梁 美 社

(石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 科技發(fā)展與校企合作部，河北 石家莊 050081)

Pawlak于1982年首次提出了粗糙集理論,主要用來處理不精確、不確定、不完全的數(shù)據(jù)系統(tǒng)[1].隨后,該理論被廣泛應(yīng)用于人工智能的各個領(lǐng)域[2].在Pawlak粗糙集模型中,等價關(guān)系起著至關(guān)重要的作用,由于這一關(guān)系過于苛刻,因此在很大程度上限制了該近似算子在粗糙集模型中的應(yīng)用.近年來, 許多學(xué)者對粗糙集進行了各種推廣研究[3-9],例如基于鄰域關(guān)系、相似關(guān)系、一般二元關(guān)系等的研究.文獻[10]從公理化角度研究了廣義模糊粗糙集及其近似算子.文獻[11]在文獻[10]的基礎(chǔ)上，提出了基于模糊關(guān)系的廣義模糊粗糙集的(α,β)上下近似算子.

矩陣最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的二維數(shù)據(jù)表格.矩陣算子用于建立從當(dāng)前矩陣到特殊類型矩陣的映射.文獻[2-20]分別從不同角度研究了矩陣算子在經(jīng)典粗糙集模型和變精度粗糙集模型中的應(yīng)用.文獻[21]用矩陣方法研究了雙論域粗糙集,提出了雙論域上的關(guān)系矩陣，并構(gòu)造了兩個布爾方陣.文獻[22]基于等價關(guān)系矩陣和子集列矩陣,研究了模糊粗糙集模型,取得了不錯的結(jié)果.這些都是利用論域上的等價關(guān)系矩陣來計算上下近似。本文在文獻[11]的基礎(chǔ)上,利用截關(guān)系矩陣、模糊子集的截列陣之間的運算來表示廣義模糊粗糙集的上下近似算子,并進一步計算廣義模糊粗糙集的粗糙度和相似度.

1 預(yù)備知識

1.1 廣義模糊粗糙集

設(shè)U為一個非空有限論域,P(U)為U上的所有子集構(gòu)成的集合,F(U)為U上所有模糊子集構(gòu)成的集合.對于任意A∈F(U)，?α∈[0,1],Aα={x∈U;A(x)≥α}和Aα+={x∈U;A(x)>α}分別為模糊子集A的α-水平截集和α-水平強截集.由?A,B∈F(U)知，(A∪B)α=Aα∪Bα,(A∩B)α=Aα∩Bα.

定理1設(shè)(U,R)為廣義模糊近似空間,對于任意A∈F(U),若0.5<β≤1，則

性質(zhì)1設(shè)(U,R)為廣義模糊近似空間.對于?A,B∈F(U)有：

(4)A,B∈F(U),若A?B則：

以上性質(zhì)均可根據(jù)定義1及定理1直接證明.

由定義1、定理1知,通過截關(guān)系，可將模糊信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為經(jīng)典信息系統(tǒng),通過研究轉(zhuǎn)化后的經(jīng)典信息系統(tǒng)的性質(zhì)，來間接反映原模糊信息系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì).

1.2 廣義模糊粗糙集的(α,β)粗糙度、相似性度量

由定理1得到了一對對偶的上下近似算子,由這對對偶算子可以定義U上任意模糊子集的粗糙度.

結(jié)合文獻[23],也可以得到U上任意兩個模糊子集的相似性.

定義4設(shè)(U,R)為廣義模糊近似空間,?A,B∈F(U),?1,?2∈[0,1],?1+?2=1,定義A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(α,β)的相似性度量為：

2 廣義模糊粗糙集模型中的矩陣運算

2.1 (α,β)上下近似的矩陣表示

證明(1)證明下近似的情形

(2)證明上近似的情形

2.2 廣義模糊粗糙集的(α,β)粗糙度、相似性度量的矩陣計算

根據(jù)定義3,A∈F(U),定義A在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(α,β)的粗糙度的計算可以用矩陣計算，表示為：

2.3 實例分析

設(shè)論域U={x1,x2,…,x5},R為U上的模糊關(guān)系,取α=0.8,β=0.4,A,B∈F(U),

A=[0.1,0.7,0.5,0.9,0.2]T，

B=[0.5，0.3,0.8,0.2,0.9]T.

R截關(guān)系矩陣、模糊子集A,B的截列陣分別為：

A0.4=[0,1,1,1,0]T,B0.4=[1,0,1,0,1]T.

根據(jù)定理2,模糊子集A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(0.8,0.4)的上下近似矩陣分別為：

模糊子集A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(0.8,0.4)的上下近似為：

A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(0.8,0.4)的粗糙度為：

令?1=0.4,?2=0.6,A,B在近似空間(U,R)中關(guān)于參數(shù)(0.8,0.4)的相似度為：

3 結(jié)語

本文首先利用截關(guān)系,將模糊信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為經(jīng)典信息系統(tǒng),而后將矩陣思想應(yīng)用于該系統(tǒng)中.研究表明,用矩陣運算計算參數(shù)(α,β)下模糊子集的上下近似、粗糙度及相似度簡單易行.根據(jù)實際問題需要，可以選取不同的參數(shù)(α,β)，以得到不同的結(jié)果.

參考文獻：

[1] PAWLAK Z.Rough Set[J].International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11(5):205-218.

[2] 張文修,梁怡,吳偉志，等.信息系統(tǒng)與知識發(fā)現(xiàn)[M].北京:科學(xué)出版社,2003:1-228.

[3] ZIARKO W.Variable Precision Rough Set Model[J].Journal of Computer and System Sciences,1993,46(1):39-59.

[4] INUIGUCHI M,YOSHIOKA Y,KUSUNOKI Y.Variable-precision Dominance-based Rough Set Approach and Attribute Reduction[J].International Journal of Approximate Reasoning,2009,50(8):1199-1214.

[5] LIU GUILONG.Generalized Rough Sets over Fuzzy Lattices[J].Information Sciences,2008,178 (6):1651-1662.

[6] RADZIKOWSKA A,KERRE E.Fuzzy Rough Sets Based on Residuated Lattices[M].Berlin:Heidelberg Springer,2005:278-296.

[7] 石夢婷,劉文奇,范敏.兩個域上的覆蓋粗糙集模型[J]. 計算機工程與應(yīng)用,2013,49(10):132-135.

[8] LIU GUILONG.Rough Set Theory Based on two Universal Sets and Its Applications[J].Knowledge-Based Systems,2010,23(2):110-115.

[9] YAO YIYU.Generalized Rough Set Models[J].Rough Sets in Knowledge Discovery,1998(1):286-318.

[10] MADZIKOWSKA A M,KERRE E E.A Comparative Study of Fuzzy Rough Sets[J].Fuzzy Set and Systems,2002,126(2):137-155.

[11] 吳建春,李曉琴.廣義模糊粗糙集的粗糙度[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報,2014,40(6):156-159.

[12] GUAN J W,BELL D A,GUAN Z.Matrix Computation for Information Systems[J].Information Sciences,2001,131(1):129-156.

[13] 雷曉蔚.粗糙集理論的矩陣方法[J].計算機工程與應(yīng)用,2006,42(17):73-75.

[14] 楊勇.粗糙集的矩陣定義[J].計算機工程與應(yīng)用,2007,43(14):1-2.

[15] 羅來鵬.粗糙集的矩陣關(guān)系[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2009(23):203-207.

[16] 羅來鵬,劉二根,曾毅.粗糙集理論研究的矩陣方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2009(4):859-862.

[17] ZHANG J B,LI T R,RUAN D,et al.Rough Sets Based Matrix Approaches with Dynamic Attribute Variation in Set-valuedtion Systems[J].International Journal of Approximaximate Reasoning,2012,53(4):620-635.

[18] LIU GUILONG.The Axiomatization of Rough Set Upper Approximation Operation[J].Fundamental Informaticae,2006,69(3):331-342.

[19] 王磊.信息系統(tǒng)動態(tài)知識更新的矩陣方法研究[D].成都:西南交通大學(xué),2013.

[20] 王磊,李天瑞.基于矩陣的粗糙集上下近似的計算方法[J].模式識別與人工智能,2011,24(6):756-762.

[21] 劉慧,祝峰,林姿瓊.雙論域粗糙集的矩陣表示[J].計算機工程與應(yīng)用,2015,(24):154-158.

[22] 李中然,舒蘭.模糊粗糙集的上下近似的矩陣計算[J].計算機技術(shù)與發(fā)展,2015,25(4):10-12.

[23] 林娟,米據(jù)生,解濱.粗糙集的兩種相似性度量[J].計算機科學(xué),2015,42(6):97-100.