蘇巧真

一位初次教畢業(yè)班的青年教師問我，“在計(jì)算分?jǐn)?shù)除法時，為什么有的學(xué)生“亂倒數(shù)”（被除數(shù)和除數(shù)都用它的倒數(shù)進(jìn)行計(jì)算）？有時候被除數(shù)倒，除數(shù)不倒，有時候除號不變乘號，有時候乘法（的乘數(shù)）也在變倒數(shù)……”聽著這位青年教師的話，我回憶起自己近十年教學(xué)畢業(yè)班的情景，班上都有若干個孩子出現(xiàn)上述情形，而且和同行交流時，也都有這種現(xiàn)象出現(xiàn)。于是，我們理所當(dāng)然地認(rèn)為是學(xué)生上課不認(rèn)真聽講或遺忘造成的。但今年同樣教學(xué)畢業(yè)班，在教學(xué)這個單元時，班上卻沒有一個孩子出現(xiàn)這種現(xiàn)象！細(xì)細(xì)回想，原因在于今年承擔(dān)了一節(jié)《分?jǐn)?shù)除以整數(shù)》的公開課，這節(jié)課經(jīng)過較長時間的思考、實(shí)踐，達(dá)到了較好的教學(xué)效果。在教學(xué)本課之前，經(jīng)過細(xì)讀教材和進(jìn)行學(xué)生訪談，筆者思考了三個問題：一是這節(jié)課的計(jì)算方法較為簡單，重點(diǎn)和難點(diǎn)是算理的教學(xué)，如何教才能讓學(xué)生知其然并知其所以然？二是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位相加減，乘法的本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位的累加，那么除法的本質(zhì)是什么呢？分?jǐn)?shù)除以整數(shù)與小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法在本質(zhì)上一樣嗎？它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？三是計(jì)算是真的只要會算就行了嗎？還應(yīng)培養(yǎng)孩子哪些素養(yǎng)呢？筆者帶著這些思考，經(jīng)過實(shí)踐，有了以下收獲。

一、理解算理，掌握運(yùn)算方法

算法、算理是運(yùn)算能力的一體兩翼，兩者相輔相成，不可偏廢。不掌握算法就無法確保實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的最低要求“正確”，只知怎樣算，不知為什么這樣算，充其量只是搬弄數(shù)字的操作技能。例如，在本課教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生理解算理，遷移類推，在此基礎(chǔ)上提升算法。

師：÷2，會算嗎？想想，如何讓大家看得懂你為什么這樣算？在練習(xí)本上算一算、寫一寫。

生1： 里有4個，除以2，每份就有2個，也就是 。

生2：我的計(jì)算方法跟第一個同學(xué)一樣，÷2= =，但想法不一樣，我是想，分?jǐn)?shù)乘法，是分母不變，分子相乘，所以，分?jǐn)?shù)除法，應(yīng)該也是分母不變，分子相除。

師：你用到了聯(lián)想的方法，算除法想乘法。

生3：

÷2就是把 平均分成2份，每份占它的，也就等于×。

師：誰聽明白他的意思了？老師把這個 請到黑板上來，誰再來說一說除以2為什么就是乘它的？

生：（邊說邊畫），除以2就是把平均分成兩份， ，這一份就是的 ，列式就是×。

師：同桌互相說說除以2為什么就是乘它的。

（畫圖只是手段，不是目的，其根本是為了建立操作過程與算理之間的聯(lián)系，更好地讓算理外顯。關(guān)鍵時刻教師要善于想辦法讓學(xué)生擺脫直觀的干擾和依附，變操作技能為心智技能。）

師：÷2大家不僅會算，而且還用了三種方法理解為什么這樣算的道理。那÷3會算嗎？

生：÷3=×=

生：÷3=÷3==

師：跟大家說說你是怎么想的？

生：因?yàn)榉肿?不能被3整除，我就把通分，變成 ，12可以被3整除。這其實(shí)是由÷2的第一種方法想到的。

生：（此時一位學(xué)生舉起了手）老師，是不是所有的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)都可以用以上兩種方法來做呢？（全班同學(xué)有的說“是”有的說“不一定”）

生：可以多舉幾個例子驗(yàn)證看看。

學(xué)生通過舉例，發(fā)現(xiàn)了“一個數(shù)除以整數(shù)（0除外），等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，可以用 ÷c= ×（a、c都不為0）”表示，還發(fā)現(xiàn)了“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），如果分?jǐn)?shù)的分子可以被整數(shù)整除，可以用分子除以整數(shù)的商做分子，分母不變;如果不能整除，把這個分?jǐn)?shù)通分成分子是整數(shù)的倍數(shù)的分?jǐn)?shù)，再用分子除以整數(shù)的商做分子，分母不變”。當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種方法進(jìn)行對比選擇時，大部分學(xué)生選擇了第一種，個別同學(xué)堅(jiān)持第二種方法，部分同學(xué)選擇“中間地帶”，當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子是整數(shù)的倍數(shù)時，用分子除以整數(shù)的商做分子，分母不變，當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子不是整數(shù)的倍數(shù)時，則采用“一個數(shù)除以整數(shù)（0除外），等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的方法。

算理與算法構(gòu)成運(yùn)算能力的兩翼。在以上教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用直觀、聯(lián)系舊知等多種方式理解算理，并遵循著算理，發(fā)現(xiàn)算法、駕馭算法，巧妙地實(shí)現(xiàn)了算理與算法的有機(jī)融合。在此過程中，教師充分尊重學(xué)生的個性，允許學(xué)生保留自己喜歡的算法，真正做到了循理入法，以理馭法，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

二、整體架構(gòu)，厘清運(yùn)算本質(zhì)

教師不僅要有從宏觀上對數(shù)學(xué)知識整體結(jié)構(gòu)的正確把握，更要把這種素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為對學(xué)生的培養(yǎng)，要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行整體架構(gòu)，溝通知識間的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)的運(yùn)算隸屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，與數(shù)的認(rèn)識聯(lián)系緊密，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生突出對計(jì)數(shù)單位、位值制等核心概念的深入領(lǐng)會，從而溝通它們本質(zhì)的聯(lián)系。例如本課教學(xué)末，教師引導(dǎo)學(xué)生對整數(shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算道理進(jìn)行比較，有的學(xué)生認(rèn)為它們的計(jì)算道理一樣，有的認(rèn)為不一樣，在此基礎(chǔ)上，教師借助“微課”（擷取其中幾張畫面）讓學(xué)生在形象生動的畫面中理解除法的本質(zhì)——平均分，即把幾個這樣的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行平均分，分得每份是幾個計(jì)數(shù)單位，就是幾。

在以上教學(xué)中，教師把“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”放在“除法”這一概念運(yùn)算的范疇中進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生在理解“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的算理的基礎(chǔ)上回憶整數(shù)除法、小數(shù)除法的計(jì)算道理，教師借助直觀教學(xué)，從本質(zhì)上溝通了三者之間的聯(lián)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三者的計(jì)算道理是一樣的，深化了對知識本質(zhì)的理解。這樣教學(xué)，從整體上進(jìn)行建構(gòu)，讓學(xué)生既見“樹木”，又見“森林”，有利于學(xué)生對算理的理解和算法的掌握，有助于提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

三、有效練習(xí)，提高運(yùn)算水平

運(yùn)算能力結(jié)構(gòu)的刻畫可用結(jié)構(gòu)模型圖來表示（見下圖）。

對于小學(xué)生來說，基本口算反應(yīng)與進(jìn)一步的算法、算理共同構(gòu)成運(yùn)算能力的底部。運(yùn)算能力的提高必須建立在這一基礎(chǔ)上。運(yùn)算策略是指運(yùn)算信息的挖掘與運(yùn)算問題的定向，運(yùn)算方法的選擇與運(yùn)算過程的簡化及其自覺評價(jià)。它表現(xiàn)在解決單純的運(yùn)算問題中，也表現(xiàn)在解決實(shí)際問題的運(yùn)算決策與實(shí)施過程中。運(yùn)算策略與其他三個要素相互關(guān)聯(lián)，運(yùn)算策略水平是鑒別運(yùn)算能力的敏感因素。因此，在計(jì)算教學(xué)過程中，除了要引導(dǎo)學(xué)生理解算理，掌握算法外，還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生靈活選擇運(yùn)算策略的能力，以期提高學(xué)生的運(yùn)算能力。如本課教學(xué)中，在學(xué)生理解了算理、掌握了算法的基礎(chǔ)上，教師出示以下練習(xí)：1.計(jì)算÷3、 ÷3、÷3、 ÷3、 ÷3 、÷3 ;2.為美化教室，同學(xué)們用彩帶折紙花， 米可以折4朵紙花，照這樣計(jì)算，米可以折多少朵紙花？

在學(xué)生的反饋中，第1題中前三題大部分學(xué)生采用“分子除以整數(shù)做分子，分母不變”的方法進(jìn)行計(jì)算，后三題采用“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)”的方法進(jìn)行計(jì)算。如此設(shè)計(jì)，旨在培養(yǎng)學(xué)生自覺根據(jù)運(yùn)算信息，靈活選擇運(yùn)算方法的能力。第2題是這樣解決的：有的列式÷4=（米），÷ =8（朵）;有的列式÷=2，4×2=8（朵）?！潞汀率欠?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算，學(xué)生還沒學(xué)，但學(xué)生根據(jù)推理，把通分成，÷=8，同理可推出÷的結(jié)果。如此設(shè)計(jì)，不僅有利于學(xué)生靠理解算理和靈活選用算法來保證運(yùn)算正確，而且激活了學(xué)生的思維，巧妙地將舊知與新知建立起聯(lián)系，利用舊知學(xué)習(xí)新知，突出了運(yùn)算思維的推理成分。

“課標(biāo)2011年版”中指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題?！毖韵轮?，運(yùn)算能力的培養(yǎng)，主要依靠根據(jù)法則和運(yùn)算律提高正確性，通過理解算理與靈活運(yùn)算解決問題，發(fā)展能力。為此，教師在進(jìn)行教學(xué)時，應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生理解算理，掌握算法，掌握運(yùn)算的本質(zhì)，進(jìn)行正確計(jì)算，并在此基礎(chǔ)上精心設(shè)計(jì)練習(xí)，激活學(xué)生的運(yùn)算思維，幫助學(xué)生靈活選擇運(yùn)算策略解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的各種能力。