韓萌

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 陜西 西安 710126)

0 引 言

高維優(yōu)化是指對維數(shù)超過100的函數(shù)的優(yōu)化，科學(xué)技術(shù)和工程實際中有許多高維優(yōu)化問題[1]，由于其維數(shù)較大，傳統(tǒng)優(yōu)化方法面臨諸多局限. 為此，國內(nèi)外出現(xiàn)了大量群智能優(yōu)化算法[2](swarm intelligence algorithm，SIA)以解決這類問題. 譚皓等[3]將基本粒子群算法和蟻群算法相結(jié)合，提出了一種混合的粒子群算法，用以解決高維復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化問題，并取得了良好的效果；劉昌芬等[4]將廣義的逆向?qū)W習(xí)方法應(yīng)用于差分進化算法，提出了一種廣義逆向?qū)W習(xí)方法的自適應(yīng)差分算法，該算法在處理高維優(yōu)化問題時可有效提高差分進化算法的尋優(yōu)精度；盛孟龍等[5]將自適應(yīng)和交叉變換的方法引入到蝙蝠算法中，在解決高維復(fù)雜問題時取得了比較好的結(jié)果；龍文等[6]提出了一種基于混沌和精英反向?qū)W習(xí)的混合灰狼優(yōu)化算法來解決高維優(yōu)化問題.

雞群算法(chicken swarm optimization，CSO)是由MENG 等[7]于2014年提出的一種群智能優(yōu)化算法. 該算法具有原理簡單、易于實現(xiàn)、全局搜索能力較強等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于多種工程優(yōu)化問題： 如非線性約束優(yōu)化計算[8]、非線性系統(tǒng)的參數(shù)估計[9-10]和多分類器系數(shù)優(yōu)化[11]等. 但在求解高維復(fù)雜優(yōu)化問題時，雞群算法和其他群智能優(yōu)化算法一樣，存在早熟收斂和收斂精度低等缺點，因此，一些學(xué)者提出了改進方法.QU等[12]提出了一種精英反向?qū)W習(xí)的雞群優(yōu)化算法，采用自適應(yīng)t分布代替雄雞群體中的高斯分布，并將精英反向?qū)W習(xí)引入雌雞群體中；孔飛等[13]和WU等[14]通過在小雞位置更新公式中加入向自身所在子群的雄雞學(xué)習(xí)部分，提出了一種改進的雞群算法，此算法在求解高維優(yōu)化問題時更容易搜索到全局最優(yōu)解；李振壁等[15]將模擬退火的思想引入雞群算法. 以上改進策略有效提高了算法的收斂速度和尋優(yōu)精度，但在求解高維問題上仍存在早熟及尋優(yōu)效果差等問題.

為了克服雞群算法的上述缺陷，本文提出了一種將耗散結(jié)構(gòu)和差分變異混合的雞群算法(hybrid chicken swarm algorithm with dissipative structure and differential mutation，DMCSO). 通過對多個典型的標準測試函數(shù)的尋優(yōu)仿真表明，DMCSO算法具有較強的跳出局部最優(yōu)解的能力，且可明顯改善算法的收斂速度和尋優(yōu)精度.

1 基本雞群算法

雞群算法是模擬雞群等級制度和雞群搜索食物行為的一種隨機優(yōu)化算法. 在描述該算法之前先做4個假設(shè)：

假設(shè)1整個雞群有若干子群，子群數(shù)目由雄雞個數(shù)確定，即每個雄雞對應(yīng)一個子群，每個子群中還包括一些雌雞和小雞.

假設(shè)2根據(jù)適應(yīng)度值的大小將整個雞群分為雄雞、雌雞和小雞3種類別. 雄雞由適應(yīng)度值較好的若干個體組成，適應(yīng)度值較差的若干個體作為小雞，其他個體作為雌雞. 每只雄雞作為各自子群的領(lǐng)頭雞，雌雞隨機選擇要跟隨的雄雞，雌雞和小雞的母子關(guān)系也是隨機建立的.

假設(shè)3雞群中的等級制度、支配關(guān)系和母子關(guān)系進化G代后進行更新.

假設(shè)4每個子群中的雄雞可以帶領(lǐng)該子群的其他個體搜索食物，并且這些雄雞可以阻止其他個體偷取自己已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的食物；小雞追隨自己所選擇的媽媽雌雞尋找食物；在食物競爭過程中，具有支配地位的個體更具有優(yōu)勢.

1.1 雄雞位置更新

與適應(yīng)度值差的雄雞相比，適應(yīng)度值好的雄雞在食物競爭中更具優(yōu)勢，而且能夠在更廣泛的空間中尋找食物. 雄雞位置更新公式如下：

(1)

式中randn(0,σ2)表示滿足均值為0、標準差為σ2的高斯分布的隨機數(shù)，為防止式中分母為0，ε為一個很小的常數(shù)，k為雄雞中除去第i個個體外的任意一個個體.

1.2 雌雞位置更新

雌雞不僅跟隨其所在子群的雄雞尋找食物，而且可以隨機偷取其他雞發(fā)現(xiàn)的食物. 在食物競爭期間，適應(yīng)度值高的雌雞比適應(yīng)度值低的雌雞更具優(yōu)勢. 雌雞更新公式如下：

(2)

其中，s1=exp((fi-fr1)/(|fi|+ε))，s2=exp(fr2-fi)，式中rand為[0,1]之間均勻分布的隨機數(shù)，r1為第i個雌雞所在子群中的雄雞個體，r2是從雞群的雄雞和雌雞中隨機選擇的任意個體，且r1≠r2.

1.3 小雞位置更新

小雞跟隨自己的雌雞尋找食物，小雞的位置更新公式如下：

(3)

其中，m為第i只小雞跟隨的雌雞，F(xiàn)L為跟隨系數(shù)，取值范圍為[0,2].

2 耗散結(jié)構(gòu)和差分變異混合的雞群算法(DMCSO)

2.1 耗散結(jié)構(gòu)

由雞群算法的原理可知，雄雞作為雞群中每個子群的領(lǐng)頭雞，帶領(lǐng)雞群搜索食物；雌雞參考所在子群的雄雞位置進行更新；小雞參考跟隨雌雞的位置進行更新；由此可見，雌雞和小雞都依靠雄雞的信息搜尋食物，雄雞影響整個雞群的搜索方向和搜索速度. 因此，當雄雞陷入局部最優(yōu)時，整個雞群的尋優(yōu)能力會受到影響.

耗散結(jié)構(gòu)是指處在遠離平衡態(tài)的開放系統(tǒng)，通過不斷地與外界進行能量或物質(zhì)交換，使原來的無序狀態(tài)變成時間、空間或功能有序的狀態(tài)[16]. XIE等[17]提出了一種耗散粒子群算法，首次實現(xiàn)了將耗散結(jié)構(gòu)引入到粒子群算法中，在一定條件下通過將種群中個體的位置和速度重新擴散，為種群有效地補充有差異的新個體，增加種群多樣性，從而提高算法的優(yōu)化性能. 本文將耗散結(jié)構(gòu)引入雞群算法的雄雞更新公式中，擴大雄雞個體的搜索空間，增強算法的全局搜索能力，從而有效降低整個雞群落入局部最優(yōu)的風(fēng)險.具體實現(xiàn)如下：

if (randxi=random(ld,ud)
end

(4)

式中cv為擴散因子，取值范圍為[0,1]，xi表示當前個體的位置，random(ld,ud)表示隨機生成的個體(ld和ud分別表示群體空間的上界和下界)，本文取cv=0.1[18-19].

2.2 差分變異

隨著迭代次數(shù)的不斷增加，雞群算法在進化后期個體差異程度越來越小，種群多樣性逐漸下降，尤其在處理高維時，算法容易過早收斂陷入局部最優(yōu)，難以獲得最優(yōu)解. 本文將差分變異操作[20-21]引入至雞群算法中，以增加種群多樣性. 具體實現(xiàn)如下：

(5)

其中，G為種群更新代數(shù)；fbest(t)表示第t代的最優(yōu)適應(yīng)度值；H為隨機選取種群規(guī)模10%～20%的個體數(shù)；本文取H=int(N*0.2)，int表示取整函數(shù)；其中a、b、c是從[1,N]中隨機選取的3個個體，且a≠b≠c≠k，F(xiàn)為縮放比例因子，ε為早熟檢驗閥值，本文取δ=1.0×10-10.

如果連續(xù)進化G代數(shù)，群體中的最優(yōu)適應(yīng)度值無明顯變化，則進行個體差分變異. 本文從雞群中隨機選擇3個不同的個體xa、xb和xc，通過對差分矢量(xb-xc)進行縮放并與xa合并后對雞群中隨機選擇的20%的個體進行差分變異操作.F的作用是對差分矢量(xb-xc)進行縮放，以確定當前個體搜索最優(yōu)解的范圍，從而生成新的變異個體. 當F采用較大值時，算法可以在較大范圍內(nèi)進行搜索，但其收斂速度較慢；當F采用較小值時，雖然搜索較快，但易收斂到非最優(yōu)解. 為此，提出一種隨機的縮放因子：

(6)

其中，M表示最大迭代次數(shù)，t為當前迭代次數(shù)，rand為[0,1]之間均勻分布的隨機數(shù)，由文獻[22]可知，一般情況下，F(xiàn)的取值范圍為[0.2,0.9].圖1為縮放因子F隨迭代次數(shù)的變化曲線.

圖1 隨機縮放因子Fig.1 Random scale factor

從圖1中可以看出，rand的加入可以使個體在進化過程中有機會取得較小或較大的縮放因子，使得本算法可以更加靈活地調(diào)節(jié)局部和全局搜索能力.

2.3 算法的具體步驟

步驟1初始化參數(shù). 雞群規(guī)模為N，雞群搜索空間的維數(shù)為D，種群更新代數(shù)G=10[13]，雄雞個體所占比例為20%，雌雞個體(包括媽媽雌雞)所占的比例為60%，小雞個體所占比例為20%，媽媽雌雞所占的比例為10%(占雌雞個數(shù))，最大迭代次數(shù)為M，早熟檢驗閥值δ.

步驟2初始化種群，置t=1，設(shè)置適應(yīng)度函數(shù)，計算雞群中每個個體的適應(yīng)度值，并初始化算法的個體和全局最優(yōu)位置.

步驟3若滿足mod(t,G)=1，根據(jù)個體的適應(yīng)度值對雞群中所有個體進行排序，按照假設(shè)2對雞群進行等級劃分，根據(jù)雄雞個數(shù)確定子群數(shù)目，并隨機建立雌雞和小雞的母子關(guān)系.

步驟4雞群中各雄雞按照式(1)和(4)更新位置，根據(jù)式(2)更新雌雞位置，按式(3)更新小雞位置.

步驟5更新雞群當前的個體最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置.

步驟6早熟檢驗跳出局部最優(yōu). 在種群中隨機選擇一部分個體利用式(5)和(6)進行變異操作，并更新個體最優(yōu).

步驟7計算各個體的適應(yīng)度值，重新進行適應(yīng)度值排序，按照步驟3重新建立雞群等級制度，重新對雞群進行搜索分組.

步驟8置t=t+1，若未達到最大迭代次數(shù)則轉(zhuǎn)步驟3；否則繼續(xù).

步驟9輸出最優(yōu)解.

為進一步理解DMCSO算法的工作原理，圖2給出了其具體操作流程.

圖2 DMCSO算法流程圖Fig.2 Flow chart of DMCSO algorithm

3 仿真實驗與分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

為驗證DMCSO算法的性能，選取18個標準的測試函數(shù)與基本雞群算法[7](CSO)、粒子群算法[23](particle swarm optimization，PSO)、蝙蝠算法[24](bat algorithm，BA)和差分進化算法[25](differential evolution algorithm，DE)進行仿真對比分析. 表1給出了這些測試函數(shù)的名稱、表達式、空間搜索范圍和理論最優(yōu)值. 遵循公平原則，設(shè)定各算法初始種群為100，空間維數(shù)為100,200(測試表1前5個標準函數(shù))，函數(shù)最大迭代次數(shù)為1 000，為避免單獨運行給算法評價帶來的誤差，各算法均獨立運行30次，其他參數(shù)說明詳見表2.

表2 5種算法的相關(guān)參數(shù)

實驗環(huán)境： 所有實驗均在Intel(R) Xeon(R) CPU E5620 @ 2.40GHz、8.00GB內(nèi)存、2.40GHz主頻的計算機上進行，軟件運行環(huán)境為 Matlab 2016a.

3.2 算法的性能分析

為充分評價DMCSO算法的優(yōu)化性能，考慮以下幾個評價準則： 1)算法尋優(yōu)精度： 在有限的函數(shù)評價次數(shù)條件下，算法搜索到的最優(yōu)適應(yīng)度值. 2)算法的收斂速度： 算法在達到相同評價次數(shù)時，若適應(yīng)度值較好，則算法收斂速度快. 3)穩(wěn)定性： 即算法獨立運行多次以后，各個算法所得到適應(yīng)度值的方差.

表1 標準測試函數(shù)

3.2.1 混合策略的有效性

為驗證2種不同策略混合后用于雞群算法的有效性和可行性，選取表1前5個具有代表性的測試函數(shù)進行仿真實驗，其中，f1和f5是單峰函數(shù)，用來測試算法的尋優(yōu)精度；f2、f3、f4為多峰函數(shù)，用來驗證算法逃離局部極值的能力. 將DMCSO算法與CSO、耗散機制的DCSO算法(CSO算法中引入耗散結(jié)構(gòu))及差分變異的MCSO算法(CSO算法中引入差分變異)進行比較. 求取4種算法各自在100維的情況下獨立運行30次的平均值和標準差. 相關(guān)實驗數(shù)據(jù)如表3所示.

函數(shù)f1(Sphere)是一種比較簡單的單峰二次函數(shù)，較容易搜索到最優(yōu)值. 從表3的數(shù)據(jù)中可以看出，對于函數(shù)f1，DMCSO、MCSO和DCSO算法的尋優(yōu)精度均較CSO算法有所提高，且DMCSO算法尋優(yōu)效果最好，較CSO算法提高了5個數(shù)量級，較DCSO算法提高了2個數(shù)量級，較MCSO算法提高了4個數(shù)量級. DMCSO算法穩(wěn)定性更好.

復(fù)雜多峰函數(shù)f2(Rastrigin)、f3(Ackley)、f4(Griewank)有多個局部極值點，較難搜索到全局極小值. 從表3中可以看出，對于函數(shù)f2，MCSO算法的尋優(yōu)精度略高于DMCSO算法，但DMCSO算法取得的優(yōu)化結(jié)果顯著優(yōu)于CSO和DCSO算法. DMCSO算法搜索到了函數(shù)f3最好的優(yōu)化結(jié)果. CSO和MCSO算法對函數(shù)f4的尋優(yōu)結(jié)果相當，DMCSO算法取得的優(yōu)化結(jié)果和標準差最好.

函數(shù)f5(Rosenbrock)是典型的單峰難優(yōu)化函數(shù)，該函數(shù)全局極值點處在一個拋物線形的狹長峽谷底端，使得算法在搜索全局最優(yōu)解時非常困難. 從表3的數(shù)據(jù)中可以看出，DMCSO算法無論是平均值還是方差在函數(shù)f5上取得的結(jié)果都明顯優(yōu)于其他算法.

以上分析說明： 相較于MCSO和DCSO算法，DMCSO算法不僅大幅度提高了算法的搜索精度，而且有效減小了算法陷入局部最優(yōu)的可能.該實驗結(jié)果充分表明了將2種策略混合后用于雞群算法是有效和可行的.

3.2.2 算法尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性比較

為驗證DMCSO算法的收斂精度和穩(wěn)定性，統(tǒng)計PSO、BA、DE、CSO和DMCSO 5種算法對表1中18種測試函數(shù)分別獨立運行30次的最優(yōu)適應(yīng)度值、最差適應(yīng)度值、平均適應(yīng)度值和標準差，表4給出了函數(shù)f1～f18在100維時的實驗數(shù)據(jù)，表5給出了函數(shù)f1～f5在200維時的實驗數(shù)據(jù).

1) 從表4的數(shù)據(jù)中可以看出，相較PSO、BA、DE和CSO 4種算法，無論是單峰函數(shù)f1還是多峰復(fù)雜函數(shù)f2、f3、f4，DMCSO算法均取得了較好的尋優(yōu)效果. 對于難測函數(shù)f5、f6和f7，PSO、BA、DE和CSO 4種算法搜索到的優(yōu)化結(jié)果均較差，但DMCSO算法搜索到了較好的優(yōu)化結(jié)果，表現(xiàn)了較強的尋優(yōu)能力.對于函數(shù)f8，DMCSO、CSO算法取得了較PSO、BA和DE 3種算法更好的尋優(yōu)結(jié)果，雖然CSO算法搜索到了最好的最優(yōu)適應(yīng)度值，但DMCSO算法的平均適應(yīng)度、標準差和最差適應(yīng)度均優(yōu)于CSO算法. 對于f9、f10、f113個單峰函數(shù)，除DMCSO算法外，其他算法取得的優(yōu)化結(jié)果和理論最優(yōu)解偏差圴較大，尋優(yōu)精度較低. 對函數(shù)f12，DE、DMCSO和CSO算法分別取得了較好的結(jié)果，但DMCSO算法的尋優(yōu)能力更強. 對于函數(shù)f13，BA算法的結(jié)果較好，DMCSO算法的優(yōu)化結(jié)果和CSO算法的很接近，但DMCSO算法略優(yōu)于CSO算法. PSO、BA、DE、CSO和DMCSO 5種算法對函數(shù)f14均有良好的尋優(yōu)能力，且DMCSO算法搜索到了最好的優(yōu)化結(jié)果. 對函數(shù)f15，DMCSO算法的尋優(yōu)能力最強，BA和DE算法次之，PSO和CSO算法的優(yōu)化結(jié)果較差. DMCSO和CSO算法對f16函數(shù)的搜索精度均較高，取得的優(yōu)化結(jié)果高出PSO、BA、DE算法各10個數(shù)量級. 對f17、f18函數(shù)，DMCSO算法的尋優(yōu)精度均高于其他算法，其最優(yōu)值、平均值、標準差和最差值均較好.

表3 雞群算法在不同策略下的優(yōu)化結(jié)果

表4 函數(shù)f1～f18的測試結(jié)果(D=100)

(續(xù)表4)

表5 函數(shù)f1～f5測試結(jié)果(D=200)

從表5的測試數(shù)據(jù)中可以看出，在200維的情況下，DMCSO算法對函數(shù)f1～f5均取得了最好的最優(yōu)值、平均值、標準差，而PSO、BA和DE 3種算法尋優(yōu)較困難，均未獲得全局最優(yōu)值.

上述分析表明，相較其他算法，DMCSO算法具有較強的尋優(yōu)能力，有效提高了解的質(zhì)量和算法的收斂精度. 從表4和表5的數(shù)據(jù)中可以看出，DMCSO算法的尋優(yōu)能力受維數(shù)的影響較小，而其余算法的進化能力隨著維數(shù)的增加都有不同程度下降.

2) 從表4和表5的數(shù)據(jù)中可以看出，DMCSO算法較PSO、BA、DE和CSO 4種算法的標準差小，說明DMCSO算法穩(wěn)定性更好.

3.2.3 算法收斂速度比較

對表1中的18個測試函數(shù)進行仿真模擬，圖3(a)～(r)為CSO、PSO、BA、DE和DMCSO 5種算法求解各函數(shù)100維最優(yōu)適應(yīng)度值隨迭代次數(shù)變化的收斂曲線，曲線橫坐標表示進化代數(shù)，縱坐標表示適應(yīng)度值.

從圖3中可以看出，對大多數(shù)函數(shù)來說，PSO、BA和DE 3種算法，迭代一段時間后，尋優(yōu)結(jié)果基本不再發(fā)生變化，陷入了局部最優(yōu)無法跳出，取得的優(yōu)化結(jié)果不太理想. CSO算法在部分函數(shù)上表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力，收斂速度也相對較高，但略遜DMCSO算法. 除函數(shù)f13外(對函數(shù)f13，在迭代次數(shù)小于50時，DMCSO算法的收斂速度更快、收斂精度也更高，但在迭代后期，BA算法的表現(xiàn)更加顯著)，DMCSO算法對其他函數(shù)均有較強的尋優(yōu)能力，均以較快的收斂速度搜索到了精度較高的適應(yīng)度值. 因此，DMCSO算法相較于PSO、BA、DE和CSO 4種算法，收斂速度更快、搜索精度更高.

圖3 函數(shù)f1～f18的收斂曲線Fig.3 Convergence curves comparison of functions f1～f18

4 結(jié) 論

針對雞群算法在求解高維復(fù)雜優(yōu)化問題中的一些弊端，本文將耗散結(jié)構(gòu)、帶有隨機縮放因子的差分變異2種策略混合后用于雞群算法，有效解決了雞群算法在求解高維復(fù)雜問題時難度大、精度低、收斂速度慢的問題.通過與其他群智能算法對18個測試函數(shù)進行仿真對比，結(jié)果表明： DMCSO算法不僅較明顯改善了算法的穩(wěn)定性，而且其收斂速度和尋優(yōu)精度得到了有效提高，充分證明了DMCSO算法的有效性和可行性. 當然，此算法也有其局限性： 算法對該擴散因子的設(shè)置比較敏感，參數(shù)未能實現(xiàn)自適應(yīng)，仍然需要根據(jù)先驗知識確定等.

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