任燕芝

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 陜西 西安 710126)

智能優(yōu)化算法是建立在生物智能或物理現(xiàn)象基礎(chǔ)之上，通過模擬某些自然現(xiàn)象或過程來求解復(fù)雜優(yōu)化問題的一種方法[1]. 常見的智能算法有： 粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)[2]、人工蜂群算法(artificial bee colony, ABC)[3]、人群搜索算法(seeker optimization algorithm, SOA)[4]、蝙蝠算法(bat algorithm, BA)[5]、布谷鳥算法(cuckoo search ,CS)[6]等,這些算法為解決傳統(tǒng)優(yōu)化算法難以處理的問題提供了切實可行的方案.

粒子群算法(PSO)是由美國的KENNEDY等[2]基于鳥群飛行覓食的行為提出的一種有效的全局尋優(yōu)算法. 與其他智能算法相比，PSO算法操作簡單，具有記憶全局極值和個體極值的功能，能根據(jù)當(dāng)前的搜索情況動態(tài)地調(diào)整搜索策略，在較少的迭代次數(shù)內(nèi)找到最優(yōu)解. PSO算法已被廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、數(shù)據(jù)挖掘、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練等領(lǐng)域. 但PSO算法存在易早熟收斂、易陷入局部最優(yōu)等缺點，為此，專家學(xué)者們提出了許多改進措施. 文獻[7]提出由種群多樣性引導(dǎo)的粒子群算法(ARPSO)，該算法在迭代過程中，通過種群多樣性的大小判斷粒子處于吸引還是排斥階段.當(dāng)種群多樣性下降到最小閾值時，采用種群增加機制，此為吸引階段；當(dāng)種群多樣性增加到最大閾值時，采用精英選擇機制，此為排斥階段. 但粒子的種群多樣性往往處于二者之間，因此改進算法的效果不太明顯，而且該算法需要在每一次迭代中計算種群的多樣性，增加了算法的復(fù)雜度. 2013年，WANG等[8]提出了基于鄰域搜索的粒子群算法(DNSPSO),以一定的概率從父代種群和子代種群中隨機選擇粒子作為試驗個體，采用貪婪策略更新粒子，然后通過鄰居搜索策略使粒子之間實現(xiàn)信息交互，此算法對復(fù)雜問題的優(yōu)化有較好的尋優(yōu)效果.

目前，大多數(shù)改進PSO算法所提出的改進策略是作用在整個種群上的，由自然環(huán)境對生物的選擇可知，同一環(huán)境下，不同生物對環(huán)境的適應(yīng)度不同，進化速度和方式也不同；不同環(huán)境下，同一生物的進化方向也有不同. 為此，本文提出一種基于動態(tài)分級和鄰域反向?qū)W習(xí)的改進粒子群算法. 在算法中，根據(jù)函數(shù)評價次數(shù)和每次迭代時粒子的適應(yīng)度值將種群中的粒子動態(tài)地劃分成3個等級，并分別對不同等級內(nèi)的粒子執(zhí)行不同的擾動策略，使得粒子在增強種群多樣性的同時保持向全局最優(yōu)方向進化，在此基礎(chǔ)上，采取新的粒子位置更新方式，提高粒子的尋優(yōu)能力. 另外，為了加快算法的收斂速度，平衡種群的局部開采和全局探測能力，引入了動態(tài)鄰域反向點來構(gòu)建全局搜索策略. 仿真結(jié)果表明，該算法在求解不同類型測試函數(shù)時均取得了較好的實驗效果.

1 PSO算法

在粒子群算法中，每個粒子代表尋優(yōu)空間中一個潛在的解，對應(yīng)一個由適應(yīng)度函數(shù)決定的適應(yīng)度值，粒子根據(jù)本身找到的最優(yōu)解和整個種群當(dāng)前找到的最優(yōu)解進行更新迭代，直到找到全局最優(yōu)解為止.

假設(shè)在D維的可行解空間，初始化N個粒子x=(x1,x2,…,xN),其中第i個粒子表示為xi=(xi1,xi2,…,xiD),代表第i個粒子在搜索空間的位置，第i個粒子的速度定義為vi=(vi1,vi2,…,viD). 在每次迭代中計算各粒子的適應(yīng)度值，確定t時刻第i個粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置，即個體極值pbesti=(pbesti1,pbesti2,…，pbestiD)，以及整個種群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置，即全局極值gbest=(gbest1,gbest2,…,gbestD).

vij(t+1)=vij(t)+c1r1(pbestij(t)-xij(t))+

c2r2(gbestj(t)-xij(t))，

(1)

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)，

(2)

其中，c1和c2(非負(fù)常數(shù))為學(xué)習(xí)因子,控制粒子向個體極值和全局極值學(xué)習(xí)能力的大小；r1,r2為[0,1]內(nèi)的隨機數(shù)；t為迭代次數(shù). 在迭代過程中，根據(jù)式(1)和式(2)更新粒子的速度和位置.

1998年，EBERHART等對式(1)進行了改進，形成了目前通用的粒子群算法速度更新公式：

vij(t+1)=wvij(t)+c1r1(pbestij(t)-xij(t))+

c2r2(gbestj(t)-xij(t))，

(3)

其中，w為慣性權(quán)重,控制前一速度對當(dāng)前速度的影響,使其保持運動慣性，有能力搜索新的區(qū)域.

2 基于動態(tài)分級和鄰域反向?qū)W習(xí)的改進PSO算法(DSNRPSO)

2.1 動態(tài)分級擾動策略

在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法中，種群中的粒子在每一次迭代時單純地按照式(2)和式(3)更新，使得種群在收斂時，降低了多樣性，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)無法跳出，最優(yōu)解不被更新的可能性變大，增加了無效搜索次數(shù). 另外，在求解多峰或具有極強跳躍性特點的函數(shù)時，當(dāng)前最優(yōu)個體的前進方向不一定就是全局最優(yōu)方向，因此，當(dāng)種群的多樣性降低、算法中的最優(yōu)個體領(lǐng)導(dǎo)能力下降時，有必要對種群中的最優(yōu)個體進行擾動. 本文基于函數(shù)評價次數(shù)和粒子的適應(yīng)度值動態(tài)地將種群中的粒子劃分為3個等級，對不同等級中的粒子執(zhí)行不同的擾動策略. 這種動態(tài)分級擾動策略在增加種群多樣性的同時，一定程度上也促使了粒子向全局最優(yōu)進化.

2.1.1 動態(tài)分級機制

本文只考慮無約束最小化優(yōu)化問題，將其目標(biāo)函數(shù)作為算法的適應(yīng)度函數(shù)，在每一次迭代中，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值重新排列粒子，使得當(dāng)粒子xi的下標(biāo)從1到N時,適應(yīng)度值變大，粒子變差，在此基礎(chǔ)上根據(jù)函數(shù)評價次數(shù)的變化情況動態(tài)地將粒子分為最優(yōu)、次優(yōu)、最差3個等級. 在迭代初期，種群中的大部分粒子距離全局最優(yōu)點較遠(yuǎn)，因此使最優(yōu)等級中的粒子占主導(dǎo)地位，有利于加快算法的收斂速度；在迭代中期，粒子接近全局最優(yōu)點或者局部最優(yōu)點，需要粒子細(xì)致地搜索解空間，以提高算法的收斂精度；在迭代后期，算法可能陷入局部最優(yōu)，此時，可通過增加隨機游走粒子，盡量使算法跳出局部極值的約束. 具體的分級方法如下：

(4)

其中，

(5)

(6)

其中，N為種群規(guī)模；t為當(dāng)前函數(shù)評價次數(shù)；T為最大函數(shù)評價次數(shù). 種群中粒子等級的劃分及每個等級內(nèi)的粒子數(shù)隨評價次數(shù)變化的趨勢圖如圖1所示.

圖1 粒子分級示意圖Fig. 1 Illustration of the particle classification

2.1.2 擾動機制

最優(yōu)等級中的粒子xi(i=1,2,…,m)影響種群的進化方向，引導(dǎo)種群向最優(yōu)解方向進化，故保留當(dāng)前的最優(yōu)粒子. 其粒子位置的擾動公式為

xi(t)=xi(t) .

(7)

(8)

其中，pr為選擇概率；r3為[0,1]上滿足均勻分布的隨機數(shù).

最差等級中的粒子xi(i=n,n+1,…,N)對種群尋優(yōu)的貢獻不大，故將其作為游蕩者，以增加種群多樣性，避免種群中粒子陷入局部最優(yōu).其粒子位置的擾動公式為

(9)

其中，

(10)

maxpj=max{pbestij(t)|i=1,2,…,N},

(11)

minpj=min{pbestij(t)|i=1,2,…,N},

(12)

2.2 改進粒子位置的更新方式

在PSO尋優(yōu)過程中，粒子收斂速度過快是導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)的原因之一，因此，為了控制粒子的更新速度，構(gòu)建了粒子位置的更新公式：

(13)

按此更新方式，粒子在迭代初期，以較快的速度向全局極值方向進化，提高了算法的搜索速度；在迭代后期，粒子以較慢的速度進化，提高了種群的尋優(yōu)能力，避免粒子更新過快，跳過最優(yōu)解.

2.3 動態(tài)鄰域反向?qū)W習(xí)全局搜索策略

圖2 環(huán)狀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和當(dāng)k=2時粒子xi的鄰域Fig. 2 The circle topology and 2-neighborhood

定義假設(shè)種群中第i個粒子為xi,i=1,2,…,N，其中N為種群規(guī)模.xm和xn為xi鄰域中的2個粒子，滿足m≠n≠i，則在第t次迭代過程中，xi的動態(tài)鄰域反向點為

(14)

圖3 動態(tài)鄰域反向點的例子Fig. 3 An example for dynamic neighborhood reverse point

為了進一步提高算法的全局搜索能力，引導(dǎo)種群向全局最優(yōu)點方向進化，加快算法的收斂速度，結(jié)合上述定義的動態(tài)鄰域反向點和全局極值點構(gòu)建全局搜索策略：

(15)

gvi=vi,

(16)

2.4 DSNRPSO算法步驟：

步驟1隨機初始化種群，設(shè)置學(xué)習(xí)因子c1和c2、慣性權(quán)重w、最大函數(shù)評價次數(shù)T、種群規(guī)模N、維數(shù)D、鄰域半徑k、函數(shù)評價次數(shù)t=0；

步驟2計算粒子的適應(yīng)度值，初始化全局極值gbest和個體極值pbest；

步驟3根據(jù)粒子的適應(yīng)度值對粒子排序，按式(4)～(6)將種群中的粒子進行動態(tài)分級，對不同等級粒子按式(7)～(9)對其擾動；

步驟4如果rand

步驟5更新個體極值pbest和全局極值gbest；

步驟6若達到最大函數(shù)評價次數(shù)，則停止迭代，輸出全局極值，否則，t=t+1，轉(zhuǎn)步驟3.

綜上所述，基于動態(tài)分級和鄰域反向?qū)W習(xí)的改進粒子群算法的流程圖如圖4所示.

3 數(shù)值試驗及結(jié)果分析

3.1 測試函數(shù)及評價標(biāo)準(zhǔn)

為了驗證本算法的有效性和可行性，采用4種類型的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)[14-15]對算法進行仿真： 單峰及簡單的多峰函數(shù)(f1～f4)、非旋轉(zhuǎn)的多峰函數(shù)(f5～f7)、旋轉(zhuǎn)的多峰函數(shù)(f8～f10)和高維的漂移函數(shù)(f11～f15)，具體如表1所示. 通過統(tǒng)計適應(yīng)度誤差的均值和方差評價算法的優(yōu)化性能，其中適應(yīng)度誤差值為(f(x)～f(x*))(x和x*分別為算法所獲的最優(yōu)值和理論最優(yōu)值).

圖4 DSNRPSO算法流程圖Fig. 4 Flowchart of DSNRPSO

3.2 仿真實驗與仿真環(huán)境

實驗分為4部分： 實驗1： 參數(shù)敏感性分析. 算法中參數(shù)pr和pns分別控制較優(yōu)等級中粒子的交叉概率和種群中粒子信息交互的能力，本文分別取pr=0.1,0.3,0.5和pns=0.4,0.6,0.8,1.0對標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進行測試，pr和pns參數(shù)有12種組合. 為了簡化數(shù)據(jù)，選取仿真結(jié)果相對較優(yōu)的參數(shù)和其對應(yīng)的實驗結(jié)果，具體見表2. 實驗2： 本文主要提出了3個策略： 分級擾動機制、粒子智能更新行為和鄰域反向?qū)W習(xí)的全局搜索策略. 為了探討各策略對算法的影響，驗證各策略的有效性，將標(biāo)準(zhǔn)的PSO、基于分級擾動機制的PSO(SPSO)、基于分級擾動機制和鄰域反向?qū)W習(xí)的PSO(SNRPSO)和包含所有機制的PSO(DSNRPSO)對簡單的單峰和多峰標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進行仿真實驗. 實驗3： 將本文提出的算法DSNRPSO與標(biāo)準(zhǔn)的PSO[2]、基于自然選擇的PSO(NPSO)[1]、基于鄰域搜索增加種群多樣性的PSO(DNSPSO)[8]、人群搜索算法(SOA)[4]、布谷鳥算法(CS)[6]的實驗結(jié)果進行對比. 實驗4： 為了分析本文算法對高維測試函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性，將測試函數(shù)的維度D設(shè)為300，測試函數(shù)為f1，f2和f6，給出幾種算法在這3個函數(shù)上的統(tǒng)計結(jié)果并進行比較，評價指標(biāo)為最優(yōu)值、最差值、均值和方差.

仿真實驗環(huán)境： 處理器： Pentium(R) Dual-Core CPU E5800 @3.20 GHz；RAM: 2 GB；系統(tǒng)類型： Win8.1 64位操作系統(tǒng)；語言： Matlab ；版本： R2014a.

3.3 實驗參數(shù)設(shè)定

為了保證比較的公平性，本文在選取相同通用參數(shù)的基礎(chǔ)上，各進化算法參數(shù)采用參考文獻中的建議設(shè)置，停止準(zhǔn)則為函數(shù)評價次數(shù)達到最大函數(shù)評價次數(shù)，其中，30維測試函數(shù)的最大函數(shù)評價次數(shù)T=300 000，100維和300維測試函數(shù)的最大函數(shù)評價次數(shù)T=500 000，種群規(guī)模N=40，權(quán)重因子w=0.729 84，學(xué)習(xí)因子c1=c2=1.469 18. 除相同的參數(shù)外，各優(yōu)化算法的其他參數(shù)設(shè)置如下： DNSPSO[8]中鄰域半徑k=2，參數(shù)pr=0.9，pns=0.6；SOA[4]中最大隸屬度值umax=0.950 0,最小隸屬度值umin=0.011 1，權(quán)重最大值wmax=0.9，權(quán)重最小值wmin=0.1；CS[6]中被宿主發(fā)現(xiàn)的概率pa=0.25. 在每個實驗中，6種算法分別進行30次獨立實驗測試. 實驗統(tǒng)計結(jié)果見表2～表5，收斂趨勢圖如圖5所示. 其中，黑體數(shù)值表示對比算法在相應(yīng)函數(shù)上的尋優(yōu)效果最好.

3.4 實驗結(jié)果分析

實驗1保持種群多樣性和提高算法收斂精度是改進PSO算法的關(guān)鍵，通過對比表2中參數(shù)相同pr、不同pns和不同pr、相同pns2種情況下的實驗統(tǒng)計結(jié)果發(fā)現(xiàn)： 參數(shù)pr對算法的影響較小，說明采用動態(tài)分級機制能夠增加種群多樣性，參數(shù)pns對算法的影響較大，故通過定義鄰域反向點構(gòu)建全局搜索策略可以較好地平衡種群的局部開采和全局探測能力，提高算法的收斂精度，并且當(dāng)取pr=0.1和pns=0.8時，DSNRPSO算法在測試函數(shù)上取得了較好的綜合尋優(yōu)效果.

實驗2種群的多樣性影響算法的精度，全局搜索策略影響算法的收斂速度，二者相互制約. 從表3可以看出，SPSO算法對測試函數(shù)f2和f4～f7的收斂精度優(yōu)于PSO算法，而對函數(shù)f1和f3的收斂精度劣于PSO算法，說明采用分級機制可以有效增強種群多樣性，但降低了算法的收斂速度；SNRPSO算法的仿真結(jié)果除函數(shù)f2外均優(yōu)于SPSO算法，說明采用鄰域反向?qū)W習(xí)策略極大地提高了算法的收斂精度和速度，但降低了種群的多樣性；為了平衡2種策略對算法的影響，在 SNRPSO算法的基礎(chǔ)上，采用粒子智能更新方式的DSNRPSO算法，仿真結(jié)果最優(yōu)，說明采用粒子智能更新方式調(diào)節(jié)粒子的更新速度有效地平衡了算法的尋優(yōu)精度和收斂速度.

表1 標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)

表2 不同pr和pns組合對應(yīng)的DSNRPSO算法在測試函數(shù)上的適應(yīng)度誤差的均值

表4 6種算法在標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)上的適應(yīng)度誤差均值和方差

圖5 6種算法在標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)上的收斂曲線Fig.5 The convergence curves of six methods on benchmark function

實驗3由表4和圖5可知，6種算法在對不同類型的測試函數(shù)進行尋優(yōu)時，其收斂速度和精度存在以下差異： 對函數(shù)f1和f3，SOA和CS算法陷入局部最優(yōu)，PSO、NPSO、DNSPSO和DSNRPSO算法收斂性能較好，DSNRPSO算法收斂速度最快；函數(shù)f2為連續(xù)凹函數(shù)，最優(yōu)點位于平滑、狹長的拋物線山谷，很難求出全局最優(yōu)點，只有DSNRPSO算法可以得到較好的尋優(yōu)效果，其他5種算法均陷入局部最優(yōu).說明采用動態(tài)分級擾動策略可增加種群多樣性，顯著改善算法的性能；函數(shù)f4～f7，f8～f10，有較多的局部極小值點，CS、SOA、PSO和NPSO算法均陷入了局部最優(yōu)，DNSPSO和DSNRPSO算法尋找到了全局最優(yōu)點，二者的收斂曲線比較平滑，收斂速度快，DSNRPSO算法解的方差優(yōu)于DNSPSO算法，說明DSNRPSO算法的穩(wěn)定性更好；對函數(shù)f11，PSO、NPSO算法收斂能力較差，SOA、CS、DNRPSO和DSNRPSO算法的收斂曲線均平滑下移，DNRPSO和DSNRPSO算法出現(xiàn)了小的跳躍，說明后2種算法的尋優(yōu)能力更強；對函數(shù)f12和f13，改進的PSO算法均陷入了局部最優(yōu)；對函數(shù)f14，SOA和CS算法的收斂速度較慢，DNRPSO和DSNRPSO算法的收斂速度較快，但當(dāng)函數(shù)評價次數(shù)達到200 000次時，收斂曲線平穩(wěn)，有可能陷入局部最優(yōu)；函數(shù)f15為復(fù)雜的非線性多模態(tài)函數(shù)，峰形高低起伏不定，并且具有跳躍性，所以很難找到全局最優(yōu)解，6種算法中，DNRPSO算法的尋優(yōu)效果最好，DSNRPSO算法次之. 另外，從表4中可以看出，在漂移測試函數(shù)上，DSNRPSO、DNRPSO和SOA算法解的方差較大，相較其他算法，這3種算法有可能尋找到較好的全局最優(yōu)解.

表5 6種算法在D=300上的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)統(tǒng)計結(jié)果

實驗4從表5中可以看出，在測試函數(shù)f1和f6上，DNSPSO和DSNRPSO算法的收斂精度明顯優(yōu)于PSO、NPSO、SOA和CS，在函數(shù)f6上，DSNRPSO算法具有較好的穩(wěn)定性；對于測試函數(shù)f2，雖然DSNRPSO算法的方差較大，但其最優(yōu)解和均值明顯優(yōu)于其他算法. 表明DSNRPSO算法在求解高維優(yōu)化問題時同樣具有良好的性能.

綜上所述，DSNRPSO算法通過引入動態(tài)分級擾動機制和全局搜索策略，較好地克服了PSO算法的早熟問題，提高了算法的尋優(yōu)能力和求解精度.

4 結(jié) 論

提出了一種基于動態(tài)分級和鄰域反向?qū)W習(xí)的改進粒子群算法，該算法將種群動態(tài)地劃分成3個等級，針對每個等級中的粒子特點對其執(zhí)行不同的擾動操作，使粒子在增強種群多樣性的同時又保持向全局最優(yōu)點方向進化，克服了標(biāo)準(zhǔn)PSO算法容易收斂于局部最優(yōu)造成算法早熟的缺陷. 在此基礎(chǔ)上，引入了結(jié)合全局極值和動態(tài)鄰域反向點構(gòu)建的全局搜索策略，加快了算法的收斂速度. 仿真實驗表明，基于動態(tài)分級和鄰域反向?qū)W習(xí)的改進粒子群算法，計算精度高、穩(wěn)定性強.

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