文的估計結(jié)論比文[1]的更精確，在特征值問題中有著一定的參考價值。

參考文獻：

［1］趙曉蘇，錢椿林.六階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界［J］.長春大學學報（自然科學版），2010，20（8）：10－13.

［2］劉景麟.常微分算子譜論［M］.北京：科學出版社，2009.

［3］周敏，向會立.Neumann邊條件下薛定諤算子前兩個特征值間距的估計［J］.湖北民族學院學報（自然科學版），2010，28（1）：53－56.

［4］楊曉華，錢椿林.高階一致橢圓型算子帶權(quán)第二特征值的上界估計［J］.中國科學技術(shù)大學學報，2013，43（6）：461－465.

［5］黃振明.2s和 2t階聯(lián)立微分方程組次特征值的估計［J］.海南師范大學學報（自然科學版），2015，28（3）：250－254.

［6］楊貴誠，侯蘭寶，杜鋒.Carnot群上低階特征值的估計［J］.揚州大學學報（自然科學版），2016， 19（2）：10－12.

［7］SHI J H.Estimates for Lower order eigenvalues of a class of operators on riemannian manifold［J］.J of Math （PRC），2015，35（4）：809－816.

［8］HOOK S M.Domain independent upper bounds for eigenvalues of elliptic operator［J］.Trans Amer Math Soc，1990，318：615－642.s

［9］MARK S A.The universal eigenvalue bounds of payne－polya－weinberger，hile－ protter，and H C Yang［J］.Proc Indian Acad Sci（Math Sci），2002，112（1）：3－30.

［10］MOHAMED EI GAMEL，MONA SAMEEH.An efficient technique for finding the eigenvalues of fourth－order sturm－liouville problems［J］.Applied Mathematics，2012（3）：920－925.

［11］CARSTEN CARSTENSEN，DIETMAR GALLISTL.Guaranteed lower bounds for the biharmonic equation ［J］.Numerische Mathematik，2014， 126（1）： 33－51.

［12］SIMON RAULOT，ALESSANDRO SAVO.Sharp bounds for the first eigenvalue of a fourth－order steklov problem［J］.The Journal of Geometric Analysis，2015，25（3）：1602－1619.

［13］SHUICHI JIMBO.Eigenvalue of the laplacian in a domain with a thin jubular hole［J］.Journal of Elliptic and Parabolic Equations，2015，1（1）：137－174.