考點(diǎn)1 三角形的三邊關(guān)系

例1 （2017·淮安）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和8，則第三邊長(zhǎng)可能是（ ）.

A.14 B.10 C.3 D.2

【分析】已知三角形的兩邊求第三邊時(shí)，依據(jù)“已知兩邊的差（長(zhǎng)邊減短邊）<第三邊<已知兩邊的和”構(gòu)造不等式組求解.

解：設(shè)這個(gè)第三邊長(zhǎng)為a，根據(jù)“三角形三邊之間的關(guān)系”得8-5

【點(diǎn)評(píng)】判斷給定的三條線段能否組成三角形，只需判斷兩條較短線段的和是否大于最長(zhǎng)線段即可.

考點(diǎn)2 三角形的內(nèi)角和

例2 （2017·郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如圖1擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠α+∠β等于（ ）.

A.180° B.210° C.360° D.270°

【分析】題中已知一副三角板六個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，∠α、∠β是三角形的兩個(gè)外角，要求∠α+∠β度數(shù)，可以考慮利用三角形的外角性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角板的內(nèi)角度數(shù)來(lái)求解.

解：如圖2，不妨設(shè)AB與DE交于點(diǎn)G，EF與AB交于點(diǎn)H，由三角形的外角性質(zhì)可知：∠α=∠A+∠AGD，∠β=∠B+∠BHF，由于∠AGD=∠EGH，∠BHF=∠EHG，所以∠AGD+∠BHF=∠EGH+∠EHG=180°-∠E=180°-（90°-∠D）=120°，所以∠α+∠β=∠A+∠B+∠AGD+∠BHF=90°+120°=210°，故應(yīng)選B.

【點(diǎn)評(píng)】在計(jì)算與三角形有關(guān)的角度時(shí)，首先應(yīng)判斷出待求角與已知角之間的關(guān)系，再合理選用三角形的內(nèi)角和定理或外角性質(zhì)求解.

考點(diǎn)3 全等三角形的性質(zhì)與判定

例3 （2017·常州）如圖3，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.

（1）求證：AC=CD；

（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得到∠ACB=∠DCE，結(jié)合已知條件∠BAC=∠D， BC=CE，利用“AAS”可以證明△ABC≌△DEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

（2）根據(jù)∠ACD=90°，AC=CD，得到∠CAD=∠D=45°，又AC=AE，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求∠AEC的度數(shù)，然后依據(jù)平角的定義求∠DEC的度數(shù).

（1）證明：∵∠BCE=∠ACD=90°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，

∴∠BCA=∠ECD.

在△BCA和△ECD中，

[∠BCA=∠ECD，∠BAC=∠D，BC=CE，]

∴△BCA≌△ECD，

∴AC=CD.

（2）解：∵∠ACD=90°，AC=CD，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴∠DAC=45°，

∵AC=AE，

∴∠AEC=∠ACE=[12]（180°-∠DAC）

=[12]（180°-45°），

∴∠DEC=180°-∠AEC

=180°-[12]（180°-45°）

=112.5°.

【點(diǎn)評(píng)】證明兩條線段相等或兩個(gè)角相等時(shí)，通常采用的方法是證明這兩條線段或這兩個(gè)角所在的三角形全等.

考點(diǎn)4 等腰三角形的性質(zhì)與判定

例4 （2017·連云港）如圖4，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE，連接BE、CD，交于點(diǎn)F.

（1）判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）求證：過(guò)點(diǎn)A、F的直線垂直平分線段BC.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”可以證明△ABE≌△ACD，然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得證；（2）由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，又根據(jù)（1）的結(jié)論可得∠ABE=∠ACD，則∠FBC=∠FCB，由等角對(duì)等邊可得FB=FC，依據(jù)垂直平分線的判定即可證明結(jié)論.

（1）解：∠ABE=∠ACD，理由如下：

在△ABE和△ACD中，

[AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，]

∴△ABE≌△ACD，

∴∠ABE=∠ACD.

（2）證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

由（1）可知∠ABE=∠ACD，

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC，

∵AB=AC，

∴點(diǎn)A、F均在線段BC的垂直平分線上，即直線AF垂直平分線段BC.

【點(diǎn)評(píng)】在三角形中，證明兩條線段或兩個(gè)角相等時(shí)，如果線段或角在同一個(gè)三角形中，則先考慮用“等邊對(duì)等角”“等角對(duì)等邊”來(lái)證明.

考點(diǎn)5 勾股定理及其逆定理

例5 （2017·安順）三角形三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，那么最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)等于

.

【分析】先根據(jù)勾股定理逆定理判斷出三角形是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解

解：∵32+42=25=52，

∴該三角形是直角三角形，

∴最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)=[12]×5=2.5.

【點(diǎn)評(píng)】勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是直角三角形的重要方法，應(yīng)先確定最長(zhǎng)邊，然后驗(yàn)證兩條較短的邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方.

考點(diǎn)6 直角三角形的性質(zhì)

例6 （2017·龍東）如圖6，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，點(diǎn)M是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°.則當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為 .

圖6

【分析】注意到點(diǎn)M位置的不確定性，因此考慮分類(lèi)討論解決此題，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是看△ABM中哪個(gè)頂點(diǎn)可能是直角頂點(diǎn).分好類(lèi)以后，畫(huà)出草圖，根據(jù)已知給出的數(shù)據(jù)逐個(gè)計(jì)算即可.

解：（1）如圖7，當(dāng)點(diǎn)B為直角三角形ABM的直角頂點(diǎn)時(shí)，

∵AB=8，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，∴OB=4，

∵∠AOC=60°，∴∠BOM=60°，

∴∠OMB=30°，∴OM=8，

在Rt△OBM中，由勾股定理得BM=[43]，

在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=[AB2+BM2]=[47].

（2）如圖8，當(dāng)點(diǎn)M在△ABC外部且點(diǎn)M為直角三角形ABM的直角頂點(diǎn)時(shí)，

∵點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，∴OM=OB，

∵∠BOM=∠AOC=60°，

∴△BOM是等邊三角形，

∴∠OBM=60°，∴∠BAM=30°，

∴BM=[12]AB=4，在Rt△ABM中，由勾股定理得AM=[43].

（3）如圖9，當(dāng)點(diǎn)M在△ABC內(nèi)部且點(diǎn)M為直角三角形ABM的直角頂點(diǎn)時(shí)，同（2）可得△AOM是等邊三角形，∴AM=AO=4.

綜上所述，AM的長(zhǎng)為[47]或[43]或4.

【點(diǎn)評(píng)】在直角三角形中，“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”揭示的是直角邊與斜邊的關(guān)系，它在求直角三角形中的線段長(zhǎng)時(shí)能起到關(guān)鍵的作用.

（作者單位：江西省贛縣江口中學(xué)）