王丙森

【摘 要】從數(shù)學(xué)史的角度研究高中數(shù)學(xué)，對(duì)認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)教育具有啟發(fā)意義。揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展和本質(zhì)，追求數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，能夠使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)到其中蘊(yùn)含的思想方法。本文從圓錐曲線歷史中，找到橢圓概念與現(xiàn)在教材的聯(lián)系，同時(shí)介紹了橢圓的推導(dǎo)方法，通過在歷史上對(duì)橢圓知識(shí)的處理，感受現(xiàn)今高中教材中對(duì)橢圓設(shè)置的合理性，感受數(shù)學(xué)的歷史對(duì)高中數(shù)學(xué)的影響。

【關(guān) 鍵 詞】數(shù)學(xué)史；高中數(shù)學(xué)；橢圓的定義；橢圓方程的推導(dǎo)；圓錐曲線

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）34-0114-02

一、問題的提出

在人教A版高中數(shù)學(xué)教材選修2-1，第二章“圓錐曲線與方程”，第2.2節(jié)“橢圓”的教材中，用繩子畫橢圓，由畫法歸納出橢圓的定義，然后推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這種方式非常簡(jiǎn)潔，由此推理得出相關(guān)結(jié)論，也符合數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯體系。但是教材沒有給出為什么“用平面截圓錐得到不同的截口是圓錐曲線”與“用繩子固定兩端畫圖形得出橢圓定義”的關(guān)系；而且橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中，由于運(yùn)算特別復(fù)雜，又沒有相對(duì)簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，讓學(xué)生不困在煩瑣的計(jì)算中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。為解決這個(gè)問題，我們可以從圓錐曲線的數(shù)學(xué)史中找到橢圓概念與現(xiàn)今教材中定義的聯(lián)系及答案。

二、橢圓定義的發(fā)展

圓錐曲線在公元前4世紀(jì)就已經(jīng)閃亮登場(chǎng)了，古希臘的歐幾里得（約公元前325-公元前265）著有《圓錐曲線》，對(duì)圓錐曲線的許多性質(zhì)做了系統(tǒng)地總結(jié)。盡管此書已經(jīng)失傳，但是上面已經(jīng)作出現(xiàn)在橢圓的常見定義﹕

截面定義﹕橢圓是一個(gè)圓錐與不過其頂點(diǎn)且與其所有母線相交于同一葉上的一個(gè)平面相截而得到的平面曲線。

第二定義﹕平面上到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線距離之比為定值（小于1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。

直到17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)在《圓錐曲線分析》中才拋棄了古希臘人的定義方法，給出了橢圓的第一定義﹕平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡為橢圓，與我們現(xiàn)在的教材相仿。

到了1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林在一篇論文中才利用圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球，直接在圓錐上做出橢圓的截面的焦點(diǎn)，導(dǎo)出焦半徑的性質(zhì)，從而把古希臘截面定義和17世紀(jì)橢圓第一定義之間聯(lián)系在一起。

如圖1旦德林雙球：圓錐內(nèi)有兩個(gè)內(nèi)切球，兩球在截面的兩側(cè)，其切點(diǎn)分別為E和F，在截面上任取一點(diǎn)A作圓錐的母線分別與內(nèi)切球交于B，C兩點(diǎn)，顯然AB和AF；AC和AE分別為球的切線，易得AF+AE=AB+AC（定值），且E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，進(jìn)而更合理地解釋了為什么橢圓叫圓錐曲線；為什么動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和為定值；而且還意外得知：為什么橢圓會(huì)與兩個(gè)定點(diǎn)相關(guān)，即為什么會(huì)有焦點(diǎn)。

通過上述橢圓定義的發(fā)展，可以讓我們對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)從直觀地感性認(rèn)識(shí)逐漸地上升到理性的認(rèn)識(shí)，通過分析得出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)?shù)學(xué)定義，通過數(shù)學(xué)的發(fā)展史，使我們清楚為什么教材能用繩畫得出橢圓，得到橢圓的定義。

三、橢圓方程的推導(dǎo)

方法一是教材的方法，“兩次平方”化簡(jiǎn)，換元

如圖2建系A(chǔ)B為x軸，CD為y軸，設(shè)|F1F2|=2c，點(diǎn)P（x，y），|PF1|+|PF2|=2a（a[>c]），

即：[（x-c）2+y2+（x+c）2+y2=2a]

[（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2]

兩邊平方有：

[（x+c）2+y2=4a2-4a（x-c）2+y2+（x-c）2+y2?a2-cx=a（x-c）2+y2]

兩邊再平方有：

[a4-2a2cx+c2x2=a2（x2-2cx+c2+y2）?（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）]

設(shè)[b2=a2-c2（b>0）]有：

[b2x2+a2y2=a2b2?x2a2+y2b2=1（a>b>0）.]

方法二是數(shù)學(xué)家洛必達(dá)（1661～1704）的推導(dǎo)方法，但他并沒有把方程化成橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。如上圖2，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸|AB|=2a，短軸|CD|=2b，焦距|F1F2|=2c，橢圓上任意一點(diǎn)P（x，y）。由于|PF1|+|PF2|=2a（a[>c]），設(shè)[|PF1|=a+z，|PF2|=a-z]（z為參數(shù)），

所以有：[|PF1|=（x+c）2+y2，|PF2|=（x-c）2+y2]

[|PF1|2-|PF2|2=（a+z）2-（a-z）2]

[=（x+c）2+y2-（x-c）2+y2]

[?z=cxa]

又[a+z=（x+c）2+y2]

[?a+cxa=（x+c）2+y2?a2+2cx+c2x2a2=x2+2cx+c2+y2?y2=b2a2（a2-x2）（b2=a2-c2）.]

洛必達(dá)的橢圓方程用長(zhǎng)短軸之比表達(dá)了橢圓的性質(zhì)，他的推導(dǎo)方法在19世紀(jì)被許多作者采用。

方法三是用余弦定理和橢圓定義推導(dǎo)，如圖三

又有：

四、教材對(duì)比

下表給出19世紀(jì)左右出版的以第一定義、中心在原點(diǎn)建系的數(shù)學(xué)教材

由上表可以看出，歷史上很多教材都把第一定義作為橢圓的定義，并沒有創(chuàng)設(shè)情境，而是直接引入的方法，方程的推導(dǎo)方法大多數(shù)是“兩次平方”或者洛必達(dá)推導(dǎo)方法。我國(guó)現(xiàn)行的教材也采用的是橢圓第一定義，定義的引入采用“用繩子固定兩端畫橢圓”的方法，在“探究與發(fā)現(xiàn)”中給出橢圓的截面定義并用“dandelion雙球”給出證明，是合理的、符合歷史發(fā)展的。

通過歷史上橢圓的發(fā)展，再對(duì)照我國(guó)的教材，橢圓的定義、方程的推導(dǎo)是符合歷史上多數(shù)教材的處理方式，現(xiàn)在教材只是歷史上眾多方法中的一種，若在教學(xué)中加入數(shù)學(xué)的歷史會(huì)更精彩！

歷史是最好的啟發(fā)式。教師要讓數(shù)學(xué)史能有機(jī)地融入數(shù)學(xué)教育中，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)課程教育的作用和功效；教師要讓高中數(shù)學(xué)成為有用的數(shù)學(xué)、自然的數(shù)學(xué)、清楚的數(shù)學(xué)。

（編輯：胡 璐）