王思雨，吐爾洪江·阿布都克力木，阿斯古麗·艾合麥提

（新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

人類傳遞信息的主要媒介是語(yǔ)言和圖像。根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，在人類接受的各種信息中視覺信息占80%，所以，圖像信息是十分重要的信息傳遞媒體和方式。信號(hào)和圖像中存在著各種噪聲，各種傳感器所獲得的圖像信息一般都含有Gauss噪聲和非Gauss噪聲，圖像中的噪聲對(duì)圖像分析、分類和識(shí)別影響很大［1］。近年來(lái)，小波變換作為新的一種分析方法在圖像處理中得以廣泛的應(yīng)用［2］，能在時(shí)間和頻率域內(nèi)同時(shí)進(jìn)行分析，使能量能集中于較少的小波變換系數(shù)。另外，小波的多分辨率分析結(jié)構(gòu)能允許應(yīng)用匹配每個(gè)頻帶的統(tǒng)計(jì)性和人的視覺特征的有效編碼方法，成為圖像編碼的強(qiáng)有力工具。它已成為機(jī)器視覺研究領(lǐng)域最活躍的課題之一，在工程應(yīng)用中占有十分重要的地位［3］。

文章設(shè)計(jì)了復(fù)系數(shù)全通濾波器并用其對(duì)復(fù)雜內(nèi)容的圖像進(jìn)行增強(qiáng)，再對(duì)增強(qiáng)后的圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，應(yīng)用文章設(shè)計(jì)的濾波器可有效地克服圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)過程中噪聲對(duì)其的影響，邊緣檢測(cè)之后的效果明顯優(yōu)于db（6）小波濾波器和傳統(tǒng)算子對(duì)圖像進(jìn)行處理后的效果。

1 小波變換與Mallat算法

小波變換是Fourier變換的變種，其目的是為了使之適用于局部變化的處理。在小波變換中，連續(xù)變換系數(shù)WTv(a,b)=[v(t),ψa,b(t)]主要依賴于信號(hào)在 [b-aΔψ,b+aΔψ]區(qū)間中的情況，時(shí)間寬度是 2aΔψ，該時(shí)間寬度是隨著尺度a變化而變化的，其中，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力［4］。由于小波變換在實(shí)際運(yùn)算中需要計(jì)算大量的系數(shù)，工作量巨大，下面介紹一種快速算法——Mallat算法。

定義1 若υ(k)為信號(hào)的離散采樣數(shù)據(jù)，如果，則信號(hào)分解的Mallat算法為

式中N為離散采樣數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；h,g為濾波器脈沖響應(yīng)，即分解各列濾波器系數(shù)；cj,k為υ(k)在2j分辨率下的逼近，稱為信號(hào)的低頻部分系數(shù)；dj,k為υ(k)在2j分辨率下的離散細(xì)節(jié)，稱為信號(hào)的高頻部分系數(shù)。

如果從j=0層開始，經(jīng)過J層分解后得到的是c-J,d-J,d-J+1,…,d-1。

信號(hào)重構(gòu)的Mallat算法如下：

式中和分別為hm-2k和gm-2k的共軛，實(shí)際上也就是重構(gòu)各列濾波器組的系數(shù)。

Mallat算法中不需要知道尺度函數(shù)?(t)和小波函數(shù)ψ(t)的具體結(jié)構(gòu)，僅通過濾波器系數(shù)h和g就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解與重構(gòu)，由此可見濾波器在Mallat算法中的重要性［4］。

2 復(fù)系數(shù)全通濾波器的構(gòu)造

定義2 能夠使所有頻率分量無(wú)衰減的通過的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)，也稱全通濾波器。

對(duì)于N階全通濾波器，有理傳遞函數(shù)A(z)可以表示為如下形式：

其中αk為極點(diǎn)，α*k表示αk的共軛。

當(dāng)AN(z)乘一個(gè)復(fù)常量β，即，A'N(z)就叫做復(fù)系數(shù)全通濾波器。

命題1 若A(z)=A'N(z)是一個(gè)N階復(fù)系數(shù)全通濾波器，)的濾波器系數(shù)是A(z)的復(fù)共軛，則有濾波器組{H(z),G(z)}：

式中，低通濾波器H(z)和高通濾波器G(z)的系數(shù)是實(shí)系數(shù)。

命題2 由實(shí)系數(shù)的二通道仿酉濾波器組{H(z),G(z)}能夠獲得實(shí)值正交小波濾波器，其中H(z)和G(z)所滿足的正交條件是［4］：

復(fù)系數(shù)全通濾波器A(z)的傳遞函數(shù)能夠表示為：

其中A(z)的階數(shù)是N=2N1+4N2，β是復(fù)常量，|β|=1，可以令β=eiη或者，將（3）式展開得到，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：

定理1 若A(z)的傳遞函數(shù)可以寫成（4）和（5）式的形式，則A(z)的系數(shù)an可以由如下公式給出：

表1 A(z)的系數(shù)

將表中數(shù)據(jù)代入（1）、（4）和（5）式可得：

3 算法實(shí)現(xiàn)流程

文章提出的新的基于小波變換的圖像邊緣檢測(cè)方法共包括小波分解、應(yīng)用構(gòu)造的復(fù)系數(shù)全通濾波器進(jìn)行濾波和邊緣檢測(cè)三個(gè)部分，具體流程如圖1所示。

圖1 算法實(shí)現(xiàn)流程圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

文章實(shí)驗(yàn)所選用的實(shí)驗(yàn)圖像是信息量較大的Baboon圖，分別用文章構(gòu)造的小波濾波器、db（6）小波濾波器、Sobel算子、Prewitt算子和Roberts算子對(duì)其進(jìn)行處理。實(shí)驗(yàn)效果如圖2，其中實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖（a）為原圖、（b）為文章構(gòu)造的小波濾波器檢測(cè)結(jié)果、（c）為db（6）小波濾波器檢測(cè)結(jié)果、（d）為Sobel算子檢測(cè)結(jié)果、（e）為Prewitt算子檢測(cè)結(jié)果、（f）為Roberts算子檢測(cè)結(jié)果。

圖2 實(shí)驗(yàn)效果圖

從圖2可知，文章構(gòu)造的小波濾波器對(duì)應(yīng)的小波變換方法在圖像邊緣檢測(cè)效果上明顯優(yōu)于db（6）小波濾波器對(duì)應(yīng)的小波變換方法和其它四種常用算子方法，尤其是文章方法可以將狒狒臉部細(xì)節(jié)檢測(cè)出來(lái)，并且輪廓清晰。圖（c）雖然可以體現(xiàn)出狒狒臉部的大部分輪廓，但是狒狒鼻子上的細(xì)節(jié)之處體現(xiàn)不出來(lái)；圖（d）雖邊緣定位精度高，但容易丟失部分邊緣幾乎沒有檢測(cè)到狒狒的臉部細(xì)節(jié)；圖（e）和（f）雖然檢測(cè)處的細(xì)節(jié)之處有體現(xiàn)，但是效果不明顯。

由于實(shí)際生活中人們獲取到的圖像種類繁多，文章構(gòu)造的小波濾波器對(duì)應(yīng)的小波變換方法不能將其全部進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，另外文章中構(gòu)造的小波濾波器對(duì)應(yīng)的小波變換方法在圖像邊緣檢測(cè)效果上不夠精化，這也正是以后研究的重要方向。

參考文獻(xiàn)：

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［3］張德豐.MATLAB數(shù)字圖像處理［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012：268-292.

［4］吐爾洪江·阿布都克力木.小波信號(hào)處理基礎(chǔ)［M］.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2014：6-163.